Додаток 1. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОХИБОК Наукове пізнання людиною оточуючого світу стало можливим лише завдяки впровадженню вимірювань у практику наукових досліджень. 1. Суть процесу вимірювання Процес вимірювання фізичної величини полягає у знаходженні її числового значення. Виміряти фізичну величину означає порівняти її з іншою однорідною фізичною величиною, прийнятою за одиницю (еталон) вимірювання. Наприклад, вимірювання лінійного розміру тіла зводиться до його порівняння з еталоном довжини – метром, визначення маси ті-ла на терезах – до порівняння її з еталоном маси – кілограмом і т.д. 2. Прямі і непрямі вимірювання Вимірювання можна умовно поділити на прямі і непрямі . Прямими називаються вимірювання, в процесі яких числове значення фізичної величини одержують безпосередньо шляхом порівняння з еталоном цієї величини або за відліковим пристроєм вимірювального приладу. Прикладами прямих вимірювань можуть бути вимірювання довжини тіла лінійкою, температури – термометром, часу– секундоміром, маси – терезами та інше. Непрямими називаються вимірювання, в процесі яких числове значення фізичної величини знаходять шляхом обчислень за формулами фізичних залежностей (розрахунковими формулами), попередньо підставивши у них результати прямих вимірювань. Прикладом непрямого вимірювання є вимірювання об(єму V тіла, що має форму прямокутного паралелепіпеда з ребрами довжиною а, b, с :
(1)
непряме вимірювання прямі вимірювання
Непряме вимірювання завжди містить в собі як складовий елемент прямі вимірювання, що відображено у виразі (1). 3. Істинне і виміряне значення фізичної величини У подальшому будемо користуватись поняттями: істинного значення фізичної величини (хіст), яке чисельно повинно відображати вимірювану величину і знаходження якого є метою вимірювання , виміряного значення фізичної величини (хвим), яке безпосередньо одержують в результаті конкретного вимірювання. Жодна фізична величина не може бути виміряна абсолютно точно. Тому хвим не співпадає з хіст . Мірою відхилення хвим від хіст є абсолютна похибка вимірювання, а мірою точності вимірювання – відносна похибка. 4. Абсолютна і відносна похибки вимірювання. Запис результату вимірювання Абсолютною похибкою вимірювання ((х) називається модуль різниці між істинним значенням вимірюваної величини і результатом окремого вимірювання. х = (хвим – хіст (. (2)
Відносною похибкою вимірювання ((x) називається відношення абсолютної похибки (х до істинного значення фізичної величини хіст( x = (100 % . (3)
Остаточно результат проведеного вимірювання записують у вигляді( х = хвим ( х . (4)
Такий запис означає, що істинне значення вимірюваної величини лежить (див.рис.1.) в інтервалі( хвим –х хіст хвим+х. (5)
O X
(xвим – x) хвим (xвим + x )
Рис.1 5. Фізична природа і види похибок В залежності від природи причин відхилення хвим від хіст всі похибки можна умовно поділити на систематичні, випадкові і промахи. Систематичні похибки. Особливістю систематичних похибок є те, що їх числове значення і знак відхилення (в більшу, чи в меншу сторону) від істинного значення фізичної величини регулярно повторюється від одного вимірювання до іншого або ж змінюється за певним законом. Ці похибки зумовлені недостатньою точністю приладу, його невідрегульованістю або несправністю, а також недосконалістю методів вимірювання. Як приклади прояву таких похибок можна привести зважування на невідрегульованих терезах, або використання при зважуванні неточних різноважок, чи вимірювання часу секундоміром, що спішить (відстає) і т. ін. Випадкові похибки це відхилення вимірювальної величини, які не можна передбачити. Вони проявляються у розкиді відліків при повторних вимірюваннях, здійснених в аналогічних умовах. Випадкові похибки описує теорія випадкових явищ (теорія імовірностей). Промахи – це надзвичайно великі похибки, найчастіше зумовлені неправильними діями дослідника. За величиною вони суттєво перевищують всі інші. Аналізуючи числові значення вимірювань, їх слід виявляти і відкидати. З точки зору точності методи вимірювання поділяють на технічні і лабораторні. При використанні приладів недостатньо високої точності (технічних) вимірювання проводиться лише один раз. Повторні вимірювання не дають нових числових значень і їх проведення не має змісту. Наприклад, при вимірюванні температури повітря в лабораторії термометром розширення мусимо задовільнятись лише одним значенням вимірюваної величини. При цьому результат вимірювання записують у формі : х = хвим ( х . (6)
а величину абсолютної похибки х приймають рівною половині ціни найменшої поділки вимірного приладу (масштабної лінійки, термометра, рідинного барометра, манометра і т.п.). При використанні у розрахунковій формулі табличних значень фізичних величин, наприклад, = 2,7 (103 кг/м3, величину похибки приймають рівною 5 одиницям розряду, який слідує за останньою значущою цифрою числа. У наведеному прикладі = 0,05 (103 кг/м3. При вимірюванні приладами більш високої точності виникає проблема незбігання числових значень кожного нового виміру із попереднім. У цьому випадку проводять повторні вимірювання 3-5 і більше разів, а результат багаторазових вимірювань фізичної величини х записується набором значень( х1 , х2 , х3 , ….. хn , (7)
де індекс n вказує на максимальне число проведених вимірювань. Доведено, що добрим наближенням до істинного значення вимірюваної величини є середнє арифметичне результатів вимірювань хі( хіст ( = (x1+ x2+ . . . + xn) = . (8)
Тому на практиці обробка результатів багаторазових прямих вимірювань зводиться до обчислення за формулою (8) середнього арифметичного значення виміряної величини, а потім – абсолютних похибок xi окремих вимірів (за формулою (9)). Абсолютну похибку окремого вимірювання знаходять як модуль різниці між результатом кожного окремого вимірювання xi і середнім арифметичним : х1 =(x1 – (( х2 =(x2 – (
хn =(xn –( . (9)
Після цього обчислюють середнє арифметичне значення абсолютних похибок окремих вимірювань
(9а)
і подають результат вимірювання у формі : х = ( . (9б)
Відносна похибка вимірювання визначається, як x =. (9в)
6. Визначення похибок непрямих вимірювань Розрахункова формула, що служить для знаходження чисельного значення непрямого виміру, з точки зору математики є функцією, а похибки прямих вимірювань еквівалентні приростам аргументів цієї функції. Погляд математика( Функція Аргументи ( (
Розрахункова формула V = a ( b ( c (10)
Погляд фізика( ( ( Непряме Прямі вимірювання вимірювання
Тому фізична задача знаходження похибки непрямого вимірювання формально зводиться до математичної задачі знаходження приросту функції. Загальний метод визначення абсолютної похибки непрямого вимірювання Як приклад розглянемо вимірювання прискорення вільного падіння g з допомогою математичного маятника. Відомо, що період коливань маятника визначається формулою: , ( 11 )
де L ( довжина нитки, g ( прискорення вільного падіння. Оскільки , де N( кількість коливань маятника за час t, то розрахункова формула для вимірювання g набуде вигляду:
. (12)
Врахуємо, що g = g (L,N,t,), де у дужках наведено перелік змінних величин, що входять у формулу. Вони одержані шляхом прямих вимірювань. Величина N є точною і її похибка рівна нулю, а числове значення величиниможна взяти з точністю (наприклад, =3,1415), яка суттєво перевищує точність прямих вимірювань, а тому в подальшому її похибкою також можна знехтувати і вважати що g = g (L,t). Запишемо вираз для диференціалу dg( . Тут та частинні диференціали, що характеризують приріст функції при зміні кожного із аргументів L та t, зокрема, а та ( частинні похідні. 3) Знаходимо по черзі кожну із частинних похідних. При цьому користуємось правилом( всі фізичні величини, крім тих, по яких в даний момент беруться похідні, вважаються сталими і виносяться за знак похідної. Отже, . (13)
. (14)
4) Підставляємо одержані значення похідних у формулу для повного диференціалу і одержуємо( . (15)
5) Повертаємось до фізичної сторони задачі. Для цього замінюємо символи диференціалів d на символи абсолютних похибок , беручи коефіцієнти при останніх (з міркувань врахування найбільш несприятливих умов реалізації знаків похибок) по абсолютній величині: . (16)
Таким чином, ми одержали формулу для обчислення абсолютної похибки непрямого вимірювання (прискорення вільного падіння). 6) Підставимо в одержану формулу середні значення виміряних величин , t, а також N і та їх похибок і проведемо обчислення. 7) Результат вимірювання g запишемо у формі( g = ( . (17)
8) Обчислимо відносну похибку g вимірювання прискорення, попередньо обчисливши ( . (18)
6.2. Метод лоґарифмування Якщо розрахункова формула містить переважно дії вищого порядку (множення, ділення, піднесення до степеня), то зручніше спочатку знайти вираз для обчислення відносної похибки непрямого вимірювання, скориставшись методом лоґарифмування розрахункової формули. Для цього: 1) записуємо розрахункову формулу ( 12 ); 2) лоґарифмуємо її( ln g = ln 4 +2 ln +2 ln N +ln- 2 ln t; (19)
3)замінюємо в останньому виразі символи диференціалів символами абсолютних похибок, беручи коефіцієнти при них (з міркувань врахування найбільш несприятливої комбінації знаків похибок) по абсолютній величині : ; (22)
4) обчислюємо відносну похибку g, а через неї – абсолютну похибку g; 5) подаємо результати вимірювань відповідно до (17), (18).
