Є такі дані про роботу промислових підприємств:
Таблиця 2.1
№
п/п
Стаж роботи, роки
Місячний виробіток, грн..

1.
12
865

2.
16
882

3.
9
840

4.
18
912

5.
7
820

6.
11
870

7.
20
945

8.
8
812

9.
15
927

10.
10
842

11.
9
818

12.
8
802

13.
15
884

14.
11
832

15.
10
820

16.
7
804

17.
14
876

18.
19
908

19.
8
828

20.
13
860

21.
17
913

22.
10
852

23.
13
862

24.
9
815

25.
7
818

26.
10
859

27.
20
950

28.
8
810

29.
15
917

30.
15
880

31.
11
831

32.
10
820

33.
7
800

34.
13
858

35.
17
910

36.
12
963

37.
16
888

38.
9
836

39.
18
911

40.
7
805

41.
11
865

42.
8
813

43.
15
930

44.
10
845

45.
9
823

46.
8
805

47.
15
880

48.
11
839

49.
10
840

50.
7
803


Завдання 1.
На основі даних побудуємо ряд розподілу робітників підприємства за стажем роботи. Результати групування представимо в таблиці. Розрахуємо інтервал групування:

, де (2.1)
i – розмір інтервалу;
хmax; xmin – відповідно максимальне і мінімальне значення кількісної ознаки в середині сукупності;
n – кількість груп.
В даному випадку: xmax = 20; xmin = 7; n = 5.
i=(20-7)/5=2,6
Кількість груп визначаємо за формулою Стерджеса: n=1 + 3,322 lg n=7 груп
Таблиця 2.2
Прибуток від реалізації продукції
тис. грн..
Кількість
підприємств

63 - 274,8
13

274,8 - 486,6
12

486,6 - 698,4
12

698,4 - 910,2
4

910,2 - 1122
9


Отже найчастіше зустрічається помислові підприємства з прибутком від реалізації продукції від 63 тис. грн. до 274,8 тис. грн. їх кількість 13, а найменше від 698,4 тис. грн. до 910,2 тис. грн. – 4.
Завдання 2.
Побудуємо ряд розподілу промислових підприємств за середньорічною вартістю основних та оборотних фондів. Результати групування зобразимо графічно. Розрахуємо інтервал групування:
В даному випадку: xmax = 9,24; xmin = 2,39; n = 5;
i=
Рис.2.1 Графік розподілу промислових підприємств за середньорічною вартістю основних виробничих та оборотних фондів
Отже, найчастіше зустрічаються підприємства з середньорічною вартістю основних виробничих та оборотних фондів від 2,39 млн. грн. до 3,76 млн. грн., а найменше від 5,13 млн. грн. до 6,50 млн. грн. – 0.
Завдання 3.
Проведемо комбінаційне групування промислових підприємств за середньорічною вартістю основних виробничих фондів і оборотних фондів та обсягом прибутку від реалізації продукції. Результати групування представимо в таблиці.
І група: 63; 97; 104; 237; 276; 284; 534; 548; 686; 811; 1020; 64; 98; 105; 337; 376; 384; 634; 648; 786; 911; 1122; ;75; 109; 115; 437; 476; 484; 734;
i= (млн. грн.)
ІІ група: 203; 417; 580; 597; 624; 924; 931; 303; 517; 680; 697; 724; 1024; 1089; 403; 617;
i= (млн. грн.)
ІІІ група: –
IV група: 228; 328; 130;
i= (млн. грн.)
V група: 989; 1121;
i= (млн. грн.)
Таблиця (2.3)
№пп
Групи підприємств за
Кількістьпідприємств


Середньорічна вартість фондів млн. грн.
Прибуток від реалізації продукції тис. грн.




63 - 416
15



416 - 769
9



769 - 1122
5


Разом

29



203 - 498,33
4



498,33 - 793,66
8



793,66 - 1089
4


Разом

16



-
-



-
-



-
-


Разом

-



130 - 196
1



196 - 262
1



262 - 328
1


Разом

3



989 - 1033
1



1033 - 1077
0



1077 - 1121
1


Разом

2

Всього

50


Отже, за даними таблиці видно, що кількість підприємств за прибутком від реалізації продукції та вартістю основних виробничих фондів і оборотних фондів змінюються прямопропорційно.
Завдання 4.
1) За результатами групування п.1 та п.2 розрахуємо середню середньорічну вартість основних виробничих фондів і оборотних фондів. Розрахунки проведемо за формулою:
, де (2.2)
х – варіанта;
fi – частота (кількість).
(млн. грн.)
Отже, середньорічна вартість основних виробничих фондів та оборотних фондів становить 3,979 млн. грн.
2) Обчислимо середньорічний обсяг прибутку від реалізації продукції:
(тис. грн.)
Отже, середньорічний обсяг прибутку від реалізації продукції становить 524,724 тис. грн.
3) Розрахуємо моду та медіану середньорічної вартості основних виробничих фондів і оборотних фондів:
, де (2.3)
х0 – нижня межа мод-інтервалу;
k – розмір мод-інтервалу;
fm – частота мод-інтервалу;
fm-1 – частота інтервалу, що стоїть перед модальним;
fm+1 – частота інтервалу, що стоїть за модальним.
, де (2.4)
х0 – нижня межа мод-інтервалу;
k – розмір мод-інтервалу;
- загальна кількість одиниць сукупності;
fm – частота мод-інтервалу;
fm-1 – сума частот, накопичених до медіаного інтервалу;
(млн. грн.)
Отже, у даній сукупності найбільше підприємств, що мають 10,185 млн. грн. середньорічної вартості основних виробничих та оборотних фондів.
(млн. грн.)
Отже, у половині підприємств середньорічна вартість основних виробничих та оборотних фондів становить 10,42 млн. грн. і менше, а друга половина – 10,42 млн. грн. і більше.
4) Розрахуємо моду та медіану середньорічного обсягу прибутку від реалізації продукції:
(тис. грн.)
Отже, у даній сукупності найбільше підприємств, що маю середньорічний обсяг прибутку від реалізації продукції у розмірі 259,55 тис. грн..
(тис. грн.)
Отже, половина підприємств отримує прибуток від реалізації продукції у розмірі 113 тис. грн. і менше, а друга половина – 63 тис. грн. і більше.
Завдання 5.
1) Внутрішньо групові дисперсії рівня обсягу прибутку від реалізації продукції від середньорічної вартості основних виробничих фондів і оборотних фондів обчислюємо на основі таблиці:
Таблиця (2.4)
Інтервали обсягу прибутку
Значення вартості основних та оборотних фондів, які входять в даний інтервал
Кількість підприємств


63
97
104
237
276
284
534
548
686



811
1020
64
98
105
337
376
384
634



648
786
911
1122
75
109
115
437
476



484
734










203
417
580
597
624
924
931
303
417



680
697
724
1024
1089
403
617




5,13 - 6,50
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-

6,50 - 7,87
228
328
130






3

7,87 - 9,24
53
1121







2


Внутрішньогрупові дисперсії для кожного з п’яти наявних інтервалів обчислюємо за формулою:
, де (2.5)
х – значення ознаки;
f – частка, яка показує скільки разів ознака зустрічається в сукупності;
– середнє значення результативної ознаки в кожній групі.
Знайдемо середню арифметичну за формулою:
(2.6)
=63+97+104+237+276+284+534+548+686+811+1020+64+98+105+337+376++384+634+648+786+911+1122+75+109+115+437+476+484+734/29=
=432,93 (млн.грн.)
=203+417+580+597+624+924+931+303+417+680+697+724+1024+1089+403+
+617/16=639,375 (млн.грн.)
=228+328+130/3=228,66 (млн.грн.)
=989+1121/2= 1055 (млн.грн.)
Визначимо внутрішньогрупову дисперсію:
((63-432,93 )2 + (97-432,93 )2 + (104-432,93 )2 + (237-432,93 )2 +
+ (276-432,93 )2 + (284-432,93 )2 + +(534-432,93 )2 + (548-432,93 )2 +
+ (686-432,93 )2 + (811-432,93 )2 + (1020-432,93 )2 + (64-432,93 )2 +
+ (98-432,93 )2 + (105-432,93 )2 + (337-432,93 )2 + (376-432,93 )2 +
+ (384-432,93 )2 + (634-432,93 )2 +(648-432,93 )2 + (786-432,93 )2 +
+ (911-432,93 )2 + (1122-432,93 )2 + (75-432,93 )2 + (109-432,93 )2 +
+ (115-432,93 )2 + (437-432,93 )2 + (476-432,93 )2 + (484-432,93 )2 +
+ (734-432,93 )2)/29 =94303,37
((203-639,375)2 + (417-639,375)2 + (580-639,375)2 + (597-639,375)2 +
+ (624-639,375)2 + (924-639,375)2 + (931-639,375)2 + (303-639,375)2 +
+ (517 -639,375)2 + (680-639,375)2 + (697-639,375)2 + (724-639,375)2 +
+ (1024-639,375)2 + (1089-639,375)2 + + (403-639,375)2 + (617-639,375)2)/16 =
= 59888,55
((228-228,66 )2 + (328-228,66 )2 + (130-228,66 )2 /3 = 6534,22
((989-1055)2 + (1121-1055)2 )/2 = 4356
Внутрішньогрупова дисперсія характеризує варіацію результативної ознаки в середині групи за рахунок всіх факторів разом взятих крім групового.
Оскільки, чим менше значення має дисперсія, тим більш одноманітною є сукупність інтервалу, то можна зробити висновок, що найбільш одноманітним є 5 інтервал (4356), а найменш одноманітним – 1 інтервал (94303,37).
Отже, прибуток від реалізації продукції залежить від усіх факторів разом узятих та від середньорічної вартості основних виробничих та оборотних фондів. Найменше впливає середньорічна вартість основних виробничих та оборотних фондів.
2) Обчислення середньої з групових дисперсій проводимо наступним чином:
; (2.7)

Отже по всіх п’яти групах середня дисперсія становить 74426,58.
3) Між групову дисперсію обраховуємо за формулою:
, де (2.8)
- загальна середня по всій сукупності:
513,62 (тис. грн.) (2.9)

Отже, варіація прибутку від реалізації продукції під впливом середньорічної вартості основних та оборотних фондів становить 25432,71.
4) Для знаходження кореляційного відношення знаходимо загальну дисперсію. Для цього використаємо формулу:
(2.10)
((63-513,62)2 + (97-513,62)2 + (104-513,62)2 + (130-513,62)2 + (203-
- 513,62)2 + (237-513,62)2 + (276-513,62)2 + (284-513,62)2 + (417-513,62)2 +
+ (534-513,62)2 + (548-513,62)2 + (580-513,62)2 + (597-513,62)2 + (624-
-513,62)2 + (686-513,62)2 + (811-513,62)2 + (924-513,62)2 + (931-513,62)2 +
+ (989-513,62)2 + (1020-513,62)2 + (64-513,62)2 + (98-513,62)2 + (105-
-513,62)2 + (228-513,62)2 + (303-513,62)2 + (337-513,62)2 + (376-513,62)2 +
+ (384-513,62)2 + (517-513,62)2 + (634-513,62)2 + (648-513,62)2 + (680-
-513,62)2 + (697-513,62)2 + (724-513,62)2 + (786-513,62)2 + (911-513,62)2 +
+ (1024-513,62)2 + (1089-513,62)2 + (1121-513,62)2 + (1122-513,62)2 + (75-
-513,62)2 + (109-513,62)2 + (115-513,62)2 + (328-513,62)2 + (403-513,62)2 +
+ (437-513,62)2 + (476-513,62)2 + (484-513,62)2 + (617-513,62)2 + (734-
-513,62)2)/50 = 99859,29
Для економічної інтерпретації вище перерахованих дисперсій розрахуємо кореляційне відношення використовуючи формулу:
(2.11)

Оскільки, то зв’язок між факторною і результативною ознакою вважається середнім. Таким чином, в обмеженій сукупності 25,4% прибутку від реалізації продукції пов’язані з середньорічної вартістю основних та оборотних фондів. На інші фактори припадає 74,6% варіації. Вище перераховані дисперсії зв’язані між собою. За правилами додавання дисперсій.
(2.12)
Проведемо відповідні розрахунки:

Отже, можна зробити висновок, що загальна дисперсія розрахована правильно.
Завдання 6.
Для порівняння одноманітності сукупностей прибутку від реалізації продукції та середньорічною вартістю основних та оборотних фондів потрібно порівняти їх загальні дисперсії або використати коефіцієнт варіації. Знайдемо загальну дисперсію середньорічної вартості основних виробничих та оборотних фондів:
(млн. грн.)
((2,47-3,8)2 + (2,75-3,8)2 + (2,67-3,8)2 + (7,16-3,8)2 + (3,83-3,8)2 + (3,11-3,8)2 + (2,94-3,8)2 + (2,39-3,8)2 + (3,81-3,8)2 + (2,69-3,8)2 + (3,32-3,8)2 + (4,38-3,8)2 + (4,63-3,8)2 + (3,98-3,8)2 + (2,76-3,8)2 + (2,98-3,8)2 + (4,92-3,8)2 + (4,80-3,8)2 + (9,20-3,8)2 + (2,50-3,8)2 + (2,51-3,8)2 + (2,79-3,8)2 + (2,71-3,8)2 + (7,20-3,8)2 + (3,87-3,8)2 + (3,15-3,8)2 + (2,99-3,8)2 + (2,43-3,8)2 + (3,85-3,8)2 + (2,73-3,8)2 + (3,36-3,8)2 + (4,42-3,8)2 + (4,67-3,8)2 + (4,02-3,8)2 + (2,80-3,8)2 + (3,02-3,8)2 + (4,96-3,8)2 + (4,84-3,8)2 + (9,24-3,8)2 + (2,54-3,8)2 + (2,55-3,8)2 + (2,83-3,8)2 + (2,75-3,8)2 + (7,24-3,8)2 + (3,91-3,8)2 + (3,21-3,8)2 + (3,03-3,8)2 + (2,47-3,8)2 + (3,89-3,8)2 + (2,77-3,8)2)/50 = 2,63
Коефіцієнт варіації:
(2.13)


Отже, сукупність середньорічної вартості основних та оборотних фондів вважається неодноманітною оскільки її коефіцієнт більший за 33,3%.
Завдання 7.
Вибіркове спостереження – це таке спостереження, при якому характеристика всієї сукупності одиниць дається за деякою її частиною відібраною випадково.
Генеральна сукупність формується, відібравши з вихідної генеральної сукупності кожне п’яте підприємство.
Генеральна сукупність – це загальна кількість одиниць сукупності, що обмежується без винятку.
Таблиця (2.5)
№ п/п
Прибуток від реалізації продукції тис. грн.
Середньорічна вартість основних та оборотних фондів млн. грн.

1.
203
3,83

2.
534
2,69

3.
686
2,76

4.
1020
2,50

5.
303
3,87

6.
634
2,73

7.
786
2,80

8.
1122
2,54

9.
403
3,91

10.
734
2,77


1) Обчислимо середню середньорічну вартість основних та оборотних фондів та її дисперсію:
(3,83+2,69+2,76+2,50+3,87+2,73+2,80+2,54+3,91+2,77)/10 =
= 3,04 (млн. грн.)
((3,83-3,04)2 + (2,69-3,04)2 + (2,76-3,04)2 + (2,50-3,04)2 + (3,87-3,04)2 +
+ (2,73-3,04)2 + (2,80-3,04)2 + (2,54-3,04)2 + (3,91-3,04)2 + (2,77-3,04)2)/10 =
= 0,303
Порівнявши дві сукупності середньорічної вартості основних та оборотних фондів – генеральну та вибіркову бачимо, що дисперсія генеральної сукупності є більшою (=2,63>=0,303), тому вибіркова сукупність є більш одноманітною.
2) Обчислимо середній обсяг прибутку від реалізації продукції і його дисперсію:
(203+534+686+1020+303+634+786+1122+403+734)/10 = 642,5 (тис. грн.)
((203-642,5)2 + (534-642,5)2 + (686-642,5)2 + (1020-642,5)2 + (303-642,5)2 +
+ (634-642,5)2 + (786-642,5)2 + (1122-642,5)2 + (406-642,5)2 + (734-642,5)2)/10 =
= 77948,05
Порівнявши дві сукупності обсягу прибутку від реалізації продукції – генеральну та вибіркову бачимо, що дисперсія генеральної сукупності є більшою (=99859,29>=77948,05), тому вибіркова сукупність є більш одноманітною.
Завдання 8.
1) За результатами п.7 будуємо графік кореляційного поля залежності рентабельності від середньорічної вартості основних виробничих фондів і оборотних фондів:

Рис.2.2 Кореляційне поле
2) Взаємозв’язок середньорічної вартості основних виробничих та оборотних фондів і прибутку від реалізації продукції характеризується рівнянням прямої:
y=a+bx
Таке рівняння називається кореляційним або рівняння регресії на X. В нашому випадку за Х можна взяти факторну ознаку, тобто середньорічну вартість основних виробничих та оборотних фондів, а за У – прибуток від реалізації продукції.
Параметр b – коефіцієнт регресії, він показує на скільки одиниць змінюється результативна ознака при зміні факторної на одиницю.
Розрахуємо параметр лінійної регресії за такими формулами:
(2.14)
, де (2.15)
х і у значення середньорічна вартість основних виробничих та оборотних фондів і прибуток від реалізації продукції відповідно.
Обчислення зробимо в таблиці:
X
Y
X2
X*Y

3,83
203
14,6689
777,49

2,69
534
7,2361
1436,46

2,76
686
7,6176
1893,36

2,5
1020
6,25
2550

3,87
303
14,9769
1172,61

2,73
634
7,4529
1730,82

2,8
786
7,84
2200,8

2,54
1122
6,4516
2849,88

3,91
403
15,2881
1575,73

2,77
734
7,6729
2033,18

30,4
6425
95,455
18220,33


а=1954,6 b=-431,61
Оскільки загальний вигляд лінійного рівняння регресії y=a+bx, то отримуємо рівність y=1954,6-431,61х.
Отже прибуток від реалізації продукції зросте на 1954,6 грошових одиниць при збільшенні середньорічної вартості основних виробничих та оборотних фондів на 1%, а їх зв'язок буде обернений оскільки b<0.
Розрахуємо коефіцієнт еластичності:
(2.16)

3) Для оцінки тісноти зв’язку та його достовірності розрахуємо наступні показники:
Коефіцієнт кореляції:
(2.17)

Розрахувавши коефіцієнт кореляції ми бачимо що >0,5 тому зв'язки між ознаками є сильний.
Критерій достовірності коефіцієнта кореляції:
,де (2.18)
середня помилка коефіцієнта кореляції:

0,032
, отже коефіцієнт є достовірним, а зв'язок доведеним (зв'язок вважається достовірним якщо ).