Задача. Бак у формі куба заповнений бензином. Знайти відношення сил тиску бензину на дно баку і на його бічну сторону. Нагадування: , h -- глибина, S – площа.
На дно: . При знаходженні сили тиску на бічну сторону потрібно врахувати, що тиск залежить від глибини. Введемо вісь х вертикально вниз. Розіб’ємо відрізок 0, а на проміжки і виберемо проміжні точки. При цьому бічна сторона розіб’ється на горизонтальні частинки, глибину яких можна вважати сталою . Для і-тої частинки сила тиску . Просумуємо ці сили і перейдемо до границі при : . Відношення сил тиску .
Розглянемо ще один спосіб розв’язування прикладних задач з допомогою визначеного інтегралу:
Нехай треба знайти величину F(х), для якої відома швидкість її зміни (F’(x)), або її диференціал – основна частина приросту dF(x)??F(x). Тоді з допомогою визначеного інтегралу можна знайти приріст величини F(х), коли х змінюється від а до b: , або . Якщо інтеграли брати на проміжку від а до х то знайдемо і саму функцію F(х) (при відомому її значенні в одній точці F(а) ).
Пр.1. Швидкість нагрівання тіла залежить від часу по закону: v=0,03t+0,1, де t – час в с, v – швидкість в оК/с. На скільки градусів нагріється тіло за першу хвилину?
Нехай Т(t) -- температура тіла в момент часу t. Тоді Т’(t)= v(t)=0,03t+0,1. Потрібно знайти приріст Т(t) на проміжку часу від 0с до 60с.
Т(60)-Т(0)= .
Пр.2. Відомо, що приріст функції ?(х) прямо пропорційний квадрату аргументу і приросту аргументу і ?(0)=2, ?(1)=4 . Знайти функцію ?(х) і ?(10).
,
Невласні інтеграли.
Виникають при деяких замінах, їх також використовують в теорії ймовірності.
Невласні інтеграли І роду
Означення 1. Нехай ? інтегрована на [a;b] при будь-якому b>а.
Границя називається невласним інтегралом І роду. Позначається : .
Якщо ця границя число, то невл. інтеграл називається збіжним в іншому випадку (границя ?, або не існує) інтеграл наз. розбіжним.
Геометричний зміст. Якщо ?(х)?0, то -- це площа необмеженої криволінійної трапеції, що знаходиться між у=?(х) і у=0 при х?а.
Пр.1.
Інтеграл збіжний.

Пр.2. =

.
Аналогічно вводиться невласний інтеграл з нескінченною нижньою межею.
Означення 2. . Функція повинна бути інтегрованою на відрізку [a;b] при будь-якому a<b.
Означення 3. , де с - деяке число, ?(х) має бути інтегрована на будь-якому відрізку [a;b], aєR, bєR.
Інтеграл в лівій частині називається збіжним тільки тоді, коли збіжні обидва інтеграли в правій частині.
Пр.


Невласні інтеграли від фінітних функцій
Означення. Функція ?(х), хєR називається фінітною, якщо вона дорівнює нулю в усіх точках прямої крім точок деякого відрізка.
Пр. Знайти: , , якщо .
Функція фінітна, бо не рівна нулю тільки на відрізку [0;2]. .
Невласні інтеграли ІІ роду(для необмежених функцій)
Означення. Якщо ? не інтегрована на [a;b], але інтегрована на [a;c] для будь-якого с є(a;b), то границя назив. невласним інтегралом ІІ роду з особливістю в точці b і позначається : . Якщо ця границя є дійсне число, то інтеграл називається збіжним, якщо ? або не існує, то інтеграл називається розбіжним.
Пр.
.
Отже, заштрихована фігура має нескінченну площу.
Аналогічно дається означення невласного інтегралу ІІ роду з особливістю в нижній межі, в т. а: . ?(х) має бути інтегрована на [с;b] при будь-якому с є (а;b), і невласного інтегралу ІІ роду з особливістю всередині проміжку інтегрування в т. с, сє (а;b):
.
Інтеграл в лівій частині називається збіжним, якщо збіжні обидва інтеграли в правій частині.
Пр. Дослідиимо кожний інтеграл окремо: .
Отже, початковий інтеграл також розбіжний. (Другий інтеграл (на проміжку [0;2]) можна вже не досліджувати.)