РОЗДІЛ 12.
ГЕОМЕТРИЧНА ОПТИКА
Закон відбивання світла:
падаючий, відбитий промені та перпендикуляр, поставлений в точці падіння променя до межі розділу двох середовищ, лежать в одній площині; кут відбивання світлового променя дорівнює кутові падіння.
Для сферичного дзеркала з радіусом кривини поверхні R пучок паралельних променів після відбивання сходиться у фокусі F на відстані від дзеркала:
.
Для вгнутого сферичного дзеркала фокус F є дійсним, а для опуклого – уявним. Тому величина F додатна для вгнутого і від’ємна для опуклого дзеркал.
Формула дзеркала:
.
де d – відстань від дзеркала до предмета; f – відстань від дзеркала до зображення. У формулі дзеркала знак біля f: для дійсного зображення є “+”, а для уявного – “-“.
Поперечне (лінійне) збільшення m зображення дзеркала :
,
де h – висота предмета; Н – висота зображення. Якщо m позитивне, то зображення пряме; якщо ж негативне, то зображення перевернуте. Опукле дзеркало завжди дає уявне, пряме і зменшене зображення предмета.
Закон заломлення світла:
падаючий, заломлений промені та перпендикуляр, поставлений в точці падіння променя до межі розділу двох середовищ, лежать в одній площині; відношення синуса кута ?1 падіння до синуса кута ?2 заломлення є величина стала для даної пари середовищ, визначається відношенням швидкості ?1 поширення світла в першому середовищі до швидкості ?2 поширення світла в другому середовищі і називається відносним показником заломлення другого середовища відносно першого:
.
де n1 та n2 – абсолютні показники заломлення середовищ.
Абсолютний показник заломлення n середовища:
,
де с – швидкість світла у вакуумі; ? – швидкість світла у середовищі.
Закон Снелліуса:
.
Граничний кут падіння ?гр:
.
Для тонкої лінзи з показником заломлення nл, яка міститься в середовищі з показником заломлення nс, оптична сила D лінзи становить:
,
де R1 та R2 – радіуси кривини поверхонь лінзи, які враховують знак (“+” чи “-”) залежно від форми поверхні (опукла чи вгнута) по відношенню до падаючого променя.
Формула тонкої лінзи:
,
де d – відстань від лінзи до предмета, а f – відстань від лінзи до зображення.
Усі відстані відраховуються вздовж головної оптичної осі лінзи. Відстань від лінзи до предмета d береться із знаком “+”. Відстань f до зображення предмета, яка відраховуються від лінзи за ходом променя, вважаються додатною, а проти ходу променя - від'ємною. Знак біля відстані f визначається отриманим зображенням: для дійсного зображення він є “+”, а для уявного – “-”. Своєю чергою, фокусна відстань (як і оптична сила) збиральної лінзи береться із знаком “+”, а розсіювальної лінзи – із знаком “-”.
Оптична сила двох тонких лінз (системи лінз), що складені разом:
.
Поперечне (лінійне) збільшення k зображення лінзою визначається за формулою:
,
де h – висота предмета, а Н – висота зображення.
Кут відхилення світлових променів призмою:
,
де  – заломлюючий кут призми;  – відносний показник заломлення речовини, з якої виготовлена призма.
Приклади розв’язування задач
Задача 1. Предмет розташований на відстані = 15 см від вершини опуклого сферичного дзеркала, а його зображення – на відстані = 10 см від дзеркала. Який радіус кривини дзеркала?
Дано:
= 15 см
= 10 см



= ?

Розв’язування
В опуклому сферичному дзеркалі зображення предмета завжди є пряме, уявне і зменшене. Тому формула сферичного дзеркала для такого випадку має вигляд:
. (1)
З (1) знаходимо фокусну відстань такого дзеркала:
.
Оскільки для сферичного дзеркала
,
то радіус кривини такого дзеркала можна знайти за формулою:
. (2)
Після підстановки в (2) числових значень, отримаємо = 0,60 м.
Задача 2. На горизонтальному дні озера лежить плоске дзеркало. Промінь світла входить у воду під кутом 300 і після відбивання від дзеркала знову виходить з води у повітря на відстані 2 м від місця падіння. Яка глибина озера? Показник заломлення води 1,33.

Дано:
= 300
= 2 м
= 1,33



= ?

Розв'язування
На межі розділу повітря-вода промінь світла частково відбивається, а також зазнає заломлення. Кут заломлення визначимо із закону:
, (1)
в якому враховано, що для повітря = 1.
Тоді кут заломлення
. (2)
Оскільки
, (3)
то з (1)-(3) знаходимо:
. (4)
Після підстановки в (4) числових значень величин, отримаємо:
= 2,46 м.
Задача 3. На плоско паралельну пластинку товщиною 3 см падає з повітря промінь світла під кутом 300 . На скільки зменшує пластинка геометричний шлях променя у повітрі? Показник заломлення скла 1,5.

Дано:
= 3 см
= 300
= 1,5



= ?

Розв’язування

Рис. 12.1
Промінь світла, що проникає в скляну пластинку, заломлюється і зміщується від свого напрямку поширення (пунктирна лінія на рисунку, довжина якої в склі ) й проходить в склі геометричний шлях довжиною . Таким чином, визначимо
. (1)
Оскільки товщина пластинки , то геометричні шляхи можна знайти із співвідношень
, . (2)
Кут заломлення променя світла на межі розділу повітря-скло визначимо із закону заломлення:
, (3)
в якому враховано, що для повітря беремо = 1.
З (3)знаходимо:
. (4)
За формулами (1)-(4) знаходимо:
. (5)
Після підстановки в (5) числових значень величин, отримаємо:
 = 2,8·10-3 м.
Задача 4. Лінза дає пряме збільшене в k = 4 рази зображення предмета. Відстань від предмета до зображення = 25 см. Якою є оптична сила лінзи?
Дано:
 = 4
= 25 см



= ?

Розв’язування
Оскільки зображення предмета збільшене, то така лінза є збиральною. Разом з тим, збільшене зображення збиральної лінзи може бути як дійсним, так і уявним. Тому розглянемо ці два випадки.

Випадок 1: зображення предмета дійсне, обернене і збільшене. Тоді відстань від предмета до його зображення
,
де - відстань від лінзи до предмета, - відстань від лінзи до зображення.
Враховуючи, що збільшення лінзи
,
знайдемо
.
Отже,
,
звідки
.
За формулою тонкої лінзи для випадку збиральної лінзи і дійсного зображення:
.
Після підстановки значень отримаємо = 25 дптр.

Випадок 2: зображення предмета уявне, пряме і збільшене. Тоді
.
Звідси
.
За формулою тонкої лінзи для випадку збиральної лінзи і уявного зображення:
.
Після підстановки значень отримаємо:
 = 9 дптр.
Задача 5. Дві тонкі збиральні лінзи щільно прилягають одна до одної і їх головні оптичні осі співпадають. Така система лінз дає дійсне збільшене в = 2 рази зображення предмета. Фокусна відстань однієї лінзи = 20 см, а іншої – = 30 см. Яка відстань від предмета до його зображення? Товщиною лінз знехтувати.
Дано:
= 2
= 20 см
= 30 см



= ?

Розв'язування.
Оскільки лінзи складені разом, то оптична сила такої системи рівна
,
а збільшення її визначається за формулою:
,
де - відстань від системи лінз до предмета; - відстань від системи лінз до зображення предмета.
Тоді відстань від предмета до його зображення:
,
звідки
.
За формулою тонкої лінзи для випадку збиральної лінзи і дійсного зображення:
.
Отже,
.
Після підстановки значень, отримаємо:
 = 0,54 м.
12.1. Два плоскі дзеркала торкаються так, що утворюють між собою кут 1200. На перше дзеркало падає світловий промінь під кутом падіння 500 і, відбившись, попадає на друге дзеркало. Яким буде кут відбивання променя від другого дзеркала ?
12.2. У кімнаті довжиною L = 5 м і висотою Н = 3 м висить на стіні плоске дзеркало. Людина дивиться в нього, знаходячись на віддалі l = 1 м від тієї стіни, на якій воно висить. Якою повинна бути найменша висота дзеркала, щоб людина могла бачити стіну, котра знаходиться за її спиною, у всю висоту ?
12.3. Плоске дзеркало обертається з постійною частотою ? = 0,5 с-1. З якою лінійною швидкістю буде переміщатись “зайчик” по сферичному екрані радіусом 10 м, якщо дзеркало знаходиться у центрі кривини екрана?
12.4. Предмет висотою 1,2 см розміщений на відстані 2 см від вгнутого дзеркала з радіусом кривини 8 см. Знайти відстань від дзеркала до зображення предмета та висоту зображення.
12.5. Предмет висотою 1,2 см розміщений на відстані 2 см від опуклого дзеркала з радіусом кривини 8 см. Знайти відстань від дзеркала до зображення предмета та висоту зображення.
12.6. Предмет знаходиться на відстані 15 см від вгнутого сферичного дзеркала з радіусом кривини 20 см. Побудувати зображення предмета та визначити його лінійне збільшення.
12.7. Предмет знаходиться на відстані 15 см від опуклого сферичного дзеркала з радіусом кривини 20 см. Побудувати зображення предмета та визначити його лінійне збільшення.
12.8. Вгнуте сферичне дзеркало дає дійсне збільшене в 5 разів зображення предмета. Відстань між предметом та його зображенням складає 24 см. Якою є фокусна відстань такого дзеркала?
12.9. Збіжний пучок світлових променів падає на опукле сферичне дзеркало так, що точка перетину продовжень цих променів знаходиться на осі дзеркала на відстані 25 см від нього. Відбиті промені пересікають оптичну вісь на відстані 75 см від дзеркала. Знайти фокусну відстань дзеркала.
12.10. На відстані 0,1 м від опуклого сферичного дзеркала знаходиться предмет висотою 2 см. Радіус кривини дзеркала дорівнює 60 см. Побудувати рисунок та знайти відстань до зображення предмета і висоту зображення.
12.11. Радіус кривини вгнутого сферичного дзеркала складає 0,4 м. На якій відстані від дзеркала слід розмістити предмет, щоб зображення предмета було збільшене в 2 рази та було б уявним?
12.12. Радіус кривини вгнутого сферичного дзеркала складає 0,4м. На якій відстані від дзеркала слід розмістити предмет, щоб зображення предмета було збільшене в 2 рази та було б дійсним?
12.13. Тонкий непрозорий диск радіусом 10 см міститься на відстані 80 см від екрана. На відстані 100 см від екрана перед диском розміщене точкове джерело світла. Визначити радіус круглої тіні на екрані.
12.14. Тонкий непрозорий диск радіусом 10 см міститься на відстані 80 см від екрана. На відстані 100 см від екрана перед диском розміщене джерело світла, яке також має форму тонкого диска,радіусом 5 см. Визначити радіуси тіні і півтіні, що утворюються при цьому на екрані? Площини дисків та площина екрану паралельні між собою, центри дисків лежать на одному перпендикулярі до площини екрану.
12.15. Промінь світла падає у воді на скляну пластинку. Показник заломлення води n1 = 1,33; показник заломлення скла n2 = 1,5. Яким повинен бути кут падіння променя, щоб відбитий від межі розділу промінь був перпендикулярним до заломленого ?
12.16. Визначити, наскільки плоскопаралельна скляна пластинка товщиною d = 10 см зміщує промінь світла, який падає з повітря на неї під кутом ?1 = 700. Показник заломлення скла n = 1,5.
12.17. Промінь світла потрапляє з повітря під кутом падіння 30° на плоскопаралельну пластинку і виходить з неї паралельно до початкового променя. Показник заломлення скла 1,5. Яка товщина d пластинки, якщо бокове зміщення променя складає 1,94 см ?
12.18. Вертикально розміщений в озері стовп виступає з вода на 1,2 м. Визначити довжину тіні на дні озера, якщо промені Сонця падають на поверхню води під кутом 45°, а глибина озера – 1 м. Показник заломлення води дорівнює 1,33.
12.19. Показник заломлення товстої прозорої пластинки змінюється від n1 = 1,4 на верхній грані, до n2 = 1,5 на нижній. Верхня грань пластинки межує із середовищем з показником заломлення n0 = 1,33, а нижня – із середовищем з показником заломлення n3 = 1,7. Промінь світла потрапляє на верхню грань пластинки під кутом падіння ?1 = 300. Під яким кутом промінь вийде з пластинки?
12.20. Людина, яка стоїть на березі озера, дивиться на камінь, що лежить на його дні. Глибина озера h = 1 м. На якій віддалі від поверхні води буде зображення каменя, якщо кут зору складає з нормаллю до поверхні води кут 60°? Показник заломлення води n = 1,33.
12.21. Водолаз, ростом 1,7 м, стоїть на дні озера. Яка глибина озера, якщо водолаз бачить відбиті від поверхні води ділянки горизонтального дна, що знаходяться на відстані більше 15 м від нього? Показник заломлення води дорівнює 1,33.
12.22. Промінь світла падає на прозору плоскопаралельну пластинку, товщиною 5,6 см, під кутом 45о і виходить із пластинки, зазнавши бокового зміщення стосовно початкового напрямку поширення у 2 см. Яким є показник заломлення матеріалу пластинки?
12.23. Пучок паралельних променів шириною 4 мм падає у повітрі на скло під кутом, що дорівнює граничному куту повного внутрішнього відбивання для скла відносно повітря. Якою є ширина світлового пучка в склі? Абсолютний показник заломлення скла дорівнює 1,5.
12.24. Пучок паралельних променів шириною 3 мм падає у воді на скло під кутом, що дорівнює граничному куту повного внутрішнього відбивання для скла відносно повітря. Ширина світлового пучка в склі рівна 2,5 мм. Абсолютний показник заломлення скла дорівнює 1,6. Визначити абсолютний показник заломлення рідини.
I2.25. Яким повинен бути зовнішній радіус згину світловоду, зробленого з прозорої речовини з показником заломлення n = 4/3, щоб при діаметрі світловоду d = 1 мм світло, яке увійшло в світловод перпендикулярно до площини перерізу, поширювалось, не виходячи назовні через бічну поверхню?
12.26. Переріз скляної призми має форму рівностороннього трикутника. Промінь світла падає перпендикулярно на одну із його граней. Знайти кут ? між падаючим променем і променем, який вийшов з призми. Показник заломлення скла n = 1,5.
12.27. Промінь, що падає на одну із граней призми, виходить після заломлення через суміжну грань. Яким є максимально допустиме значення заломлюючого кута ? призми, якщо вона зроблена із скла з показником заломлення n = 1,5 ?
12.28. Знайти фокусну віддаль лінзи, що занурена у воду, якщо відомо, що її фокусна віддаль в повітрі дорівнює 20 см. Показник заломлення матеріалу лінзи nл = 1,6. Показник заломлення води nв = 1,33.
12.29. Симетрична двоопукла тонка лінза, показник заломлення якої nл = 1,45, занурена в рідину, показник заломлення якої дорівнює nр = 1,6. Радіуси кривини поверхонь лінзи однакові і дорівнюють R1 = R2 = 16 см. Яким буде збільшення зображення предмета, що міститься в рідині на відстані 150 см від лінзи?
12.30. Дві однакові за розмірами опуклі лінзи виготовлені зі скла з показником заломлення n1 = 1,5 тa n2 = 1,7. Знайти відношення їх фокусних відстаней. Що буде з променем, який іде паралельно до оптичної осі, якщо лінзи занурити в прозору рідину з показником заломлення nр = 1,6 ?
12.31. Відстань від предмета до екрана L = 50 см. Збірна лінза, вміщена між ними, дає чітке зображення предмета на екрані у двох положеннях. Відстань між цими положеннями l = 10 cм. Якими будуть збільшення зображення предмета у цих двох положеннях лінзи?
12.32. Радіуси кривини поверхонь опуклої лінзи однакові і дорівнюють R1 = R2 = 50 см. Показник заломлення матеріалу лінзи nл = 1,5. Знайти оптичну силу лінзи.
12.33. На віддалі 15 см від опуклої лінзи з оптичною силою 10 діоптрій, знаходиться предмет висотою 2 см. Знайти положення і висоту зображення предмета. Зробити рисунок.
12.34. Лінза з фокусною віддаллю 16 см дає чітке зображення предмета при двох положеннях, віддаль між якими 60 см. Знайти віддаль від предмета до екрана.
12.35. Висота полум’я свічки 5 см. Лінза дає на екрані зображення цього полум’я висотою 15 см. Не рухаючи лінзу, свічку відсунули на L = 1,5 см від лінзи і, пересунувши екран, знову отримали чітке зображення полум'я висотою 10 см. Визначити фокусну відстань лінзи.
12.36. Симетрична двоопукла тонка скляна лінза з радіусами кривини поверхонь 10 см дає збільшене в 5 разів зображення предмета. Якою є відстань від предмета до його зображення? Показник заломлення скла складає 1,5.
12.37. Тонка лінза дає пряме, уявне і збільшене у 5 разів зображення предмета, що знаходиться на відстані 20 см від лінзи. На якій відстані від даної лінзи слід помістити предмет, щоб його зображення було такого ж збільшення, але дійсним і оберненим? Якою є оптична сила лінзи?
12.38. Оптична система складається із збиральної лінзи з фокусною відстанню 10 см та розсіювальної лінзи з фокусною відстанню -20 см. Лінзи прилягають одна до одної і їх головні оптичні осі співпадають. Перед лінзами, на відстані 12 см, розміщено предмет висотою 4 см. Визначити висоту зображення предмета. Лінзи вважати тонкими.
12.39. Дві тонкі лінзи в фокусними відстанями F1 = 20 см та F2 = 25 см знаходяться на віддалі L = 5 см одна від одної, утворивши центровану систему. Знайти фокусну відстань цієї системи.
12.40. Знайти фокусну відстань F центрованої системи, що складається з двох тонких лінз з фокусними відстанями F1 = 20 см та F2 = 25 см, які знаходяться на відстані L = 5 см одна від одної, якщо простір між ними заповнено водою. Показник заломлення води nв = 1,33.