Омар Хайям належить до най-талановитіших арабських математиків. Народився він близько 1040 р. в персидському місті Нішапурі. Відомостей про життя Омара Хайяма дуже мало. Відомо, що вчився і виховувався він з двома іншими юнаками, які пізніше стали відомими в Східному Арабському халіфаті. Один з них займав високий пост візира при сельджуцькому султані Малік-Шаху і не раз пропонував Омару Хайяму зайняти високу посаду в адміністративному управлінні. Але той завжди відмовлявся, щоб бути вільним для занять науками і літературою. Політична обстановка змушувала його багато мандрувати. Від якихось невідомих нам ворогів він утік до Самарканда. Працював Омар Хайям у різних містах Середньої Азії та Ірану — Ісфагані, Реї тощо. Близько 1074 р. Хайям написав книжку «Мемуар Омара Хайяма про алгебраїчні доведення». Того ж року він був запрошений султаном Малік-Шахом на посаду головного астронома нової обсерваторії в Ісфагані. За наказом султана Омар Хайям підготував реформу календаря, але вона не була проведена через смерть Малік-Шаха. Виправлення календаря він пропонував провести так: додавати сім раз підряд до кожного четвертого року вставний 366-й день, на восьмий раз додавати вставний день після п'яти років. Таке літочислення, як виявилось, мало чим відрізняється від сучасного календаря. З математичних праць Омара Хайяма найвідоміші «Мемуар Омара Хайяма про алгебраїчні доведення» і «Коментарі до важких постулатів книги Евкліда». У вступі до першого твору автор дає означення алгебри як науки, метою якої є визначення невідомих — як числових, так і геометричних. Хайям розглядає розв'язування тільки алгебраїчних рівнянь. Він докладно аналізує існування різних типів рівнянь І, II і III степеня і показує на прикладах їх розв'язування геометричним способом. Омар Хайям першим розробив повну і систематичну теорію розв'язування рівнянь III степеня за допомогою конічних перерізів. Наполегливі шукання математиками алгебраїчного розв'язування цих рівнянь не принесли позитивних результатів. Числові рівняння III степеня були розв'язані лише в XVI ст. італійськими вченими Ферро, Тарталья і Кардано. У другому творі Хайям надає великого значення проблемі паралельних ліній. Він пропонує замінити V постулат Евкліда іншим, який колись висловив ще Арістотель: «Дві прямі, що сходяться (зближуються) одна з одною, перетинаються, і неможливо, щоб дві прямі, які сходяться (зближуються), розходились у напрямі сходження». Омар Хайям бере чотирикутник, що складається з відрізка АВ, двох рівних перпендикулярів АС і BD, поставлених з кінців відрізка АВ і відрізка CD. Якими будуть верхні кути чотирикутника: 1) обидва гострі, 2) тупі або 3) прямі? Після довгих міркувань він доводить, що верхні кути мають бути прямі, і робить висновок, що теорему доведено. Але це доведення було помилковим. Цей чотирикутник набув в історії математики широкої популярності, його називають «чотирикутником Хайяма-Саккері» (Саккері — італійський учений-чернець, який у 1733 р. обґрунтовував доведення V постулату Евкліда на такому самому чотирикутнику). Омар Хайям відомий не тільки як математик, а і як письменник та поет. Його літературні твори написані перською мовою. Омар Хайям— класик перської і таджицької літератур. У своїх рубаях (невеликих віршах) він оспівував почуття кохання й свободи, сумував з приводу скороминучості й недосконалості життя на землі, висміював офіційну релігію. «Рубайят»—класичний твір персько-таджицької поезії. На українську мову твори Хайяма перекладав відомий учений, професор Московського інституту східних мов А. Кримський. Омар Хайям залишив ще твори з фізики й філософії. Помер учений у 1123 р. У 1934 р. в Нішапурі на могилі Омара Хайяма споруджено монументальний обеліск-пам'ятник ученому і поету. НАСІРЕДДІН АТ-ТУСІ (1201 — 1274 PP.)
Видатний учений Насіреддін ат-Тусі Мухаммед народився у 1201 р. у великому культурному центрі Хорасану м. Тусі. В основному він жив. учився і працював у себе на батьківщині. Лише певний час жив у Кухистані при дворі правителя. Коли Кухистан завоювали монголи, новий володар Ірану Кулагу-хан (внук Чінгісхана) обрав столицею Марагу. Він наказав збудувати велику обсерваторію, яка почала працювати у 1259 р. Велику групу учених, що тут працювали, очолив Насіреддін Тусі. Добре обладнана Марагинська обсерваторія була найкращою на Сході в середні віки, а при ній була велика бібліотека. Тут під керівництвом Насіреддіна Тусі були складені астрономічні таблиці («Зідж Ільхана»). Насіреддін Тусі — автор багатьох оригінальних книжок, перекладів і коментарів. Основну його працю звичайно називають «Трактат про повний чотиристоронник». Трактат був написаний перською мовою, а в 1260 р. Насіреддін Тусі переклав його на арабську мову. Трактат складається з п'яти книжок, в яких наводяться теорія відношень, доведення теореми Менелая для різних видів плоского повного чотиристоронника, поняття синуса і косинуса, задачі на обчислення двох дуг за їх сумою або різницею і за відношенням їх синусів, розв'язування сферичних трикутників. Трактат Тусі займає в історії тригонометрії особливе місце. Це перша праця, в якій розв'язування трикутників розглядається як окрема наука. Тут уперше подано повну і цілісну побудову всієї системи тригонометрії, починаючи з основних понять і співвідношень і закінчуючи алгоритмом розв'язування усіх типових задач.
У тригонометрії стали переважати матеріали про алгебраїчні залежності тригонометричних функцій і про їх обчислювальні можливості. Насіреддін Тусі довів теореми синусів, тангенсів та інші, але через недосконалу символіку не зміг встановити залежностей між тригонометричними функціями, їх встановили лише в XVI ст. європейські математики. Наполегливо й глибоко працював Насіреддін Тусі і в галузі геометрії, зокрема над доведенням V постулату Евкліда. Відомо три твори Насіреддіна Тусі, в яких розглядається ця проблема: «Трактат, що виліковує сумніви з приводу паралельних ліній» і дві редакції перекладу праці Евкліда «Начала» під заголовком «Виклади Евкліда», з докладними й обґрунтованими додатками й змінами у формі коментарів. У свої доведення він вводить кілька власних лем, серед яких є лема з доведенням, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 2 d. Як і інші доведення V постулату, доведення Насіреддіна не є логічно обґрунтованим, бо такого доведення просто не існує. У цих творах Насіреддін Тусі аналізує способи і методи доведень V постулату, знайдені математиками попереднього часу, зокрема, доведення Омара Хайяма, використовуючи і його чотирикутник. У самому доведенні Насіреддін ат-Тусі пише: «Якщо в кінці відрізка АВ поставити до нього перпендикуляри АС і BL і, відклавши на них рівні відрізки АС і BD, провести пряму DC, та кути ACD і BDC будуть прямі, відрізок CD дорівнюватиме АВ». Учений ставить запитання, якими будуть верхні кути — гострими, тупими чи прямими. Складними геометричними побудовами і теоретичними міркуваннями він доводить, що верхні кути прямі. Цим, як помилково гадав Насіреддін, він довів справедливості V постулату Евкліда. Ідеї Хайяма і Насіреддіна Тусі мають велике значення для розвитку вчення про паралельні лінії. Помер Насіреддін Тусі під час подорожі до Багдада у 1274 р.
