Поліноми Чебишева
При наближенні (інтерполюванні) неперервної функції f(x) поліномами Лагранжа або Ньютона справедлива така рівність
EMBED Equation.3 , (1)
де Pn(x) – інтерполюючий поліном n-го порядку (тобто поліном, яким наближають f(x));
En(x) – залишковий член, подібний до залишкового члена полінома Тейлора Rn(x) ( за винятком того, що у випадку використання рядів Тейлора
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ,
залишковий член має вигляд
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 і для кожного EMBED Equation.3 існує таке с=с(х), що лежить між х0 та х.
А у випадку використання полінома Лагранжа (Ньютона) співмножник EMBED Equation.3 замінюється добутком EMBED Equation.3 . Це природньо, оскільки інтерполювання проходить точно по кожному з n+1 вузлів хк, де
EMBED Equation.3 .)
Доведено, що залишковий член Еn(х) має вигляд
EMBED Equation.3 (2)
для деякого с=с(х), що лежить на проміжку [a,b], EMBED Equation.3 - похідна (n+1)-го порядку в точці с.
Рівняння (2) можна записати у вигляді
EMBED Equation.3 , де
EMBED Equation.3 - поліном степені (n+1), розписаний через свої корені. Якщо використовувати для інтерполяції функції f(x) рівновіддалені вузли EMBED Equation.3 і f(x) та похідні f(x) до (n+1) порядку неперевні і обмежені на спеціальних підінтервалах [x0,x1]; [x0, x2]; [x0, x3], тобто
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - максимальне значення похідної;
то, наприклад, залишковий член EMBED Equation.3 для випадків n=1 (пряма), n=2(парабола), n=3 (кубічний поліном) буде мати такі максимальні значення
EMBED Equation.3
Якщо ж використовувати рівновіддалені вузли для інтерполяції функції EMBED Equation.3 Рунге, то залишковий член En(x) при EMBED Equation.3 теж зростає. Ця розбіжність називається феноменом Рунге (на противагу; наприклад; функції sin(x), де всі похідні обмежені однією і тією ж сталою М). Причина полягає в тому, що вибрані рівновіддалені вузли. Задамося метою – вибрати сукупність вузлів EMBED Equation.3 так, щоб мінімізувати залишковий член.
Мінімакс
Чебишев вивчив способи мінімізації верхньої межі EMBED Equation.3 . Верхню межу можна сформувати, взявши добуток максимального значення EMBED Equation.3 по всіх х з інтервалу [-1;1] і максимального значення EMBED Equation.3 по всіх х з інтервалу [ EMBED Equation.3 ;1]. Чебишев відкрив, що для мінімізації множника EMBED Equation.3 необхідно так вибирати х0, х1,…,хn, щоб EMBED Equation.3 .
Теорема. Припустимо, що n фіксоване. Серед всіх можливих варіантів вибору для Q(x)=(х-х0) (х-х1) … (х-хn) і серед всіх можливих варіантів вибору для різних вузлів EMBED Equation.3 на інтервалі [-1;1] поліном Т(х)=Тn+1(x)/2n є єдиним, який володіє властивістю EMBED Equation.3 . Більше цього, EMBED Equation.3 .
З цього результату може випливати твердження, що для інтерполювання Лагранжа функції f(x)=Pn(x)+En(x) на інтервалі [-1;1] мінімальне значення межі похибки EMBED Equation.3 досягається, коли вузли {xk} є абсцисами полінома Чебишева Tn+1(x).
Використання многочленів Чебишева для обчислення функцій дозволяє більш рівномірно розподілити похибку обчислень на всьому інтервалі зміни аргумента, ніж при використанні степеневих рядів.
Многочлен Чебишева Тn(х) степені n визначається за наступною формулою:
EMBED Equation.3 (3)
1
-1
-1
у
у=Т0(х)
1
х
Т1
Т2(х)
Т3
Рис.1
Легко показати, що (3) дійсно є многочленом: при піднесенні в степінь і наступних перетворень члени,що містять корені, пропадають. Наведемо многочлени Чебишева, отримані за формулою (3) при n=0,1,2,3 (рис.1):
EMBED Equation.3
Властивості поліномів Чебишева
1. Рекурентне співвідношення
Поліноми Чебишева можна отримати наступним чином. Покладемо EMBED Equation.3 і використаємо рекурентне співвідношення
EMBED Equation.3 (4)
2. Старший коефіцієнт
В ряді випадків важливо знати коефіцієнти аn при старшому члені многочлена Чебишова степені n
EMBED Equation.3
Поділивши цей многочлен на хn, знайдемо
EMBED Equation.3
Перейдемо до границі при EMBED Equation.3 і скористаємося формулою (1). Отримаємо
EMBED Equation.3
Отже, коефіцієнт при хn в поліномі Tn(x) дорівнює 2n-1, коли n>1.
3. Симетрія
Коли n=2M, то Т2М(х) – парна функція, тобто Т2М(-х)=Т2М(х).
Коли n=2M+1, то Т2М+1(х) – непарна функція, тобто Т2М+1(-х)=-Т2М+1(х).
4. Тригонометричний запис на проміжку [-1;1]
Многочлени Чебишова можна також записати в тригонометричній формі
EMBED Equation.3 -1<x<1 (5)
В доведенні цієї властивості використовується тригонометрична тотожність
EMBED Equation.3
Підставимо EMBED Equation.3 і отримаємо
EMBED Equation.3 ,
яке в спрощеному вигляді запишемо як
EMBED Equation.3 .
Підставивши EMBED Equation.3 , отримаємо
EMBED Equation.3 для –1<x<1.
Два перших полінома Чебишева – це
EMBED Equation.3 .
Припустимо, що EMBED Equation.3 для k=2,3…,n-1. Використовуючи рекурентне співвідношення, встановимо загальний випадок
EMBED Equation.3
для -1<x<1
Нулі на інтервалі [-1;1]
EMBED Equation.3
Ці значення називають абсцисами або вузлами Чебишева. Вони розміщені нерівномірно на проміжку і ущільнюються на його кінцях.
5. Екстремуми
Обчислюючи екстремум многочлена Чебишева по звичайним правилам (за допомогою похідних), можна знайти його максимуми і мінімуми:
EMBED Equation.3
В цих точках многочлен приймає почергово значення EMBED Equation.3 , тобто всі максимуми рівні 1 і всі мінімуми рівні –1. На кінцях відрізка значення многочленів Чебишева рівні EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 для –1<x<1.
Многочлени Чебишева широко використовуються при апроксимації функцій. Наближаючий поліном Чебишева Pn(x) степені <n для функції f(x) на інтервалі [-1;1] можна записати як суму поліномів {Tj(x)}:
EMBED Equation.3
Коефіцієнти {cj} обчислюють по формулі
EMBED Equation.3
Приклад. Знайдемо поліном Чебишева Р3(х), який наближує функцію f(x)=ex на інтервалі [-1;1].
Обчислимо коефіцієнти сj і вузли xk=cos(?(2k+1)/8) для k=0,1,2,3:
EMBED Equation.3
Таким чином, поліном Чебишева Р3(х) для функції ех є
EMBED Equation.3
Якщо розкласти поліном Чебишева Р3(х) по степеням х, то в результаті отримаємо Р3(х)=0,994661532+0,99893324х+0,54290072х2+0,17517568х3.
Перетворення інтервалу
Деколи виникає необхідність задачу, сформульовану для інтервалу [a;b], переформулювати в задачу на інтервалі [c;d], на якому розв’язок відомий. Якщо отримано наближення Рn(х) для функції f(x) на прміжку [a;b], то замінимо змінну так, щоб отримати задачу на інтервалі [-1;1]
EMBED Equation.3 (6)
Потрібні вузли Чебишева для Тn+1(t) на інтервалі [-1;1] рівні
EMBED Equation.3
і інтерполяційні вузли на інтервалі [a;b] отримуємо з формули (6):
EMBED Equation.3
Розглянемо застосування поліномів Чебишева для покращення наближення функцій з допомогою степеневих рядів, а саме для більш рівномірного розподілу похибок апроксимації
EMBED Equation.3 (7)
на відрізку [-?/2,?/2].
Відрізок [-?/2,?/2] не є цілком практичним при використанні многочленів Чебишева, оскільки вони розглядаються на стандартному проміжку [-1,1]. Перший відрізок легко привести до другого заміною змінної х на ?х/2. В цьому випадку ряд (7) для апроксимації синуса на відрізку [-1,1] набуде вигляду
EMBED Equation.3 (8)
При використанні такого ряду похибка обчислення функції в околі кінців відрізка EMBED Equation.3 суттєво збільшується і стає значно більшою, ніж в околі точки х=0. Якщо замість (8) використати ряд
EMBED Equation.3 ,
членами якого є многочлени Чебишева, то похибка буде розподілена рівномірно на цілому відрізку (рис.2). В деяких випадках,при використанні многочленів Чебишева до дев’ятої степені включно похибка знаходиться в інтервалі EMBED Equation.3 . Для цієї задачі похибка ряду Тейлора на кінцях відрізка складає EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3
1
1
х
у
0
Рис.2
ряд Чебишева
ряд Тейлора
На практиці часто використовують многочлени Чебишева для підвищення точності апроксимації функцій за допомогою ряду Тейлора.
Нехай часткова сума ряду Тейлора, записана у вигляді многочлена, використовується для наближення функції f(x) на стандартному проміжку[-1,1], тобто
EMBED Equation.3 (9)
Многочлен Чебишева можна записати у вигляді
EMBED Equation.3
Звідси отримуємо
EMBED Equation.3 (10)
Якщо відкинути останній член, то допущену похибку легко оцінити: EMBED Equation.3 , оскільки EMBED Equation.3 . Таким чином, із (10) отримуємо, що хn є лінійною комбінацією нижчих степенів х. Підставляючи цю лінійну комбінацію в (9), переходимо до многочлена степені n-1 замість многочлена степені n. Цей процес може продовжуватися доти, поки похибка не перевищує допустимого значення. Використаєм цю процедуру для підвищення точності апроксимації функції за допомогою ряду (8). Будемо використовувати члени ряду до 11-ї степені включно. Обчислюючи коефіцієнти при степенях х, отримаємо
EMBED Equation.3 1,5707963х-0,64596410х3+0,079692626х5- 0,0046817541х7+0,00016044118х9-0,0000035988432х11. (11)
Многочлен Чебишева 11-ї степені має вигляд
EMBED Equation.3
Знайдемо звідси х11 через нижчі степені:
EMBED Equation.3 .
Підставляючи у (11) замість х11 праву частину цієї рівності і обчислюючи нові значення коефіцієнтів, отримаєм
EMBED Equation.3 1,5707962х-0,6459332х3+0,079688296х5- 0,0046718573х7+0,00015054436х9-0,00000000351Т11. (12)
Відкидаючи останній член цього розкладу, ми допускаємо похибку EMBED Equation.3 . Через наближене обчислення коефіцієнтів при степенях х реальна похибка є більшою. Тут вона оцінюється величиною EMBED Equation.3 . Ця похибка дещо більша, ніж для многочлена Чебишева ( EMBED Equation.3 ), і значно менша, ніж для ряду Тейлора ( EMBED Equation.3 ).
Процес модифікації наближення можна продовжувати. Якщо допустиме значення похибки більше, ніж при використанні виразу (12) (без члена з Т11), то х9 можна замінити многочленом сьомої степені, а член з Т9 відкинути; так продовжувати до тих пір, поки похибка залишається меншою від допустимої.
Деякі формули, необхідні при використанні поліномів Чебишева:
1. Поліноми Чебишева
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
2. Вираження степенів х через многочлени Тn(x):
EMBED Equation.3
3. Вираження хn через нижчу степінь:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
1
-1
-1
у
у=Т0(х)
1
х
Т1
Т2(х)
Т3
Рис.1