Тема 4: Середні величини
1. Суть середніх величин і умови їх наукового застосування.
2. Види середніх величин.
3. Вибір виду середніх величин.
4. Порядкові (розподільчі) середні величини.
1. Суть середніх величин і умови їх наукового застосування
Варіація тієї чи іншої ознаки, притаманної елементам статистичної сукупності, формується під впливом багатьох факторів.
Певна частина цих факторів є визначальною, тобто саме ці фактори формують типовий рівень ознаки. Інша частина факторів – випадкові, нехарактерні для всієї сукупності, але вони теж впливають на рівень ознаки окремих елементів сукупності.
Середня величина в статистиці – це узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень варіюючої ознаки в якісно однорідній сукупності.
При вивченні будь-якої статистичної сукупності центральною проблемою є визначення узагальнюючих характеристик і вивчення з їх допомогою закономірностей розподілу. Саме такою узагальнюючою характеристикою і є середня величина.
Характерними рисами середньої як показника є те, що вона є характеристика типова, узагальнююча і водночас абстрактна (значення середньої може не співпасти з жодним індивідуальним значенням показника).
Не дивлячись на те, що вона абстрактна, середня характеризує рівень ознаки в конкретних умовах місця і часу.
Умовами наукового застосування середніх величин в соціально-економічному аналізі слід вважати такі:
якісно однорідна сукупність;
наявність достатньо великої чисельності елементів сукупності;
поєднання методу середніх з методом групувань, що дозволяє виділити якісно однорідні групи.
Основні напрями використання середніх в соціально-економічному аналізі такі:
1) характеристика типового рівня масових суспільних явищ;
2) здійснення порівняльного аналізу;
3) вимірювання взаємозв’язків між явищами;
4) вивчення тенденцій розвитку явищ;
5) вибіркове спостереження.
2. Види середніх величин
В залежності від економічної суті осереднювальних величин (ознак) та наявної первинної інформації застосовуються різні види середніх величин.
Схематично види середніх величин можна зобразити так:
Характер первинних даних

індивідуальні значення
згруповані дані

Степенева середня

проста –
зважена –

Середня арифметична (k = 1)

проста –
зважена –

Середня гармонійна (k = –1)

проста –
зважена –


Середня квадратична (k = 2)


проста –
зважена –



Середня арифметична застосовується при обчисленні середнього рівня варіюючої ознаки. Середня квадратична застосовується для визначення міри варіації, а середня геометрична – для характеристики середнього темпу росту, тобто в рядах динаміки.
3. Вибір виду середньої величини
Вибір того чи іншого виду середньої величини залежить від економічної суті осереднювального показника та первинних даних. Тому перш ніж вибрати ту чи іншу форми розрахунку середньої, необхідно осмислити так зване вихідне відношення, яке показує суть середньої в тому чи іншому конкретному випадку.
Наприклад:
1) середній бал = ;
2) середня зарплата = ;
3) середня собівартість одиниці продукції = ;
4) середня врожайність = ;
5) середній % виконання держ. замовлень = .
При обчисленні середніх величин знаменник кожного з наведених співвідношень виступає як вага і називається частотою (f):
1) середня арифметична. Ця середня величина застосовується у випадках, коли обсяг варіюючої ознаки обчислюється як сума індивідуальних її значень х1, х2, х3, ... хn.
Це може бути вік окремих студентів.
Середня в цьому разі обчислюється за формулою середньої арифметичної простої, якщо дані не згруповані:
.
Якщо ж окремі варіанти повторюються різне число разів, тобто в наявності ряд розподілу, то для обчислення середнього значення застосовується так звана середня арифметична зважена:
.
Наприклад:
Результати складання іспиту із статистики були такими:
Бал (х)
Число студентів (f)

2
5

3
12

4
10

5
3

Разом:
30


бала.
Середня арифметична зважена застосовується також при обчисленні середньої з інтервального ряду розподілу та при обчисленні загальної середньої з групових середніх.
Результат обчислення середньої з інтервального ряду є дещо наближеним. Як варіанти в цьому випадку використовуються середні значення кожного інтервалу.
Наприклад:
По одному з підприємств маємо такі дані:
Групи робітників за професією
Число робітників
Середня заробітна плата, грн.

токарі
40
253,0

слюсарі
40
224,5

фрезерувальники
20
244,0

Разом
100
х

,
грн.
Наведений вище приклад – це приклад обчислення загальної середньої з групових. Слід зазначити, що вагою при застосуванні середньої арифметичної зваженої можуть бути використані як абсолютні величини (частоти (f)), так і відносні величини (частки або відсотки (w)).
Так, в наведеному вище прикладі частки робітників окремих професій такі:
w1 = = 0,4; w2 = 0,4; w3 = 0,2.
Обчислюємо середню, використавши частки як вагу:
,
грн.
Обчислюємо середню за даними інтервального ряду розподілу.
Розподіл підлітків, що знаходяться на обліку за віком (тис. чол.):
Вік
Число підлітків
Середина інтервалу (х)
Загальний вік за групами (xf)

до 13
12,0
12,5
150,0

14–15
22,3
14,5
323,4

16–17
32,4
16,5
534,6

Разом
66,7
х
1008,0


Обчислюємо середній вік підлітків. При обчисленні середньої з інтервального ряду розподілу як варіанти використовуються серединні значення інтервалів, які обчислюються як напівсума верхньої і нижньої меж інтервалу. Якщо інтервал відкритий, то його слід закрити, орієнтуючись на крок прилеглої групи.
,

2) середня гармонійна є оберненою з так званих обернених значень. Мова йде про те, що середня обчислюється не з варіант x1, x2, x3, ..., xn, а з варіант , , , ..., :
– середня гармонійна проста.
Застосовується на практиці дуже рідко.
Широке застосування має середня гармонійна зважена
, де z = xf .
Використовується у випадках, коли відсутні дані про вагу, тобто відсутня f .
Наприклад:
Наведені нижче дані характеризують розподіл КСП району за врожайністю озимої пшениці.
Врожайність з 1 га
Число КСП
Валовий збір, тис. ц

до 30
5
81,0

30–36
7
150,2

36–42
10
266,0

42 і більше
6
189,0

Разом
28
686,2


Обчислити середню врожайність озимої пшениці в цілому.
Відомо, що середня врожайність з 1 га = .
Дані про вагу, тобто площу посіву відсутні. Тому застосовувати треба середню гармонійну зважену.
,
ц/га.
Особливості обчислення середніх з відносних величин.
При обчисленні середніх з відносних величин вагою виступає знаменник того співвідношення, яке характеризує саму осереднювану величину.
Приклад:
1) частина бракованої продукції = ;
2) частка жінок професорсько-
викладацького складу
= ;

3) ступінь виконання плану = .
Залежно від того, яка інформація є в наявності, використовується той чи інший вид середньої величини.
Якщо є дані про показник, що знахадиться в знаменнику співвідношення осереднюваної величини, то застосовується середня арифметична зважена. Якщо дані про такий показник відсутні – середня гармонійна зважена.
Дані, що наведені нижче, характеризують чисельність студентів, прийнятих до учбових закладів України, та частку тих, хто був прийнятий на денне відділення (на початок навчального року).
Учбові заклади
2000–2001 учбовий рік
2001–2002 учбовий рік


Всього прийнято студентів, тис. чол.
Частка прийнятих на денне відділення, %
Прийнято студентів на денне відділення, тис. чол.
Частка прийнятих на денне відділення, %

Система підготовки молодших спеціалістів
264,6
62,8
157,4
66,3

Вищі
181,7
58,8
113,4
65,3


Визначити середню частку студентів учбових закладів України, прийнятих на денне відділення кожного з навчальних років.
При визначенні середньої частки, слід насамперед осмислити економічний зміст осереднюваного показника:
Частка студентів прийнятих на денне відділення
=.

Знаменник співвідношення відіграє роль ваги (f).
В 2000–2001 роках він відомий, а тому застосовуємо середню арифметичну зважену:
,
або 61,2 %.
Дані про загальну чисельність прийнятих в 2001–2002 роках відсутні, тому застосовуємо середню гармонійну зважену:
,
або 65,9 %.
4. Порядкові (розподільчі) середні величини
Крім середніх величин (х), в соціально-економічному аналізі використовуються ще такі узагальнюючі характеристики як, мода (Мо) і медіана (Ме). Їх часто називають розподільчими або порядковими середніми. Ці середні теж в деякій мірі відображають типовий рівень варіюючої ознаки в якісно однорідній сукупності.
Мода в статистиці – числове значення тієї варіанти, що найчастіше зустрічається в сукупності.
В дискретному ряді розподілу моді відповідає найбільша частота.
Медіана – числове значення варіанти, що ділить ряд рангових значень на дві рівні частини.
Наприклад, заробіток п’яти випадково опитаних робітників був таким, грн.:
658,0; 720,4; 850,0; 938,5; 896,4.
Ме = 850 грн.
В разі, коли число елементів сукупності парне, медіана обчислюється як півсума двох центральних варіант.
В дискретному ряді розподілу медіана відшукується за допомогою так званої кумулянти, яка є сумою накопичених частот.
Відшукаємо моду і медіану в такому дискретному ряді розподілу:
Розподіл сімей за кількістю дітей
Число дітей (х)
0
1
2
3
4
5
Разом

Кількість сімей (f)
6
22
28
23
16
5
100

Сума накопичених частот (s)
6
28
56
79
95
100



В даному випадку Мо = 2 оскільки найбільш часто (28) зустрічаються сім’ї з двома дітьми.
Відшукаємо номер варіанти, що ділить ранговий ряд на дві рівні частини:
N =.
За сумою накопичених частот (кумулянти S) бачимо, що ця варіанта знаходиться в 3 групі, а тому Ме = 2.
В інтервальних рядах розподілу Мо і Ме наближено обчислюються за формулами:
Мо = Х0+h,
де Х0 – нижня межа модального інтервалу;
h – крок модального інтервалу;
fm, fm-1, fm+1 – відповідно частота модального, домодального і післямодального інтервалу.
Ме = Х0+h,
де X0 – нижня межа медіанного інтервалу;
h – крок медіанного інтервалу;
Sm-1 – сума накопичених частот домедіанного інтервалу;
fm – частота медіанного інтервалу.
Задача. Визначити модальний та медіанний вік медіанний вік чоловіків-одинаків.
Вік x, років
До 20
20–29
30–39
40–49
50–59
60–69
70 і старше
Разом

Частка вікової групи w, %
4,9
20,1
15,5
15,2
17,0
13,0
14,3
100

Розв’язування Модальний вік розраховують за формулою
Мо = Х0+h,
де Х0 – нижня межа модального інтервалу;
h – ширина модального інтервалу;
fm, fm-1, fm+1 – відповідно частота (частка) модального, попереднього і наступного інтервалів відносно модального.
Модальний віковий інтервал становить від 20 до 29 років, бо йому відповідає найбільша частота (fm = 20,1):
Мо = 20 + 9,
тобто найбільш поширеним віком серед чоловіків-одинаків є вік близько 27 років.
Медіанний вік визначають за формулою
Ме = Х0+h,
де X0 – нижня межа медіанного інтервалу;
h – ширина медіанного інтервалу;
Sm-1 – сума накопичених частот (часток) в інтервалі, що передує медіанному;
fm – частота (частка) медіанного інтервалу.
Порядковий номер центральної варіанти відповідає частці 50. У графі накопичених частот ця варіанта знаходиться в групі 40–49 років. Отже,
Ме = 40 + 9
Половина чоловіків-одинаків перебуває у віці до 45,6 року, а інша – старші 45,6 року.