4. СТАТИСТИЧНІ ПОКАЗНИКИ 4.1. Суть і види статистичних показників Інформація про розміри, пропорції, зміни в часі, інші закономірності cоціально-економічних явищ створюється, передається і зберігається у вигляді cтатистичних показників. З філософського погляду статистичний показник — це міра, тобто єдність якісного і кількісного відображення певної властивості соціально-економічного явища чи процесу. Якісний зміст показника визначається суттю явища і відбивається в його назві: народжуваність, урожайність, прибутковість тощо. Кількісна сторона подається числом та його вимірником. Оскільки статистика вивчає суспільні явища в конкретних умовах простору і часу, значення будь-якого показника визначається щодо цих атрибутів. У цьому сенсі говорять, наприклад, що капітал певної фірми на початок 2000 року становив 4400 млн грн. Сполучною ланкою між якісним змістом і числовим вираженням є правило побудови — модель показника, яка розкриває його статистичну структуру, установлюючи, що, де, коли і як має бути виміряне. У моделі обґрунтовуються одиниці, узяті для вимірювання, технологія збирання даних, обчислювальні операції. Модель показника має надзвичайно важливе значення для забезпечення вірогідності статистичної інформації. Як видно з рис. 4.1, від обґрунтованості моделі залежать обидва аспекти вірогідності такої інформації, адекватність відображення явища і точність вимірювання.
Рис. 4.1. Зв’язок статистичної моделі показниката вірогідності інформації Адекватність розглядається як здатність показника відбити саме ту властивість, яка передбачена програмою дослідження. Адже для однієї й тієї самої якісної категорії можна побудувати кілька показників. Наприклад, рентабельність виробництва можна оцінити на основі балансового або чистого прибутку, стосовно капіталу чи активів. Точність і повнота вимірювання залежать від можливостей обліку, організації збирання та обробки даних. Отже, щоб показник відповідав своєму призначенню й виконував покладені на нього функції, на стадії його проектування потрібно з усіх боків логічно та статистично обґрунтувати модель. Показники розрізняють за способом обчислення, ознакою часу та аналітичними функціями. За способом обчислення розглядають первинні і похідні показники. Первинні визначаються зведенням даних статистичного спостереження й подаються у формі абсолютних величин (кількість і сума вкладів у Ощадний банк). Похідні показники обчислюються на базі первинних або похідних показників. Вони мають форму середніх або відносних величин (середня заробітна плата, індекс середньої заробітної плати). За ознакою часу показники поділяються на інтервальні та моментні. Інтервальні характеризують явище за певний час (день, декаду, місяць, рік). Прикладом може бути обсяг виробленої продукції, уведення в дію житла, споживання свіжої води і т. ін. До моментних відносять показники, що дають кількісну характеристику явищ на певний момент часу: площа виноградних і цитрусових насаджень, протяжність нафтопроводів на кінець року тощо. Інтервальні та моментні показники можуть бути як первинними, так і похідними. Наприклад, площа зрошуваних земель — первинний моментний показник, а частка таких земель у загальній площі — похідний моментний показник; спожита електроенергія в галузі — первинний інтервальний показник, а в розрахунку на одиницю робочого часу — похідний. Інтервальні показники залежать від довжини періоду, за який вони обчислюються. Особливістю первинних інтервальних показників є адитивність, тобто можливість підсумовування. Похідні показники здебільшого неадитивні. Серед статистичних показників існують пари взаємообернених показників, які паралельно характеризують одне й те саме явище. Прямий показник х зростає з підсиленням явища, обернений 1/х, навпаки, зменшується. Прикладом можуть бути такі показники: а) купівельна спроможність грошової одиниці — прямий показник, ціна одиниці товару — обернений; б) продуктивність праці за одиницю часу — прямий показник, трудомісткість одиниці продукції — обернений і т. д. 4.2. Абсолютні величини Абсолютні величини характеризують розміри соціально-економічних явищ. Ідеться про обсяги сукупності чи окремих її частин (кількість елементів) та відповідні їм обсяги значень ознаки. Так, на товарній біржі це кількість заявок і обсяги попиту на купівлю товару. Абсолютні величини являють собою іменовані числа, тобто кожна з них має свою одиницю виміріювання: штуки, тонни, кіловати, гривні тощо. Натуральні вимірники відбивають притаманні явищам фізичні властивості. Так, видобуток вугілля вимірюється в тоннах, газу — у кубічних, виробництво тканин — у квадратних метрах і т. д. Іноді використовують комбіновані натуральні вимірники: вантажооборот транспорту в тонно-кілометрах, споживання електроенергії — у кіловат-годинах і т. д. Якщо постає потреба звести воєдино кілька різновидів одного явища, то беруть умовно натуральні вимірники. При цьому роль спільної міри, еталона для розрахунків і порівнянь відіграє один різновид. Перерахунок в умовні одиниці виконується за допомогою спеціальних коефіцієнтів-сумірників. Так, у тоннах умовного палива складається паливний баланс. Перерахунок натурального палива в умовне здійснюється згідно з калорійним еквівалентом. Еталоном є кам’яне вугілля, теплотворна здатність якого становить 7000 калорій на 1 кг. Для донецького вугілля калорійний еквівалент — 0,87 ... 0,90, для торфу — 0,37 ... 0,40, для газу — 1,2 і т. д. Для визначення обсягу трудових ресурсів чи затрат праці на виробництво продукції, оцінювання трудомісткості продукції використовуються трудові вимірники (людино-година, людино-день). Узагальнюючи облікові дані навіть на рівні окремого суб’єкта господарювання, а тим паче на рівні галузей чи економіки в цілому, використовують вартісні (грошові) вимірники. За одиницю беруть національну валюту, валютні еквіваленти на зразок євро, валюту інших держав. Не завжди абсолютна величина є результатом зведення фактичних даних по сукупності в цілому чи за окремим її складовим. Часом вона визначається за певним правилом, певною методикою на основі інших показників. Так обчислюють валовий внутрішній продукт, національний дохід, прогнози тощо. Існує певна множина абсолютних величин, які обліковуються у формі балансу. Така форма передбачає розрахунок показника за джерелами формування та напрямками використання, а це дає змогу визначити не лише сумарний показник, а й усі його компоненти. Складаються баланси підприємств, матеріальні баланси найважливіших продуктів, палива, трудових ресурсів і т. ін. Широко використовуються також динамічні баланси за схемою: Залишок на початок періоду + Надходження – Витрати == Залишок на кінець періоду. 4.3. Відносні величини Абсолютні статистичні величини мають незаперечне значення в системі управління, проте поглиблений соціально-економічний аналіз фактів потребує різного роду порівнянь. Порівнюються значення статистичних показників у часі (за одним об’єктом), у просторі (між об’єктами), співвідносяться різні ознаки одного й того самого об’єкта. Порівняння — душа статистики. Результатом порівняння є відносна статистична величина, яка характеризує міру кількісного співвідношення різнойменних чи однойменних показників. Кожна відносна величина являє собою дріб, чисельником якого є порівнювана величина, а знаменником — база порівняння. Відносна величина показує, у скільки разів порівнювана величина перевищує базисну або яку частку перша становить щодо другої, іноді — скільки одиниць однієї величини припадає на 100, на 1000 і т. д. одиниць іншої, базисної величини. Різноманітність співвідношень і пропорцій реального життя для свого відображення потребує різних за змістом і статистичною природою відносних величин. Відповідно до аналітичних функцій відносні величини можна класифікувати так. А. Відношення однойменних показників 1) Відносні величини динаміки; 2) відносні величини просторових порівнянь; 3) відносні величини порівняння зі стандартом; 4) відносні величини структури; 5) відносні величини координації. Б. Відношення різнойменних показників Відносні величини інтенсивності. Відносні величини динаміки Динамікою називається зміна соціально-економічного явища в часі, а відносна величина динаміки характеризує напрям та інтенсивність зміни. Відносні величини динаміки визначаються співвідношенням значень показника за два періоди чи моменти часу. При цьому базою порівняння може бути або попередній або більш віддалений у часі рівень. Наприклад, інвестиції в галузь становили, млн грн.: у 1995 р. — 420, у 1999 р. — 588. Порівнюючи значення показника, дістаємо темпи зростання інвестицій: 588 : 420 = 1,4. Якщо значення показника зменшується, відносна величина динаміки буде меншою за одиницю. Передумовою обчислення відносних величин динаміки є порівнянність даних за одиницею вимірювання (для вартісних показників — порівнянність цін), методикою розрахунку показника, масштабом об’єкта. Відносні величини просторових порівнянь Найчастіше це регіональні чи міжнародні порівняння показників економічного розвитку або життєвого рівня. Вибір бази порівняння довільний. Головне, щоб методика розрахунку показників, що порівнюються, була однаковою. Наприклад, на початку 90-х років в Україні з 1 га ріллі отримували продукції вдвічі менше, ніж у США. Відносні величини порівняння зі стандартом Важливу роль у статистичному аналізі відіграє порівняння фактичних значень показника з певним eталоном — нормативом, стандартом, оптимальним рівнем. Такими відносними величинами порівняння є виконання договірних зобов’язань, використання виробничих потужностей, додержання норм витрат електроенергії тощо. Будь-яке відхилення відносної величини від 1 чи 100% свідчить про порушення оптимальності процесу. Наприклад, для проведення своїх операцій та підтримки ліквідності фірма протягом року має тримати в обороті щонайменше 120 тис. грн. Фактично в обороті фірми 108 тис. грн., що становить 90% від потреби (108 : 120 = 0,90). Для показників, які не мають визначеного еталона (захворюваність, злочинність тощо), базою порівняння може бути максимальне чи мінімальне значення або середня по сукупності в цілому. Відносні величини структури Статистичні сукупності структуровані, у них завжди можна виявити певні складові. Відносні величини структури характеризують склад, структуру сукупності за тією чи іншою ознакою. Вони визначаються відношенням розмірів складових частин сукупності до загального підсумку. Скільки складових, стільки відносних величин структури. Кожну з них окремо називають часткою, або питомою вагою, виражають простим чи десятковим дробом або процентом. Наприклад, певна частина сукупності становить 1/4, або 0,25, або 25% загального обсягу сукупності. Відносні величини структури адитивні. Сума всіх часток дорівнює одиниці. Якщо частку j-ї складової сукупності позначити dj, то (dj = 1 або, у процентах, 100 ( dj = 100%. Припустимо, що частка власних коштів фірми становить 68%, залучених — 32%. Разом вони складають 68 + 32 = 100%. За допомогою відносних величин структури можна оцінити структурні зрушення, тобто зміни у складі сукупності за певний період часу. Така оцінка ґрунтується на порівнянні часток dj за два періоди. Аналогічно можна порівняти структуру різних за обсягом сукупностей. Різницю між відповідними частками двох сукупностей називають процентним пунктом (п. п.). Відносні величини координації Поглиблений аналіз структури передбачає оцінювання співвідношень, пропорцій між окремими складовими одного цілого. Такий різновид порівнянь називають відносною величиною координації. Вона показує, скільки одиниць однієї частини сукупності припадає на 1, 100 і 1000 одиниць іншої, узятої за базу порівняння. За даними попереднього прикладу на одиницю власних коштів припадає 0,47 залучених: 32 : 68 = 0,47. Комплексне використання відносних величин динаміки, структури та координації розглянемо на прикладі матеріальних запасів умовної фірми за 2 квартали (табл. 4.1). Таблиця 4.1 МАТЕРІАЛЬНІ ЗАПАСИ ФІРМИ Матеріальнізапаси Запаси, тис. грн., на кінець кварталу ІV квартал, % до ІІІ квар-талу Структура запасів, % до підсумку кварталу Структурні зрушення, п.п.
ІІІ ІV
ІІІ ІV
Сировина та напівфабрикати 119 122 102,5 68 62 –6
Готовапродукція 56 74 132,1 32 38 +6
Разом 175 196 112,0 100 100 0
За ІV квартал матеріальні запаси в цілому зросли в 1,12 раза або на 12%. Оскільки запаси складаються з двох функціонально відмінних складових, то потрібно оцінити динаміку кожної з них. Так, запаси сировини і напівфабрикатів зросли лише на 2,5%, а запаси готової продукції — на 32,1%. Нерівномірність динаміки окремих складових зумовила зміни в структурі матеріальних запасів. Якщо в ІІІ кварталі частка сировини та напівфабрикатів становила 68%, то в ІV кварталі зменшилась до 62%, тобто на 6 п. п. Відповідно на стільки ж зросла частка готової продукції. Внаслідок структурних зрушень змінились пропорції між складовими частинами: у ІІІ кварталі на 1 грн. запасів готової продукції припадало 2,125 грн. запасів сировини і напівфабрикатів (119 : 56 = = 2,125), у ІV кварталі їх співвідношення зменшилося до 1,65 (122 : 74 = 1,65). Відносні величини інтенсивності Особливим видом відносних показників є результат порівняння різнойменних абсолютних величин: у чисельнику — обсяги певного явища (кількість подій, фактів), у знаменнику — обсяг середовища, якому це явище (подія) властиве. У кожному конкретному випадку таке співвідношення характеризує інтенсивність поширення явища в середовищі, а тому називається відносною величиною інтенсивності. На відміну від відносних величин групи А відносні величини інтенсивності іменовані одиницями вимірювання чисельника і знаменника співвідношення. Наприклад, густота населення в регіоні — 82,5 осіб на 1 км2, виробництво електроенергії — 5627 кВт · год на душу населення і т. ін. У формі відносних величин інтенсивності обчислюється низка показників технічного рівня виробництва (електроозброєність праці), ефективності використання ресурсів (фондовіддача), економічного розвитку країни (валовий внутрішній продукт на душу населення), життєвого рівня населення (забезпеченість сімей товарами культурно-побутового призначення), інших аспектів суспільного життя. Якщо обсяги явища незначні відносно обсягів середовища, то результат їх співвідношення збільшується в 100, 1000 і більше разів. Так, демографічні явища (народжуваність, смертність, шлюбність) розраховуються на 1000 осіб, забезпеченість лікарями, підприємствами громадського харчування — на 10 000 осіб, захворюваність, злочинність — на 100 000 осіб. Такі показники називаються відповідно промілле, продецимілле, просантимілле. У порівняльному аналізі використовуються кратні співвідношення не лише абсолютних величин. Комплексна й всебічна характеристика закономірностей суспільного життя передбачає порівняння середніх і відносних величин. 4.4. Середні величини Середня величина є узагальнюючою мірою ознаки, що варіює, у статистичній сукупності. Показник у формі середньої характеризує рівень ознаки в розрахунку на одиницю сукупності. Як уже зазначалося, значення ознаки j-го елемента поєднує в собі як спільні для всієї сукупності типові риси, так і притаманні лише цьому елементу індивідуальні особливості. Абстрагуючись від індивідуальних особливостей окремих елементів, можна виявити те загальне, типове, що властиве всій сукупності. Саме в середній взаємно компенсуються індивідуальні відмінності елементів та узагальнюються типові риси. Типовість середньої пов’язана з однорідністю сукупності. Середня характеризуватиме типовий рівень лише за умови, що сукупність якісно однорідна. У неоднорідній сукупності, за влучним висловом П. Самуельсона, осереднюються «тигри та кицьки», що лише створює ілюзію «благоденствія» і не віддзеркалює реалій. Взаємозв’язок індивідуальних значень ознаки та середньої — це діалектична єдність загального і окремого. Замінюючи множину індивідуальних значень, середня не змінює визначальної властивості сукупності — загального обсягу явища. Зв’язок визначальної властивості з елементами сукупності описується функцією f (x1, x2, ... xn), яка виражає певну математичну дію над емпіричними значеннями ознаки (підсумовування, множення, степенювання, коренювання) і визначає вид середньої. Так, у разі підсумовування значень ознаки визначальну властивість забезпечує середня арифметична, при множенні — середня геометрична і т. д. Отже, при обчи?ленні середніх у соціально-економічних дослідженнях необхідно чітко усвідомити визначальну властивість сукупності та логіко-математичну суть — логічну формулу — показника. Наприклад, логічна формула середнього вкладу в банк: . Чисельник логічної формули середньої являє собою обсяг значень (визначальну властивість) ознаки, що варіює, а знаменник — обсяг сукупності. Як правило, визначальна властивість — це реальна абсолютна чи відносна величина, яка має самостійне значення в аналізі. У кожному конкретному випадку для реалізації логічної формули використовується певний вид середньої, зокрема: а) середня арифметична; б) середня гармонічна; в) середня геометрична; г) середня квадратична і т. д. Залежно від характеру первинної інформації середня будь-якого виду може бути простою чи зваженою. Позначається середня символом (риска над символом означає осереднення індивідуальних значень) і вимірюється в тих самих одиницях, що й ознака. Середня арифметична Оскільки для більшості соціально-економічних явищ характерна адитивність обсягів (виробництво цукру, витрати палива тощо), то найпоширенішою є арифметична середня, яка обчислюється діленням загального обсягу значень ознаки на обсяг сукупності. За первинними, незгрупованими даними обчислюється середня арифметична проста:
Наприклад, за місяць страхова компанія виплатила страхове відшкодування за п’ять ушкоджених об’єктів на суму, тис. грн.: 18, 27, 22, 30, 23. Середня сума виплати страхового відшкодування, тис. грн.:
За формулою простої арифметичної обчислюються середні у динамічному ряду. Якщо в січні агрофірма продала молокозаводу 315, у лютому — 305, а в березні — 340 т молока, то середньомісячний продаж молока, т: (315 + 305 + 340) : 3 = 320. Моментні показники замінюються середніми як півсума значень на початок і кінець періоду. Якщо моментів більш ніж два, а інтервали часу між ними рівні, то в чисельнику до півсуми крайніх значень додають усі проміжні, а знаменником є число інтервалів, яке на одиницю менше від числа значень ознаки. Таку формулу називають середньою хронологічною:
Наприклад, на фірмі залишки обігових коштів на початок кожного місяця І кварталу становили, млн грн.: січень — 70, лютий — 82, березень — 77, квітень — 80. Середньомісячний залишок обігових коштів, млн грн.:
У великих за обсягом сукупностях окремі значення ознаки (варіанти) можуть повторюватись. У такому разі їх можна об’єднати в групи (j = 1, 2, ..., m), а обсяг значень ознаки визначити як суму добутків варіант хj на відповідні їм частоти fj, тобто як . Такий процес множення у статистиці називають зважуванням, а число елементів сукупності з однаковими варіантами — вагами. Сама назва «ваги» відбиває факт різновагомості окремих варіант. Значення ознаки осереднюються за формулою середньої арифметичної зваженої:
Вагами можуть бути частоти або частки (відносні величини структури), іноді інші величини (абсолютні показники). Припустимо, у фірмі працює 20 налагоджувачів аудіо- та відеоапаратури, з них три мають 4-й розряд, дев’ять — 5-й, вісім — 6-й. Середній тарифний розряд
Середня не збігається з жодним значенням ознаки, але це типовий рівень кваліфікації налагоджувачів фірми. Формально між середньою арифметичною простою і середньою арифметичною зваженою немає принципових відмінностей. Адже багаторазове (f раз) підсумовування значень однієї варіанти замінюється множенням варіант х на вагу f. Проте функціонально середня зважена більш навантажена, оскільки враховує поширеність, повторюваність кожної варіанти і певною мірою відображує склад сукупності. Значення середньої зваженої залежить не лише від значень варіант, а й від структури сукупності. Чим більшу вагу мають малі значення ознаки, тим менша середня, і навпаки. Наприклад, незважаючи на той факт, що в двох регіонах мешкають люди різного віку, у тому регіоні, де більше дітей, середній вік населення буде менший. На цю властивість середніх слід зважати при використанні їх у порівняльному аналізі сукупностей, склад яких істотно різний. У таких випадках, аби елімінувати (усунути) вплив структури сукупності на середню, вдаються до пошуку стандартизованих ваг. У структурованій сукупності при розрахунку середньої зваженої варіантами можуть бути як окремі значення ознаки, так і групові середні , кожна з яких має відповідну вагу у вигляді групових частот fj:
Обчислену так середню на відміну від групових називають загальною. Як приклад використаємо групові середні альтернативної ознаки, яка набуває взаємовиключних значень 1 або 0. Відповідні цим значенням частоти f1 та f0. Очевидно, середня такої ознаки є часткою d1:
Так, за даними перепису населення в регіоні проживало 5,2 млн осіб, із них у містах — 3,5, у сільській місцевості — 1,7. Частка осіб працездатного віку відповідно становила 0,60 та 0,48. Середня частка населення працездатного віку в регіоні є арифметичною зваженою з групових часток:
Середня арифметична має певні властивості, які розкривають її суть. 1. Алгебраїчна сума відхилень окремих варіант ознаки від середньої дорівнює нулю:
тобто в середній взаємно компенсуються додатні та від’ємні відхилення окремих варіант. 2. Сума квадратів відхилень окремих варіант ознаки від середньої менша, ніж від будь-якої іншої величини:
3. Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) на одну й ту саму величину А або в А раз, то й середня зміниться аналогічно. Ця властивість найвиразніше ілюструється на прикладі ознак порядкової (рангової) шкали, для якої використовуються різні варіанти оцифрування. Так, окремим пунктам 3-бальної шкали можна надати значень 1, 2, 3 або –1, 0, 1. Очевидно, розраховані для цих варіант оцифрування середньозважений та середній центрований бали відрізнятимуться на величину А = 2. Так, за даними табл. 4.2 оцінимо ставлення населення до смертної кари. Таблиця 4.2 СТАВЛЕННЯ НАСЕЛЕННЯ ДО СМЕРТНОЇ КАРИ Варіантивідповідей Числореcпондентів Ранги
R R0
Категорично проти 21 1 –1
Не визначився 32 2 0
Повністю підтримую 47 3 1
Разом 100 × ×
Середньозважений бал становить 2,26, а середній центрований — 0,26: ; . Аналітичні можливості центрованого середнього балу ширші, ніж середньозваженого. Центрований бал може бути додатною чи від’ємною величиною. Знак свідчить про позитивну чи негативну оцінку явища. За допомогою центрованого балу можна порівняти оцінки різних явищ незалежно від розмірності шкали. Для такого порівняння можна скористатися формулою переходу від середньозваженого до центрованого балу:
4. Значення середньої залежить не від абсолютних значень ваг, а від пропорцій між ними. При пропорційній зміні всіх ваг середня не зміниться. Згідно з цією властивістю замість абсолютних ваг — частот fj — можна використати відносні ваги у вигляді часток або процентів 100dj: . Наприклад, на акції трьох різних компаній очікується щорічний прибуток, %: 15, 22, 18. За умови, що інвестор розподілив свої внески між акціями цих компаній у пропорції 30, 20 та 50%, очікуваний прибуток від такого портфеля акцій
Середня гармонічна При розрахунку середньої з обернених показників використовують середню гармонічну. Припустимо, що придбано товару в двох продавців на одну й ту саму суму — на 1 грн., але за різною ціною: по 3 грн. за 1 кг у першого продавця і по 2 грн. — у другого. Як визначити середню ціну покупки? Середня арифметична (3 + 2) : 2 = 2,5 грн. за 1 кг нереальна, оскільки за такою ціною на2 грн. можна придбати 2 : 2,5 = 0,8 кг товару. Насправді придбано товару в першого продавця (1 : 3) = 0,33 кг, у другого — (1 : 2) == 0,50 кг, тобто разом 0,33 + 0,50 = 0,83 кг, а середня ціна становить 2 : 0,83 = 2,4 грн. Описаний порядок розрахунку називають середньою гармонічною простою. У нашому прикладі
За умови, що в першого продавця придбано товару на 150 грн., а в другого — на 300 грн., середня ціна 1 кг, грн.:
Цей розрахунок зроблено за формулою середньої гармонічної зваженої: , де Zj = xj fj — обсяг значень ознаки (у нашому прикладі — вартість). У разі, коли осереднювана ознака є відношенням між логічно пов’язаними величинами (наприклад, відносна величина інтенсивності, структури тощо), постає питання про вибір виду середньої. Основою вибору є логічна формула показника. Так, рентабельність реалізації обчислюється відношенням:
Нехай рентабельність реалізації двох видів продукції малого підприємства становить, %: виробу А — 12, виробу В — 7. Прибуток від реалізації цих виробів дорівнює відповідно 240 і 210 тис. грн. Спроба визначити середню рентабельність як арифметичну не відповідає логічній формулі, така середня позбавлена реального економічного змісту. Для того щоб зберегти зміст, треба передусім визначити обсяг реалізації кожного виду продукції:
У цьому разі розрахунок середнього рівня рентабельності обох видів продукції відповідає формулі середньої гармонічної:
Отже, формула середньої — це лише математична модель логічної формули показника. Основний методологічний принцип вибору виду середньої — забезпечити логіко-змістовну суть показника. Формально цей принцип можна записати так: Показники Прямі Обернені
Первинні Проста арифметична Проста гармонічна
Похідні Зважена Зважена гармонічна
Розрахувати середню можна і в тому разі, коли окремі значення варіант не реєструються, а відомі лише підсумки. Так, не підраховуються витрати палива на кожну кіловат-годину електроенергії, урожайність на кожному окремому гектарі посівної площі тої чи іншої сільськогосподарської культури і т. ін. Середня геометрична Якщо визначальна властивість сукупності формується як добуток індивідуальних значень ознаки, використовується середня геометрична:
де П — символ добутку; xі — відносні величини динаміки, виражені кратним відношенням j-го значення показника до попереднього (j – 1)-го. Наприклад, внаслідок інфляції споживчі ціни за три роки зросли в 2,7 раза, в тому числі за перший рік у 1,8 раза, за другий — в 1,2, за третій — в 1,25 раза. Як визначити середньорічний темп зростання цін? Середня арифметична (1,8 + 1,2 + 1,25) : 3 = 1,416 не забезпечує визначальної властивості: за три роки за цією середньою ціни зросли б у 1,416 · 1,416 · 1,416 = 2,84, а не в 2,7 раза. Визначальна властивість забезпечується лише геометричною середньою:
Коли часові інтервали не однакові, розрахунок виконують за формулою середньої геометричної зваженої: , де nj — часовий інтервал, , m — кількість інтервалів. Головною сферою застосування середньої квадратичної є вимірювання варіації (див. підрозд. 5.3). 4.5. Система статистичних показників Соціально-економічні явища надзвичайно складні й багатогранні. Будь-який показник відтворює лише одну грань предмета пізнання. Комплексна характеристика останнього передбачає використання системи показників, що має дві особливості: 1) все-бічність кількісного відображення явищ; 2) органічний взаємозв’язок окремих показників, причому саме вони перетворюють групу показників на єдиний комплекс характеристик складного явища чи процесу. Коло властивостей, що вивчаються, а отже, і показників системи залежить від мети дослідження. У кожній системі можна вирізнити певні множини показників, які детальніше відтворюють той чи інший бік явища. Систему показників визначають як ієрархічну структуру, на нижньому щаблі якої — узагальнюючий інтегральний показник, на верхньому — рівновагомі ознаки, які безпосередньо вимірюються. Схематично ієрархію системи показників для m = 3 зображено на рис. 4.2. Як видно зі схеми, показники j-го рівня ієрархії визначаються відповідно множиною ознак (j + 1)-го рівня.
Рис. 4.2. Схема ієрархії системи показників Кожний показник системи має самостійне значення і водночас є складовою узагальнюючої властивості. Наприклад, при вивченні конкурентоcпроможності продукції в шинній промисловості безпосередньо вимірюються твердість, опір стиранню, модуль еластичності, міцність протектора, а також пробіг шин до ремонту. Ці ознаки визначають надійність і довговічність продукції, які, у свою чергу, є параметрами якості. Інші ознаки формують блок ефективності виробництва шин. Якість та ефективність визначають конкурентоспроможність продукції. Надмірна складність окремих суспільних явищ (ефективність виробництва, життєвий рівень населення тощо) зумовила появу інтегральних комплексних оцінок, які обчислюються комбінуванням показників верхніх щаблів. Конструювання інтегральних оцінок ґрунтується на стандартизації показників, зведенні їх до одного виду. З-поміж інтегральних оцінок, побудованих на стандартизованій системі, широко використовуються рейтингові оцінки у вигляді багатовимірних середніх. Суть багатовимірної середньої полягає в заміні індивідуальних значень множини показників j-го елемента сукупності xіj відносними величинами Pіj. Базою порівняння можуть бути середні значення показників по сукупності в цілому або еталонні значення xi,st (норма, стандарт):
Середню арифметичну з відношень Pіj називають багатовимірною. Вона визначається для кожного j-го елемента і є інтегральною оцінкою певного явища саме для цього елемента:
де m — число показників. Серед показників системи вирізняють стимулятори і дестимулятори. Показники-стимулятори свідчать про високий рівень і-го параметра при Pіj > 1, дестимулятори — при Pіj < 1. Щоб звести їх до однозначної характеристики, для дестимуляторів відношення Pіj обчислюють як обернену величину. Якщо показники вважаються різновагомими, кожному з них надається певна вага і розрахунок виконується за формулою середньої арифметичної зваженої: , де dі — вага і-го показника; визначається вона, як правило, експертами так, щоб . Розглянемо розрахунок багатовимірної середньої на прикладі інвестиційної привабливості цінних паперів (акцій). Система показників містить: 1) рентабельність активів (x1, норм > 20%); 2) коефіцієнт капіталізації (х2, норм < 10%); 3) оборотність активів (х3, норм = 0,67 обороту); 4) коефіцієнт заборгованості (х4, норм < 0,7). Значення показників для п’яти емітентів наведено в табл. 4.3. Усі вони мають певні нормативи, а тому при стандартизації за базу порівняння доцільно взяти нормативи. Серед показників х1 і х3 — стимулятори (норматив має нижню межу), х2 та х4 — дестимулятори (норматив має верхню межу). Припустимо, що вплив цих показників на інвестиційну привабливість акцій однаковий. Тоді інтегральна оцінка визначається як середня арифметична проста. За розрахунками найбільш привабливим для інвестора є перше підприємство, для якого багатовимірна середня становить
Таблиця 4.3 БАГАТОВИМІРНІ СЕРЕДНІІНВЕСТИЦІЙНОЇ ПРИВАБЛИВОСТІ ЦІННИХ ПАПЕРІВ Nn Значення показників Відносні величини
Статистичний аналіз, що розкриває зміст і значення показників, поглиблюючи уявлення про предмет дослідження і властиві йому закономірності, виконують у двох напрямах: 1) замість ізольованих характеристик окремих сторін предмета розглядають зв’язки і відношення, виявляють фактори, які впливають на рівень і варіацію показників, оцінюють ефекти їх впливу; 2) вивчають динаміку показників, напрям і швидкість змін, визначають характер і рушійні сили розвитку. ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ 1. Поясніть суть статистичного показника та його роль у статистичному аналізі. 2. Як ви розумієте «адекватність показника», «модель показника»? 3. Класифікуйте наведені статистичні показники за ознакою часу та аналітичною функцією: 1) виробництво електроенергії на душу населення за рік, кВт · год; 2) уведення в дію загальної площі житлових будинків за рік, млн м2; 3) частка інвестицій на охорону навколишнього середовища в загальному обсязі капітальних вкладень; 4) довжина електрифікованих ліній залізниць на кінець року, тис. км; 5) ступінь використання виробничих потужностей домобудівного комбінату, %; 6) кількість зареєстрованих за рік шлюбів на 1000 населення; 7) співвідношення основних і оборотних активів фірми; 8) індекс споживчих цін за І квартал, %; 4. Яка відмінність між натуральними та умовно натуральними вимірниками абсолютних величин? Наведіть приклади. 5. Які аналітичні функції виконують відносні величини? Чи можна порівняти різнойменні показники? 6. Яка відмінність між процентом і процентним пунктом, між промілле і продецимілле? Коли ці характеристики використовуються? 7. Споживання палива тепловими електростанціями регіону становило: Вид палива Минулий рік Поточний рік Коефіцієнт переведенняв умовне паливо
Вугілля, млн т 8,2 22,6 0,90
Газ природний, млн м3 11,4 21,6 1,20
Визначіть обсяги спожитого умовного палива за кожний рік; відносні величини динаміки і структури. Зробіть висновок щодо структурних зрушень. 8. Парк металообробних верстатів виробничого об’єднання характеризується такими даними: Наявність верстатів на початок року — 120 Надійшло нових верстатів: на фізичну заміну виведених з експлуатації — 16 на розширення виробничих потужностей — 24. Визначіть кількість верстатів на кінець року та питому вагу серед них нових верстатів; ступінь розширення виробничих потужностей за рік. 9. За наведеними в таблиці даними, млрд грн., проаналізуйте інтенсивність зовнішньоторговельного обороту, його структуру, пропорції та динаміку. Укажіть види відносних величин. Зробіть висновки. Рік Валовийнаціональний продукт Оборотзовнішньоїторгівлі У тому числі експорт та імпорт
товарів послуг
Минулий 630 150 105 45
Поточний 700 200 120 80
10. Чому середню розглядають як типовий рівень ознаки в сукупності? 11. Які види середніх найчастіше використовують у статистичному аналізі? Що є критерієм вибору виду середньої? 12. Що є визначальною властивістю середньої арифметичної? Коли використовують середню арифметичну просту, а коли середню арифметичну зважену? 13. Чи тотожні поняття «частота» та «вага»? Як визначити наявність чи відсутність ваг? 14. Як зміниться середня, якщо всі варіанти зменшити вдвічі, а частоти збільшити вдвічі? 15. Чи зміниться середня, якщо частоти замінити частками? 16. За даними фірми на експорт реалізовано продукції: Продукція Реалізовано на експорт, т Частка реалізованої продукції, %
А 270 30
Б 150 50
Визначіть середній процент реалізованої на експорт продукції. Обґрунтуйте вибір форми середньої. 17. За наведеними даними визначіть середній процент виконання договірних зобов’язань постачальниками комплектуючих виробів: Вироби Виконано зобов’язань на суму, млн грн. Процент виконаннядоговірних зобов’язань
А 31,2 97,5
Б 17,1 95,0
Разом 48,3 (
Обґрунтуйте вибір форми середньої. 18. На акції трьох різних компаній очікується щорічний прибуток, %: 12, 20, 17. Інвестори розподілили свої внески між акціями цих компаній у такій пропорції, %: Інвестори Компанії
І ІІ ІІІ
А 50 30 20
Б 30 20 50
Визначіть прибуток кожного інвестора від такого портфеля цінних паперів. Якщо прибуток різний, поясніть чому. 19. За допомогою середнього бала оцініть діяльність органів місцевого самоврядування: Оцінка діяльності Кількість відповідей, % до підсумку
