Завдання 1. Відомі такі дані про роботу 30 продовольчих магазинів (табл.2.1)за рік: Виконати групування 30 магазинів за розміром товарообороту, виділити три групи з рівними інтервалами. Кожну групу охарактеризувати всіма техніко-економічними показниками. Результати представити в табличній формі (табл..2.2) і зробити висновки. Виконати групування підприємств за двома ознаками: розміром товарообороту і методами обслуговування. Розрахуйте для кожної групи техніко-економічні показники (табл.2.3). Зробіть висновки. Вихідні дані по результатам дослідження товарообороту. Таблиця 2.1 № магазину Товарооборот, млрд. грн. Середньоспискова чисельність робітників, чол. Прибуток, млн. грн. (y) Витрати обігу, млн. грн. (x)
1 1,32 36 16 54,1
2 3,24 69 61 146,2
3 2,64 51 29,2 131
4 1,08 22 20,8 37,1
5 2,16 55 19,2 123,3
6 3,96 61 92,8 150,6
7 2,88 46 56 117
8 1,56 37 60,4 78
9 8,88 151 192,4 297
10 3,6 56 68 124,8
11 0,6 21 15,2 31,2
12 1,08 24 26,1 44,2
13 1,2 19 33,9 35,9
14 1,32 29 24,1 54,1
15 0,96 20 19,9 45,8
16 1,92 40 46,8 78,4
17 1,32 3 8,8 87,2
18 1,68 30 36,4 57,2
19 0,84 19 2,5 60,1
20 1,2 22 17,2 79,2
21 3,36 43 93,2 84,8
22 0,96 20 10,6 114
23 2,64 45 56,1 79,2
24 0,36 12 10,3 15,7
25 1,32 18 20,2 47,2
26 2,4 37 47,6 80,5
27 0,72 11 2,1 30,5
28 0,36 13 8 24,1
29 1,8 43 20,1 102,4
30 6 107 121 211,2
Розв’язок Для розв’язання конкретних аналітичних задач проводяться нестандартні групування за певними ознаками, що легко розпізнаються. Групування за однією ознакою називають простим, у разі поєднання двох і більше ознак – комбінаційним. Різновидом структурного групування є ряд розподілу, характеристиками якого є варіанти та частоти, або частки. Варіанти – це конкретні значення групувальної ознаки, частоти – кількості елементів сукупності, яким властиві окремі варіанти. Відносні частоти (% до підсумку) називають частками. У процесі формування груп за варіаційною ознакою, необхідно встановити інтервали груп та визначити межі кожного з них. 1) Визначимо інтервали груп за формулою:
де, n – кількість груп; Х max , Х min - найбільше і найменше значення ознаки.
Таким чином виділимо три групи магазинів з інтервалом 2840. Групування магазинів за розміром товарообороту Таблиця2.2. № п/п Групи за розміром товарообороту Кількість магазинів Середньоспискова чисельність робітників, чол. Товарооборот Прибуток, млн. грн. Витрати обігу
Всього, млн. грн. У % до о.т. Всього, млн.грн. У % до о.т. Всього, млн.грн. У % до о.т.
З таблиці 2.2 видно, що найбільше магазинів входять до першої групи (24 магазинів), що складає 80,0% від загального числа. Найбільший товарооборот припадає на першу групу. Найбільше магазинів у першій групі. Найвищий коефіцієнт товарообороту у першої групи – 54,2%, найменший – другий – 22.3%, найбільший прибуток спостерігається у першій групі – 607,5 млн. грн.., а найменший – в другій групі – 315 млн. грн. Найвищі витрати обігу в першої групи складають – 1607,4 млн. грн. 2) Здійснимо розподіл магазинів за методами обслуговування. Згідно даних утворимо дві підгрупи і зведемо отримані результати в таблицю 2.3. Комбінаційне групування Таблиця 2.3 Групи магазинів за методом обслуговування покупців Підгрупи магазинів за розміром товарообороту, млн. грн. Кількість магазинів Середньосп. чис. робітників, чол. Товарооборот Прибуток, млн. грн. Витрати обігу, млн. грн.
Всього, тис. грн. На 1 робітника Всього, млн. грн. У % до о.т. Всього, млн. грн. У % до о.т.
Магазини, що застосовують традиційні методи обслуговування
Магазини, що працюють методом самообслуговування 360 - 3200 14 300 16440 54,8 321,8 0,5 662,9 1,04
3200 - 6040 3 160 10920 68,25 254 0,42 360,2 0,56
6040 - 8880 2 258 14880 57,6 313,4 0,49 508,2 0,8
Разом 30 1160 63360 - 1235,9 - 2622 -
Згідно даних таблиці 2.3. можна зробити ряд висновків: таблиця комбінаційного групування дає можливість зробити висновки про те, що більша частина товарообороту і прибутку належить магазинам, що працюють за методом самообслуговування. Основна частина магазинів має товарооборот у межах 360 - 3200 млн. грн. Однією з найкращих груп є група магазинів, що працює за методом самообслуговування, що має товарооборот у межах 360 – 3200 млн. грн., прибуток якої складає 321,8 млн. грн. Завдання 2. Використовуючи ряд розподілу за величиною товарообороту (табл.2.2.) обчислити: Середній товарооборот на один магазин; Моду даного ряду; Медіану; Середнє лінійне відхилення. Зробити висновки. Зобразити ряд розподілу в вигляді гістограми. Розв’язок Ряд розподілу характеризує склад, структуру сукупності за певною ознакою. Елементами ряду розподілу є варіанти – значення ознаки xj та частоти yj. Закономірність розподілу описується низкою статистичних характеристик, зокрема: Частотні характеристики; Характеристики центру розподілу; Характеристики варіації; Характеристики нерівномірності розподілу, концентрації, асиметрії. Частотними характеристиками ряду є абсолютна чисельність j-ї групи частота fj та відносна частота – частка dj. До характеристик центру розподілу відносять середню, моду та медіану. Середня величина характеризує типовий рівень ознаки сукупності. Середня розраховується так:
Таблиця 2.4. Групи за розміром товарообороту млн. грн. Середина інтервалу, xj Кількість магазинів f Кумулятивна частота sfj xj * f Середнє лінійне відхилення
360 - 3200 1780 24 24 42720 43871,7
3200 - 6040 4620 4 28 18480 263230,25
6040 - 8880 7460 2 30 14920 526460,5
Разом
30
76120
Розрахуємо товарооборот за допомогою середньої арифметичної простої:
Отже, один на магазин в рік припадає в середньому 2056,67 млн. грн. товарообігу. Мода (Мо) - це величина ознаки (варіанта), що найбільше часто повторюється в досліджуваній сукупності. В інтервальному ряду за найбільшою частотою визначається модальний інтервал. Для інтервальних рядів розподілу з рівними інтервалами мода визначається по формулі:
де - початкове значення інтервалу, що містить моду; - величина модального інтервалу; - частота модального інтервалу; - частота інтервалу, що передує модальному; - частота інтервалу, що випливає за модальним. Отже, модальним інтервалом буде перший інтервал – 0,3 - 2,67, оскільки йому відповідає найбільше значення варіанти (кількість магазинів 24). Розрахуємо моду даного ряду:
Отже, переважну більшість складають магазини з товарообігом, що дорівнює моді - 1,623 млрд. грн. Медіана (Ме) - це варіанта, розташована в середині варіаційного ряду. Медіана інтервального варіаційного ряду розподілу визначається за формулою:
де — початкове значення інтервалу, що містить медіану; — величина медіанного інтервалу; — сума частот ряду; — сума накопичених частот, що передують медіанному інтервалу; — частота медіанного інтервалу. Для визначення медіанного товарообороту спочатку визначимо медіальний інтервал. Таким інтервалом буде інтервал, кумулятивна частота якого буде більша половини суми частот. Це буде перший інтервал. Розрахуємо медіанний товарообіг:
Отже, медіаною товарообороту буде 1,781 млрд. грн., що свідчить про те, що половина магазинів мають товарооборот менший ніж медіанний. Середнім лінійним відхиленням l називають середній з модулів відхилень і визначається за такою формулою:
де т — число одиниць сукупності; х — значення варіант; f — частота; — середнє арифметичне значення варіюючої ознаки. Найпоширеніше значення товарообороту в даному ряді є 1,623 млрд. грн. грн. Також можна сказати, що товарооборот половини магазинів нижче 1,781 млрд. грн., а іншої половини магазинів вище за цю вартість.
Ряд розподілу магазинів за розміром товарообороту
Завдання 3. На основі даних про товарообіг 30 магазинів визначити: розмах варіації; дисперсію; середнє квадратичне відхилення; коефіцієнт кореляції. Пояснити економічний зміст розрахованих показників. Розмах варіації – це різниця між найбільшим та найменшим значенням варіанти.
Отже, варіація ознаки 7,1 млрд. грн. Даний показник відображає лише крайні відхилення і не відображає усіх відхилень варіант в ряду. Загальна дисперсія ?² характеризує відхилення індивідуальних значень ознаки сукупності від загальної середньої і розраховується за формулою:
де т - число одиниць сукупності; х - значення варіант; f - частота; — середнє арифметичне значення варіюючої ознаки. Корінь квадратний з дисперсії називають середнім квадратичним відхиленням . Коефіцієнт варіації розраховується як відношення абсолютних, іменованих характеристик варіації до центру розподілу і часто виражається процентами. Для обчислення показників варіації вартості ОВФ складемо наступну таблицю: Таблиця 2.5. Розрахункова таблиця для обчислення показників варіації
Групи магазинів за розміром товарообороту, млн. грн. Середина інтервалу xj
(xj-x)2*f
Кількість заводів f
360-3200 1780 24
13764078
3200-6040 4620 4
17350556
6040-8880 7460 2
48465950
Разом 13860 30
79580584
Опис розрахунку дисперсії за формулою (7): ?² = 79580584/30=2652686,1 Середнє квадратичне відхилення: ?² = 1628,7 млн. грн. Коефіцієнт варіації: Vl= 1628,7 /2537,3 = 64,2% Середнє квадратичне відхилення є мірилом надійності середньої. Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим краще середня арифметична відбиває собою всю представлену сукупність. З огляду на те, що середньоквадратичне відхилення дає узагальнюючу характеристику варіативності всіх варіантів сукупності, коефіцієнт варіації є найпоширенішим показником варіації, використовуваним для оцінки типовості середніх величин. При цьому виходять із того, що V = 64,2 %, то це говорить ступінь відхилення індивідуальних значень від середніх (64,2% > 33%) – сукупність не однорідна. Завдання 4. Використовуючи вихідні дані Завдання 1, побудуємо кореляційну таблицю для дослідження зв’язку між розміром прибутку і витратами обігу. Знайдемо рівняння регресії. Зобразимо емпіричні та теоретичні дані на графіку. Обчислимо лінійний коефіцієнт кореляції та кореляційне співвідношення. Перевіримо істотність зв’язку за допомогою F- критерію з рівнем істотності = 0,05. Пояснити економічну сутність обчислених показників. При кореляційному зв'язку зміна результативної ознаки не цілком залежить від факторної ознаки , а лише частково, тому що можливо вплив інших факторів :
Згідно даних таблиці 2.1. побудуємо кореляційну таблицю для дослідження зв’язку між розміром прибутку і витратами обігу. Прибуток в даному випадку буде залежною змінною, а витрати обігу пояснювальною. Таблиця 2.6. № магазину Прибуток, млн. грн. (y) Витрати обігу, млн. грн. (x) y2 x2 xy yр
1 16 54,1 256 2926,81 865,6 22,15
2 61 146,2 3721 21374,44 8918,2 74,82
3 29,2 131 852,64 17161 3825,2 66,13
4 20,8 37,1 432,64 1376,41 771,68 12,43
5 19,2 123,3 368,64 15202,89 2367,36 61,73
6 92,8 150,6 8611,84 22680,36 13975,68 77,34
7 56 117 3136 13689 6552 58,12
8 60,4 78 3648,16 6084 4711,2 35,82
9 192,4 297 37017,8 88209 57142,8 161,06
10 68 124,8 4624 15575,04 8486,4 62,58
11 15,2 31,2 231,04 973,44 474,24 9,06
12 26,1 44,2 681,21 1953,64 1153,62 16,49
13 33,9 35,9 1149,21 1288,81 1217,01 11,75
14 24,1 54,1 580,81 2926,81 1303,81 22,15
15 19,9 45,8 396,01 2097,64 911,42 17,41
16 46,8 78,4 2190,24 6146,56 3669,12 36,05
17 8,8 87,2 77,44 7603,84 767,36 41,08
18 36,4 57,2 1324,96 3271,84 2082,08 23,93
19 2,5 60,1 6,25 3612,01 150,25 25,58
20 17,2 79,2 295,84 6272,64 1362,24 36,51
21 93,2 84,8 8686,24 7191,04 7903,36 39,71
22 10,6 114 112,36 12996 1208,4 56,41
23 56,1 79,2 3147,21 6272,64 4443,12 36,51
24 10,3 15,7 106,09 246,49 161,71 0,19
25 20,2 47,2 408,04 2227,84 953,44 18,21
26 47,6 80,5 2265,76 6480,25 3831,8 37,25
27 2,1 30,5 4,41 930,25 64,05 8,66
28 8 24,1 64 580,81 192,8 5,00
29 20,1 102,4 404,01 10485,76 2058,24 49,77
30 121 211,2 14641 44605,44 25555,2 111,99
Разом 1235,9 2622 99440,8 332442,7 167079,4 1235,90
У практиці економіко-статистичних досліджень часто доводиться мати справу з прямолінійною формою зв’язку, яку описує рівняння регресії. Yx = a0 +a1 X Де, Yx - згладжене середнє значення результативної ознаки , X - факторна ознака, a0 і a1 - параметри рівняння , a0 – значення Y при X = 0, a1 – коефіцієнт регресії. Рівняння регресії характеризує зміну середнього рівня результативної ознаки Y залежно від зміни факторної ознаки X. Воно визначає математичне сподівання групових середніх результативної ознаки під впливом різних значень факторної ознаки. Коефіцієнт регресії a1, вказує на те, наскільки змінюється результативна ознака Y внаслідок зміни факторної ознаки X на одиницю. У разі лінійної форми зв'язку результативна ознака змінюється під впливом факторної ознаки рівномірно. Параметри рівняння зв’язку визначають за способом найменших квадратів складеної і розв’язаної системи двох рівнянь з двома невідомими: ( Y= na0 +a1 ( X , ( YX= a0 ( X + a1 ( X 2, де n - число членів у кожному з двох порівнюваних рядів, ( X - сума значень факторної ознаки , ( X2 - сума квадратів значень факторної ознаки , ( Y - сума значень результативної ознаки, ( YX - cума добутків значень факторної та результативної ознак. Розв’язавши дану систему рівнянь, дістанемо такі параметри: ( X 2 ( Y - ( X ( XY n ( XY - ( X( Y a0 = , a1 = n( X 2 - ( X ( X n ( X 2 - ( X ( X Обчисливши за фактичними даними (табл.2.6.) всі записані вище суми й підставивши їх у наведені формули, знайдемо параметри прямої.
Отже, рівняння регресії буде мати вигляд:
Згідно рівняння регресії розрахуємо згладжене середнє значення результуючої ознаки ур, на побудуємо діаграму розсіювання, де зобразимо емпіричні та розраховані значення. Як бачимо усі розрахункові дані лежать на лінії тренду.
Для вимірювання тісноти зв’язку і визначення його напрямку при лінійній залежності використаємо лінійний коефіцієнт кореляції.
Усі дані для обчислення коефіцієнта кореляції є в таблиці 2.6. Таке значення лінійного коефіцієнта кореляції свідчить про наявність слабкого прямого зв’язку між витратами обігу та прибутком. Кореляційне співвідношення ? - розраховується як корінь квадратний від коефіцієнта детермінації. Коефіцієнт детермінації дорівнює коефіцієнту кореляції піднесеному до квадрату:
Отже, ?=0,346, що характеризує низький рівень зв’язку між ознаками. Значення коефіцієнта детермінації R2 = 0,012 свідчить, що лише 1,2% зміни прибутку обумовлена зміною витрат обігу. Для перевірки істотності зв’язку між ознаками розраховується критерій Фішера через відоме значення коефіцієнта детермінації R2.
Оскільки Fкр>F, то розрахована модель є статистично не значимою вцілому.
