4.2. Економіко-математичний аналіз
А. Показники середньої ефективності впливу пояснюючих змінних на залежну змінну
Середня ефективність впливу деякої пояснюючої змінної на залежну змінну y визначається за наступною залежністю :
, ( 57 )
де - середнє значення залежної змінної, обчислене для масиву розрахункових значень залежної змінної, - середнє значення j – ї пояснюючої змінної. Цей показник показує на скільки у середньому змінить своє значення залежна змінна моделі, якщо деяка пояснююча змінна змінить своє значення на одиницю при умові, що інші пояснюючі змінні моделі будуть незмінними. За економічним змістом показники середньої ефективності впливу можуть розглядатися як середня продуктивність праці, середня продуктивність основного капіталу і т.і.
Б. Показники граничної ефективності впливу пояснюючих змінних на залежну змінну
Гранична ефективність впливу деякої пояснюючої змінної на залежну змінну y визначається за наступною залежністю :
, ( 58 )
де - параметр вибіркового рівняння регресії при пояснюючій змінній . Цей показник показує на скільки змінить своє значення залежна змінна моделі, якщо деяка пояснююча змінна змінить своє значення на одиницю при умові, що інші пояснюючі змінні моделі будуть незмінними.
Як видно з виразу ( 53 ) гранична ефективність впливу деякої пояснюючої змінної на залежну змінну y визначається значенням відповідного коефіцієнта регресії , що дає можливість надавати кожному з цих коефіцієнтів відповідного економічного змісту. Так наприклад, за економічним змістом параметри лінійного рівняння регресії можуть представляти собою граничну схильність до споживання (MPC), граничну продуктивність праці (MPL) або основного капіталу (MPK) і т.і.
В. Показники відносного впливу пояснюючих змінних на залежну змінну
Параметри вибіркового рівняння регресії характеризують абсолютний влив кожної пояснюючої змінної на залежну. Крім цього на основі загальної лінійної економетричної моделі можна оцінити відносний вплив кожної з пояснюючих змінних на залежну. Такий вплив характеризує частковий середній коефіцієнт еластичності, який визначається для будь-якої пояснюючої змінної за наступною залежністю :
. ( 59 )
Як відомо цей коефіцієнт характеризує еластичність поведінки залежної змінної моделі при змінні значення змінної і показує на скільки відсотків у середньому змінить своє значення залежна змінна (залежний економічний показник) при зміні значення змінної на 1% при незмінних значеннях інших пояснюючих змінних моделі.
Крім часткових коефіцієнтів еластичності також можна визначити і загальний коефіцієнт еластичності. Він показує на скільки відсотків у середньому змінить своє значення залежна змінна (залежний економічний показник) при одночасній зміні значень усіх пояснюючих змінних моделі на 1%. Загальний коефіцієнт еластичності обчислюється за наступною залежністю :
. ( 60 )
Г. Показники сили впливу пояснюючих змінних на залежну змінну
При дослідження економічних явищ і процесів дуже часто виникає питання – які з пояснюючих змінних впливають більше на залежну змінну ,а які менше. Це дає можливість визначити вагомі і ефективні важелі впливу на залежний економічний показних у необхідному напрямку.
Який показник потрібно використати у цьому випадку ? Можливо параметри моделі, які як зазначалося вище, дозволяють оцінити абсолютний вплив кожної пояснюючої змінної на залежну. Але оскільки пояснюючі змінні моделі можуть бути виражені у різних одиницях вимірювання, то і відповідні коефіцієнти регресії також можуть мати різні одиниці вимірювання. Це не дає можливість застосувати їх безпосередньо для порівняння сили впливу кожної пояснюючої змінної на залежну.
Для цієї мети використовуються стандартизовані коефіцієнти регресії, які обчислюються за наступною залежністю :
, ( 61 )
де - коефіцієнт регресії при пояснюючій змінній , - стандартна похибка пояснюючої змінної , - стандартна похибка залежної змінної моделі.
Стандартизований коефіцієнт регресії представляє собою очікувану абсолютну зміну залежної змінної y (у стандартизованих одиницях вимірювання ), викликану зміною на одну відповідну стандартизовану одиницю (тобто на ) при незмінних значеннях інших пояснюючих змінних. Кожний стандартизований коефіцієнт регресії вимірюється в одиницях стандартних відхилень y на одне стандартне відхилення змінної . Абсолютні значення стандартизованих коефіцієнтів регресії можна порівнювати і виконувати ранжування пояснюючих змінних за ступенем впливу їх на залежну змінну моделі.
МЕТОДИ ПОБУДОВИ ЗАГАЛЬНОЇ ЛІНІЙНОЇ ЕКОНОМЕТРИЧНОЇ МОДЕЛІ
5.1. Характеристика основних методів побудови загальної лінійної економетричної моделі
На кожний економічний показник впливає безліч різних факторів. При ідентифікації загальної лінійної економетричної моделі виникає питання, які саме з них потрібно увести до моделі у якості пояснюючих змінних. Для вирішення цього питання в принципі існує два наступні підходи.
1-й підхід. З точки зору надійності прогнозування, необхідно включати до моделі якомога більше факторів. Але при цьому, кожна „зайва” пояснююча змінна погіршує ситуацію ,оскільки вона зменшує надійність F-тесту на загальну статистичну значимість моделі і може призвести до невірних статистичних висновків.
2-й підхід. З точки зору отримання надійної статистичної інформації по кожному фактору слід прагнути, щоб модель мала якомога менше факторів, оскільки збір і обробка великих статичних масивів потребує великих затрат при недостатній надійності статистичних даних.
Компромісом між цими крайніми підходами є те, що називають вибором "найкращого рівняння" регресії. Для реалізації такого вибору немає єдиної статистичної процедури, єдиного методу. Існує декілька методів побудови "найкращої" лінійної регресії, найбільш поширеними серед яких є:
метод усіх можливих регресій ;
метод покрокової регресії ;
метод виключень .
А) Метод усіх можливих регресій
Метод усіх можливих регресій – історично перший метод побудови лінійних регресійних моделей і найбільш громіздкий серед усіх методів. Ідея методу полягає у побудові множини регресійних рівнянь, які містять усі можливі комбінації попередньо відібраних факторів, і у порівнянні цих рівнянь за трьома критеріями : коефіцієнтом детермінації R2, стандартною похибкою і критерієм Меллоуза Ср. У загальному випадку для m відібраних факторів (пояснюючих змінних) можна побудувати 2m рівнянь регресії і виконати їх порівняння.
Побудова і аналіз усіх можливих регресійних рівнянь є доволі громіздка і ненадійна процедура, тому цей метод рекомендується використовувати при невеликій кількості відібраних факторів.
Б) Метод покрокової регресії
Цей метод є найпоширенішим на практиці і більш економним у порівнянні з попереднім. Ідея методу полягає у послідовному включенні до моделі факторів (пояснюючих змінних) до тих пір, поки модель не стане задовільною. Порядок включення факторів до моделі вибирається на основі значень коефіцієнтів парної кореляції між пояснюючими і залежною змінною моделі. Алгоритм методу покрокової кореляції можна подати у наступному вигляді :
Алгоритм методу
Розраховується кореляційна матриця r для усіх змінних моделі, які планується включити до моделі.
Спочатку з кореляційної матриці вибирається і включається до моделі той фактор , якому у кореляційній матриці відповідає найбільший за модулем коефіцієнт парної кореляції з залежною змінної моделі у (нехай це буде змінна х1). Будується регресійне рівняння з однією незалежною змінною і для нього обчислюється коефіцієнт детермінації. Після цього перевіряється чи значима ця змінна за коефіцієнтом детермінації і за частковим F- критерієм. Якщо ні, то приймаємо і процес побудови моделі припиняється. Якщо так, то переходимо до наступного кроку 3.
На основі аналізу кореляційної матриці серед тих пояснюючих змінних, що залишились, шукаємо нову змінну, яка має найбільший за модулем коефіцієнт кореляції з у і включаємо її до моделі (нехай це буде змінна х2) .
Будується нове рівняння регресії :

і для нього розраховується звичайний і оцінений коефіцієнт детермінації. Аналізується зміна цих показників у порівнянні з попередньою моделлю. Потім розраховуються часткові F- критерії для кожного фактора. Серед них обирається найменше значення і порівнюється із заздалегідь обраним критичним значенням F - критерію. В залежності від результатів перевірки додана на цьому кроці змінна або залишається у моделі, або відкидається.
Після цього модель перераховується в залежності від факторів, які залишились і здійснюється перехід до кроку 3.
Процес побудови моделі за наведеним алгоритмом припиняється, якщо жодний фактор, що знаходиться у поточному рівнянні , не вдається виключити, а новий претендент на включення не відповідає частковому F - критерію.
В. Метод виключень
Метод виключень діє у зворотному порядку порівняно з методом покрокової регресії і є також досить поширеним. Загальний алгоритм методу складається з 5 кроків.
Будується рівняння регресії, яке включає всі відібрані фактори . Якщо попередньо було відібрано m факторів , то вихідне базове рівняння має вигляд :
.
Для кожного фактора (пояснюючої змінної) обчислюється значення часткового F- критерію.
Серед розрахованих значень часткового F- критерію вибирається найменше Fmin і порівнюється із заздалегідь обраним критичним значенням розподілу Фішера Fкр .
Якщо Fmin < Fкр , то відповідний фактор виключається з рівняння. Проводиться новий розрахунок регресійного рівняння вже без виключеного фактора і здійснюється перехід знову до кроку 2.
Якщо Fmin > Fкр , то регресійне рівняння залишається без змін.
5.2. Статистичні показники, які використовуються при побудові загальної лінійної економетричної моделі
При розгляді методів побудови загальної лінійної економетричної моделі були використані такі нові поняття і статистичні показники, як частковий F – критерій ,оцінений коефіцієнт детермінації ,кореляційна матриця. Розглянемо ці показники більш детальніше.
А. Частковий F- критерій.
Одним з головних питань будь-якого методу побудови багатофакторної регресійної моделі є питання визначення суттєвості впливу на залежну змінну у окремих факторів. Таку оцінку можна зробити з використанням F- статистики на основі часткового F- критерію Фішера. Зміст часткового F- критерію розглянемо на наступному прикладі.
Нехай є економетрична модель ,яка враховує вплив к факторів на залежну змінну у, тобто :
.
Припустимо, що з к факторів p факторів несуттєво впливають на показник у. Тоді побудуємо другу регресійну модель, в яку не включаємо ці р факторів.
.
Позначимо суму квадратів залишків 1-ї моделі через SSE1, а 2-ї моделі - через SSE2 . Тоді різниця SSE1 - SSE2 дорівнює додатковій сумі квадратів залишків, яка пов'язана з включенням (або вилученням) до 1-ї моделі p додаткових факторів. Зазначимо, що ця додаткова сума квадратів буде мати ступінь вільності p = k – q.
Знайдемо наступне розрахункове значення F- статистики :

. ( 62 )
Для заданого рівня значимості ? і ступенів вільності і за статистичними таблицями F- розподілу знаходимо критичне значення критерію Фішера Fкр. Якщо Fp,n-k > Fкр, то із надійністю 1 - ? можна вважати, що вилучені фактори суттєво впливають на результуючий показник у і їх потрібно залишити у складі пояснюючих змінних моделі. У протилежному випадку (Fp,n-k < Fкр.) з надійністю 1- ? можна вважати, що виключення із моделі р факторів несуттєво впливає на показник у і для моделювання можна вибрати другу модель з q пояснюючими змінними.
Якщо розглядати процес поступово включення (або вилучення) факторів до моделі, коли на кожному етапі до моделі включається (або вилучається) тільки один фактор за допомогою наведеного F- відношення ( 57 ) будемо мати критерій, який і визначатиме суттєвість впливу цього окремого фактора на залежну змінну у. Такий варіант F- критерію називається частковим F- критерієм і визначається за формулою ( 57 ) для р=1 .
Б. Оцінений коефіцієнт детермінації.
Важливою властивістю коефіцієнта детермінації R2 є те, що він – неспадна функція від кількості факторів, які входять до моделі. Якщо кількість факторів зростає, то R2 також зростає і ніколи не зменшується. Це ускладнює порівняння економетричних моделей і вибір серед них найкращої. Так наприклад, якщо ми порівнюємо дві економетричні моделі з однаковою залежною змінною, але різною кількістю пояснюючих змінних, ми звичайно віддаємо перевагу тій, яка має більше значення R2, хоча це може і не відповідати дійсності.
Тому щоб запобігти невиправданому розширенню моделі і мати можливість порівнювати моделі з різною кількістю факторів уводять так званий оцінений коефіцієнт детермінації , який зменшує вплив зростання кількості факторів на коефіцієнт детермінації за рахунок поправки на ступені вільності. У практиці економетричного дослідження використовуються два різновиди оцінененого коефіцієнта детермінації :
коефіцієнт детермінації, скоригований за Тейлом - ;
коефіцієнт детермінації, скоригований за Амемією - .
Перший з них обчислюється за наступною залежністю :
, ( 63 )
а другий – за залежністю :
. ( 64 )
Коефіцієнт детермінації R2 і оцінені коефіцієнти детермінації та пов’язані між собою наступними співвідношеннями :
, ( 65 )
. ( 66 )
Вочевидь, для кожного оціненого коефіцієнта детермінації виконується нерівність , тобто зі збільшенням числа пояснюючих змінних моделі оцінені коефіцієнти детермінації зростають повільніше, ніж , зменшуючи таким чином вплив числа факторів на величину коефіцієнта детермінації. Крім того, якщо , то і . Якщо прямує до нуля , оцінені коефіцієнти кореляції стають від’ємними. Така властивість скоригованих коефіцієнтів детермінації дає змогу більш об’єктивно оцінювати якість моделей з різним числом факторів.
В. Кореляційна матриця.
Кореляційна матриця дозволяє оцінити щільність лінійного кореляційного зв'язку між залежною змінною моделі і окремими факторами, а також між окремими незалежними змінними. У загальному випадку вона представляє собою квадратну симетричну матрицю, елементами якої є коефіцієнти парної кореляції між залежною змінною моделі і кожною пояснюючою змінною, а також коефіцієнти парної кореляції між самими пояснюючими змінними моделі.
Для випадку m пояснюючих змінних кореляційна матриця має наступний вигляд і структуру :
,. ( 67 )
Діагональні елементи матриці r дорівнюють 1. Коефіцієнти парної кореляції та обчислюються за відомою формулою визначення коефіцієнта парної кореляції, яка у даному випадку трансформується у наступні вирази ( 32 ):
, ( 68 )
, ( 69 )
де - вибіркова дисперсія j – ї пояснюючої змінної, - вибіркова дисперсія k – ї пояснюючої змінної, - вибіркова дисперсія залежної змінної, - вибірковий коефіцієнт коваріації між j – ю пояснюючою змінною і залежною змінною моделі. Ці величини обчислюються за відомими залежностями, як у виразі ( 32 ).
Як відомо, будь-який коефіцієнт парної кореляції з наведеної вище кореляційної матриці характеризує тісноту зв'язку між відповідними змінними за умови, що інші змінні ведуть себе „природним чином” – тобто також змінюють свої значення разом з тими, для яких обчислюється коефіцієнт парної кореляції. Це не дає можливість оцінити тісноту кореляційного зв’язку між двома змінними моделі так би мовити у „чистому вигляді”.
Тому при вивченні зв'язку між змінними економетричної моделі недостатньо спиратися тільки на кореляційну матрицю. Необхідно також проаналізувати часткові коефіцієнти кореляції. На відміну від парних часткові коефіцієнти кореляції характеризують тісноту зв'язку між двома змінними за умови, що інші змінні сталі. Такі коефіцієнти кореляції більш коректно вимірюють силу лінійного кореляційного зв’язку між змінними моделі і дають більш точну інформацію, необхідну при побудові загальної лінійної економетричної моделі. Формула для визначення часткового коефіцієнта кореляції між двома змінними моделі має вигляд :
, ( 70 )
де – елементи матриці С, оберненої до кореляційної матриці r. За цією формулою визначається частковий коефіцієнт кореляції між економічним показником j і показником k при умові, що усі інші економічні показники, які фігурують в економетричні моделі є сталими. Слід зазначити, що у якості показника j може виступати як залежна змінна моделі так і незалежна, а у якості показника k – незалежна, пояснююча змінна.
ВИСНОВКИ
Загальна лінійна економетрична модель є одним з найпоширених видів економетричних моделей. Вона є достатньо простою і разом з тим достатньо універсальною моделлю, з якої ,як правило, дуже часто починається економетричне дослідження будь-якого економічного явища або процесу. Окрім цього цю модель можна вважати „базовою”, оскільки її опанування дає можливість у подальшому застосовувати більш складні моделі – нелінійні, динамічні, симультативні і т.і.
З математичної точки зору загальна лінійна економетрична модель представляє собою модель парної або багатофакторної регресії.
Теоретична (“канонічна”) загальна лінійна економетрична модель специфікується у наступній формі :
,
де: y – залежна (пояснювана) змінна моделі, x1, x2, … , xm – незалежні (пояснюючі) змінні моделі або фактори, ?0, ?1, …. , ?m – параметри моделі, ? – стохастична складова моделі, m – кількість пояснюючих змінних моделі.
Специфікація вибіркової (емпіричної) загальної лінійної економетричної моделі має наступний вигляд :
,
де: y – залежна (пояснювана) змінна моделі, x1, x2, … , xm – незалежні (пояснюючі) змінні моделі (фактори), b0, b1, bm – параметри вибіркової моделі, e – залишки моделі.
Вибіркова (емпірична) функція регресії для загальної лінійної економетричної моделі має наступний вигляд :
,
де: – оцінка математичного сподівання залежної (пояснюваної) змінної моделі, x1, x2, … , xm – незалежні (пояснюючі) змінні моделі (фактори), b0, b1, bm – параметри вибіркової регресії.
У матричній формі загальна лінійна економетрична модель має наступний вигляд :
,
де Y – вектор спостережень за залежною змінною моделі, X – матриця спостережень за пояснюючими змінними моделі, B – вектор оцінок параметрів моделі, e – вектор залишків.
Найпростішою лінійною (і взагалі найпростішою) економетричної моделлю є модель парної лінійної регресії, яка містить одну залежну і одну незалежну(пояснюючу) змінну.
Оцінювання параметрів загальної лінійної економетричної моделі виконується на основі одно крокового методу найменших квадратів (1 МНК). Оператор оцінювання при цьому має наступний вигляд
.
Якщо загальна лінійна модель відповідає усім припущенням класичного лінійного регресійного аналізу вона є класичною моделлю. Оцінки параметрів такої моделі, оцінені за 1 МНК, є BLUE – оцінками.
Процес верифікації загальної лінійної економетричної моделі умовно поділити на дві частини :
визначення за даними вибірки показників якості моделі і їх інтерпретація ;
перевірка статистичної значимості моделі.
До основних показників якості побудованої вибіркової моделі відносяться
стандартна похибка рівняння регресії,
стандартні похибки параметрів моделі ;
коефіцієнт кореляції ;
коефіцієнт детермінації .
Перевірка статистичної значимості моделі включає :
перевірку статистичної значимості моделі у цілому ;
перевірку статистичної значимості параметрів моделі і побудова для них інтервалів довіри;
перевірку статистичної значимості коефіцієнта кореляції .
На основі загальної лінійної економетричної моделі можна побудувати два види прогнозу : точковий та інтервальний.
Точковий прогноз дає можливість обчислити наближене середнє прогнозне значення залежної змінної для деякого набору прогнозних значень пояснюючих змінних.
Інтервальний прогноз дає можливість визначити з деякою наперед заданою ймовірністю точні середні і точні індивідуальні прогнозні значення залежної змінної. Внаслідок цього розрізняють інтервальний прогноз для математичного сподівання (середнього значення) залежної змінної і інтервальний прогноз для індивідуального значення залежної змінної.
В результаті економіко-математичного аналізу загальної лінійної економетричної моделі можна визначити показники середньої та граничної ефективності впливу пояснюючих змінних на залежну змінну, коефіцієнти еластичності і оцінити індивідуальний і загальний вплив пояснюючих змінних на пояснювану.
Процес побудови „найкращої” загальної лінійної економетричної моделі є процес складний і багато етапний. На даний час для побудови таких моделей застосовуються наступні методи :
метод усіх можливих регресій ;
метод покрокової регресії ;
метод виключень .
3. ПРОГНОЗУВАННЯ ТА ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ НА ОСНОВІ НЕЛІНІЙНИХ ЕКОНОМЕТРИЧНИХ МОДЕЛЕЙ

3.1. Прогнозування
А. Побудова точкового прогнозу.
Для побудови точкового прогнозу на основі нелінійної економетричної моделі може бути використана як нелінійна (звичайна) форма моделі так і лінійна форма, отримана у процесі лінеаризації.
При використані нелінійної форми моделі прогнозні значення пояснюючих змінних моделі безпосередньо підставляються у нелінійне рівняння регресії.
При використані лінійної форми моделі для визначення точкових прогнозних значень залежної змінної у випадку степеневої або показникової моделі слід пам’ятати ,що до рівняння регресії потрібно підставляти не безпосередньо прогнозні значення пояснюючих змінних ,а перетворені - тобто логарифми натуральні прогнозних значень пояснюючих змінних. Слід також пам’ятати ,що отримане точкове прогнозне значення залежної змінної для цих функції потрібно також шляхом зворотних перетворень (експонування) привести до нормального виду.
При використані квазілінійних моделей (зворотної і квадратичної) потрібно робити перехід тільки від прогнозних значень пояснюючих до перетворених у відповідності до виду перетворень, які були застосовані при лінеаризації цих моделей. Після обчислення точкового прогнозу зворотне перетворення , як у випадку степеневої і показникової моделей, не потрібне.
Б. Побудова інтервального прогнозу.
При побудові інтервального прогнозу для усіх розглянутих вище нелінійних моделей завжди використовується тільки їх лінійна форма.
Для степеневої і показникової моделі, як і при побудові точкового прогнозу, слід використовувати не безпосередньо прогнозні значення пояснюючих змінних і обчислене точкове прогнозне значення залежної змінної, а перетворені - тобто логарифми натуральні прогнозних значень пояснюючих змінних і логарифм точкового прогнозного значення залежної змінної. Після визначення верхньої і нижньої межи прогнозного інтервалу, як для індивідуального значення так і для математичного сподівання залежної змінної, необхідно шляхом експонування перейти від логарифмів прогнозних значень до фактичних.
При використані квазілінійних моделей (зворотної і квадратичної), як і у випадку точкового прогнозу робиться тільки перетворення прогнозних значень пояснюючих змінних, які і використовуються для визначення прогнозних інтервалів. Обчислені прогнозні інтервали при цьому не потребують зворотних перетворень.
3.2. Економіко - математичний аналіз на основі нелінійних моделей
Як і у випадку лінійних економетричних моделей на основі нелінійних економетричних моделей можна обчислити наступні показники :
показники середньої ефективності впливу пояснюючих змінних на залежну ;
показники граничної ефективності впливу пояснюючих змінних на залежну ;
показники відносного впливу пояснюючих змінних на залежну – коефіцієнти еластичності.
Ці показники можна визначити через оцінки параметрів лінійної форми за наступними відомими співвідношеннями:
, ( 24 )
, ( 25 )
, ( 26 )
де Аj – показник середньої ефективності впливу пояснюючої змінної на залежну змінну, Мj – показник ганичної ефективності впливу пояснюючої змінної на залежну змінну, – середній коефіцієнт еластичності, який характеризує відносний вплив пояснюючої змінної на залежну змінну.
Конкретний вираз наведених показників залежить від конкретного вигляду моделі, при цьому наведені формули слід застосовувати саме до лінійної форми відповідної нелінійної моделі. Для основних типів нелінійних економетричних моделей , розглянутих вище, формули для визначення цих показників на основі вибіркової моделі, подано у таблиці 1.
У таблиці 1 : - середнє значення залежної змінної, обчислене для масиву розрахункових значень залежної змінної, - середнє значення пояснюючої змінної, - параметри вибіркової функції регресії.
Основні показники для нелінійних економетричних моделей
Таблиця 1
Тип моделі
Загальний вигляд вибіркової лінійної форми
М
Е

log - linear




log – lin




Зворотна




Квадратична





ВИСНОВКИ
Багато економічних залежностей, як свідчить економічна теорія, не є лінійними по суті, і тому їх моделювання лінійними залежностями, безумовно, не дає позитивний результат. Тому у практиці економетричного аналізу поряд з лінійними широкого розповсюдження набули нелінійні економетричні моделі.
За своєю математичною природою нелінійні економетричні моделі представляють собою нелінійну регресію між економічними показниками.
За методами оцінювання параметрів усі нелінійні економетричні моделі поділяються на два типи:
1) нелінійні за факторами, але лінійні за параметрами, які мають назву квазілінійних;
2) нелінійні за факторами і за параметрами.
Квазілінійні моделі є більш простим і привабливим варіантом нелінійних моделей, оскільки оцінки параметрів таких моделей після нескладних перетворень можна отримати методами лінійного регресійного аналізу.
Нелінійні за факторами і за параметрами економетричні моделі є більш складними і оцінювання їх параметрів, як правило, виконується методами нелінійного регресійного аналізу.
У сучасній практиці економетричного моделювання широко застосовується лінеаризація нелінійних моделей – тобто зведення їх до лінійних шляхом відповідних математичних перетворень .
До найбільш розповсюджених нелінійних моделей, які піддаються лінеаризації належать степенева, показникові(експоненційна), зворотна та квадратичні моделі.
Прогнозування на основі нелінійних економетричних моделей має свої особливості , які пов’язані з необхідністю перетворення даних в процесі побудови прогнозів.
Для побудови точкового прогнозу на основі нелінійних економетричних моделей можна використовувати як нелінійну так і лінійну форму цієї моделі.
Для побудови інтервальних прогнозів на основі нелінійних економетричних моделей завжди потрібно використовувати тільки лінійну форму цієї моделі.