РОЗДІЛ 4.
МЕХАНІКА РІДИН
Рівняння нерозривності струмини:
,
де і – площі поперечного перерізу трубки течії; і  – швидкості течії рідини у відповідній площині поперечного перерізу.
Рівняння Бернуллі для ідеальної нестискувальної рідини:
,
де  – статичний тиск рідини;  – динамічний тиск рідини;  –  гідростатичний тиск.
Швидкість витікання рідини з невеликого отвору у широкій посудині, що міститься на глибині h від верхнього рівня рідини у цій посудині (формула Торрічеллі:
.
Витрати рідини у трубці течії:
а) об’ємна витрата – ;
б) витрата маси рідини – .
Приклади розв’язування задач
Задача 1. У бак рівномірною струминою за одиницю часу поступає об’єм води  = 2 дм3/с. У дні баку є отвір площею 2 см2. На якому рівні h буде втримуватись вода у баку?
Дано:
= 2 дм3/с
2 см2



h = ?

Розв’язування
Вода в баку буде утримуватись на одному рівні, якщо кількість води, що поступає за одиницю часу, дорівнює кількості води, що витікає з баку за одиницю часу
, (1)
де – швидкість витікання води.
Згідно з рівнянням Бернуллі
(2)
З рівняння (2) знаходимо швидкість витікання:
(3)
Підставивши вираз (3) у рівняння (1), отримаємо формулу для обчислення висоти рівня води у баку:
м.

Задача 2. Вода подається у фонтан із великого циліндричного баку (рис. 4.1) і б’є із отвору ІІ зі швидкістю = 12 м/с. Діаметр баку  = 2 м, діаметр перетину ІІ  2 см. Визначити: 1) тиск під яким вода подається у фонтан; 2) швидкість зниження води у баку.
Дано:
= 12 м/с
 = 2 м
 2 см



=?
 = ?

Розв’язування
1. Тиск , під яким вода подається у фонтан, знайдемо із рівняння Бернуллі. У випадку горизонтальної трубки воно має вигляд:
(1)

Рис. 4.1
З цього рівняння отримаємо
(2)
Оскільки , то з рівняння (2) випливає
 кПа.
2. Проведемо перетин І у баку на рівні перетину ІІ фонтану. Оскільки площа S1 перетину І набагато більша за площу S2 перетину ІІ, то висоту h рівня води у баку можна вважати для малого проміжку часу постійною, а потік - усталеним. Для усталеного потоку справедливе рівняння нерозривності струменя , звідки випливає, що
, або . (3)
Підставивши в (3) значення заданих величин, отримаємо:
м/с.
Задача 3. Зігнуту трубку опустили у потік води, так як це показано на рис. 4.2 Швидкість потоку відносно трубки  = 2,5 м/с. У верхньому кінці трубки зроблений невеличкий отвір, що знаходиться на висоті h0 = 12 см. На яку висоту h буде підійматися струмина води, що витікає з отвору?
Розв’язування
Дано:
 = 2,5 м/с
h0 = 12 см



h =? 

Залежність висоти h підйому води від швидкості можна отримати з рівняння Бернуллі:

Рис. 4.2
.
З цього рівняння отримаємо:
.
Задача 4. Широка посудина з невеликим отвором у дні наповнена водою і гасом. Нехтуючи в’язкістю, визначити швидкість витікання води, якщо висота шару води  = 30 см, а шару гасу = 20 см. Густина води = 1000 кг/м3, густина гасу  = 800 кг/м3 .
Розв’язування
Дано:
= 30 см
= 20 см
= 1000 кг/м3
 = 800 кг/м3



= ?

Швидкість витікання води визначимо з рівняння Бернуллі:
.
Звідки:

 м/с.
Задача 5. Дві манометричні трубки встановлені на горизонтальній трубі змінного перерізу у місцях, де перерізи у трубці відповідно дорівнюють = 4 см2, = 20 см2. По трубці тече вода. Знайти об’єм води, що протікає за одиницю часу через переріз труби, якщо різниця рівнів води у манометричних трубках дорівнює h = 40 см.
Розв’язування
Дано:
= 4 см2
= 20 см2
h = 40 см



 = ?

Для усталеного потоку рідини, що протікає через трубу з різним поперечним перерізом, справедливе рівняння нерозривності струменя:
. (1)
Тиск рідини у різних частинах труби можна визначити за рівнянням Бернуллі:
. (2)
За висотою рівня рідини у манометричних трубках визначаємо тиски:
, . (3)
Підставивши (3) в (2) і розв’язавши систему з рівнянь (1) і (2), отримаємо кінцевий вираз:
м3/с.
4.1. У дні циліндричної посудини є круглий отвір діаметром . Діаметр посудини . Знайти залежність швидкості зниження рівня води у посудині від висоти h цього рівня. Знайти числове значення цієї швидкості для висоти .
4.2. Циліндричний бак висотою заповнений до країв водою. За який час вода повністю виллється через отвір, розташований біля дна баку ? Площа поперечного перерізу отвору у 400 разів менша за площу поперечного перерізу баку.
4.3. У посудину наливається вода, причому за наливається води. Яким повинен бути діаметр d отвору у дні посудини, щоб вода у ньому затримувалась на постійному рівні ?
4.4. Який тиск створює компресор у фарбувальному пульті, якщо струмина рідкої фарби витікає зі нього з швидкістю  ? Густина фарби дорівнює .
4.5. У дні цистерни, заповненої двома різними рідинами, висота яких дорівнює (нижня рідина) і (верхня рідина) є невеликий отвір. Густини цих рідин відповідно дорівнюють і . Визначити початкову швидкість витікання рідини з отвору, вважаючи обидві рідини ідеальними і нестискувальними.
4.6. Газ виштовхується поршнем з вузького отвору, площею , який зроблений у горизонтальній циліндричній посудині з перерізом . Хід поршня становить . Знайти тиск на поршень, якщо газ витікає з посудини протягом . Газ початково перебував під атмосферним тиском, а його густина становить .
4.7. У посудині на глибині над її дном є невеликий отвір. Яка швидкість витікання води у момент, коли висота її рівня відносно дна дорівнює ?
4.8. Визначити швидкість течії по трубі вуглекислого газу, якщо відомо, що за 30 хвилин через поперечний переріз труби протікає газу. Густина газу , діаметр труби .
4.9. На столі стоїть посудина з водою, у бічній поверхні якої є малий отвір, розташований на відстані від дна посудини і на відстані від рівня води. Рівень води у посудині підтримується постійним. На якій відстані від отвору по горизонталі струмина падає на стіл ?
4.10. По горизонтальній трубі (рис. 4.3) протікає рідина. Різниця рівнів цієї рідини у трубках А і В дорівнює . Діаметри трубок однакові. Знайти швидкість течії рідини у трубі.

Рис. 4.3
4.11. Рівень рідини у відкритій циліндричній посудині знаходиться на відстані від її дна. Використовуючи рівняння Бернуллі, визначити швидкість витікання нев’язкої і нестискувальної рідини з малого отвору, що знаходиться на висоті від дна посудини (рис. 4.4). Прискорення вільного падіння вважати рівним .

Рис. 4.4
4.12. Циліндр діаметром заповнений водою і розташований горизонтально (рис. 4.5). З якою швидкістю переміщається поршень, якщо на нього діє сила , а з отвору витікає струмина діаметром ? Тертям знехтувати.

4.13. З труби перерізом б’є вертикально вгору струмина води. Визначити переріз струмини на висоті над отвором труби. Витрата води з труби дорівнює .
4.14. Площа поршня шприца , а площа отвору на виході . Хід поршня дорівнює . На поршень діє сила . Визначити швидкість і час витікання води із шприца, якщо він розташований горизонтально, а швидкість поршня постійна .
4.15. Швидкість витікання рідини з отвору у стінці посудини . Визначити висоту h рівня рідини над отвором.
4.16. Вода протікає у горизонтально розміщеній трубі змінного перетину. Швидкість води у широкій частині труби дорівнює 20 см/с. Визначити швидкість у вузькій частині труби, діаметр якої у 1,5 разів менший за діаметр широкої частини.
4.17. У широкій частині горизонтально розміщеної труби нафта тече зі швидкістю 2 м/с. Визначити швидкість нафти у вузькій частині труби, якщо різниця тисків у її широкій і вузькій частинах 6,65 кПа. Густина нафти – кг/м3 .
4.18. У горизонтально розміщеній трубі з площею поперечного перетину 20 см2 тече рідина. В одному місці труба має звуження, в якому площа перетину 12 см2. Різниця рівнів у двох манометричних трубках, встановлених у широкій і вузькій частинах труби 8 см. Визначити об’ємну втрату рідини.
4.19. Горизонтальний циліндр помпи має діаметр 20 см. У ньому рухається зі швидкістю 1 м/с поршень, виштовхуючи воду через отвір з діаметром 2 см. З якою швидкістю буде витікати вода з отвору? Яким буде надлишковий тиск води у циліндрі?
4.20. Тиск вітру на стіну дорівнює 200 Па. Визначити швидкість вітру, якщо він дме перпендикулярно до стінки. Зіткнення молекул повітря зі стіною є абсолютно пружними. Густина повітря 1,29 кг/м3 .
4.21. Струмина води діаметром 2 см рухається зі швидкістю 10 м/с і вдаряється у нерухому плоску поверхню, встановлену перпендикулярно до струмини. Визначити силу тиску струмини на поверхню, вважаючи, що після зіткнення з поверхнею швидкість води дорівнює нулю.
4.22. Бак висотою 1,5 м наповнений до краю водою. На відстані 1 м від верхнього краю бака утворився отвір невеликого діаметру. На якій відстані від баку по горизонталі падає на підлогу струмина, що витікає з отвору?
4.23. Струмина води з площею поперечного перетину 4 см2, витікає в горизонтальному напрямі із брандспойта, розміщеному на висоті 2 м над поверхнею Землі, і падає на цю поверхню на відстані 8 м. Нехтуючи опором повітря рухові води, визначити надлишковий тиск у рукаві, до якого під’єднаний брандспойт. Площа поперечного перерізу рукава брандспойта 50 см2.
4.24. Бак висотою 2 м до країв заповнений водою. На якій висоті необхідно зробити отвір у стінці баку, щоб місце падіння струмини, що витікає з отвору було на максимальній відстані від баку?
4.25. Циліндрична посудина висотою 0,5 м і радіусом 10 см повністю заповнена водою. У дні посудини відкривається отвір радіусом 1 мм. Нехтуючи в’язкістю води, визначити час, за який вся вода витече з посудини.
4.26. З містка, перекинутого через канал, по якому тече вода, опустили вузьку зігнуту трубку, повернуту відкритим кінцем на зустріч течії. Вода у трубці піднімається на висоту 150 мм над рівнем води в каналі. Визначити швидкість течії води.
4.27. Підводний човен знаходиться на глибині 100 м. З якою швидкістю через отвір у корпусі човна вриватиметься в човен струмина води? Яка маса води проникне за 1 год, якщо діаметр отвору 1 см? Тиск повітря у воді дорівнює атмосферному.
4.28. Біля основи будинку тиск води у водопроводі становить 5105  Н/м2. Під яким тиском витікає вода з крана на четвертому поверсі будинку на висоті 15 м від його основи? З якою силою тисне вода в отворі крана площею 0,5 см2?
4.29. У стінці посудини з водою просвердлено один над одним два отвори з площею 0,2 см2 кожний. Відстань між отворами 50 см. У посудину щосекунди вливається 140 см3 води. Визначити на якій відстані від посудини по горизонталі струмини перетнуться.
4.30. З якою швидкістю понижується рівень води у баку з площею поперечного перетину 1 м2, якщо швидкість витікання води через отвір з діаметром 2 см, просвердлений у баку, дорівнює 2 м/с ?
4.31. Із брандспойта б’є струмина води під кутом 30º до горизонтальної площини і падає на неї на відстані 5 м. Скільки води подає брандспойт за 10 с, якщо площа його отвору дорівнює 2 см2? Опором повітря знехтувати.
4.32. Визначити силу, що діє на лопать нижньобійного водяного колеса (рис. 4.6), вважаючи, що струмина після зіткнення з лопать продовжує рух зі швидкістю лопаті. Висота напору води дорівнює 4 м, радіус колеса 0,8 м, кутова швидкість обертання колеса 3,2 рад/с, площа поперечного перетину струмини 0,2 м2 . Результат виразити у кілоньютонах і округлити до цілого.

Рис. 4.6
4.33. Яку роботу необхідно виконати, щоб, діючи з постійною силою на поршень (рис. 4.7), витиснути із горизонтально розміщеного циліндра всю воду за час 4 с? Об’єм води у циліндрі дорівнює 200 см3, площа поперечного перерізу отвору дорівнює 5 мм2 і набагато менша від площі поршня. Тертям і в’язкістю води знехтувати. Густина води 1000 кг/м3.

Рис. 4.7
4.34. Циліндрична посудина висотою 2 м з площею основи 0,5 м2 наповнена водою. У дні посудини відкрили отвір з площею 1 см2. Вважати площу основи набагато більшою за площу отвору. Нехтуючи в’язкістю води, визначити, через скільки часу уся вода витече з посудини?
4.35. З протилежних сторін широкої вертикальної посудини, наповненої водою, відкрили два однакових отвори, кожен площею 0,5 см2. відстань між ними по висоті 51 см. Визначити результуючу силу реакції води, що витікає.