Цифрова обробка сигналів 2013
Лабораторна робота № 2
ДИСКРЕТИЗАЦІЯ І КВАНТУВАННЯ СИГНАЛІВ.
МЕТА РОБОТИ. Дослідити процес дискретизації і квантування сигналів, оцінити похибку оцифровування.
ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ:
Аналоговим сигналом будемо називати функцію деякого аргументу, яка описує певний фізичний процес, або явище.

.
- час, швидкість, напруга, віддаль, тощо.
Дискретний – сигнал, що описується функцією , визначеною тільки в конкретні значення аргументу.
Цифровий сигнал –це дискретизований сигнал, який набуває значень зі скінченої кількості рівнів квантування.
Теорема Котельникова.
Якщо сигнал обмежений смугою , то він може бути відтворений з як завгодно великою точністю за відліками, що взяті з частотою дискретизації .:
(1)
де : - гранична частота.
Вибір надто малого приводить для надлишковості обчислень, вибір надто великого приводить до втрати точності, через явище підміни частот. Отже, треба обирати обдумано і обгрунтовано.
При застосуванні складних методів обробки, частоту дискретизації збільшують принаймні в 4-8 разів. Тобто:
,
де: – ціле число. Переважно, при цифровій обробці, він обирається як степінь числа два.
Крок і рівні квантування знаходяться, виходячи з заданої амплітуди сигналу. Для цього використовується наступна формула:
(2)
де : і - максимальне і мінімальне значення амплітуди, відповідно;
- кількість рівнів квантування, яка, як правило, пов’язана з розрядністю обчислювального пристрою.
Оцінка похибки квантування може здійснюватися за наступними критеріями:
Абсолютна похибка : , (3)
де: - значення цифрового сигналу в точці ;
- значення дискретного сигналу в точці ;
- кількість відліків;
Середня похибка:
(4)
Дисперсія: (5)
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
Дайте визначення сигналу.
Для чого виконується дискретизація і квантування сигналу ?
Про що говорить теорема Котельникова?
Пояснити виникнення похибки при перетворенні сигналу в цифрову форму.
Які критерії оцінки похибки ви знаєте?
ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ
Знайти в аналітичному виді крок дискретизації заданого варіантом сигналу за формулою (1) та період цього сигналу.
За допомогою системи SCILAB задати вхідний сигнал, утворивши дискретну послідовність та вивести його графік на одному періоді. При цьому частоту дискретизації збільшити в 2 рази, тобто koef =21 .
Проквантувати отриману дискретну послідовність, для 16 рівнів квантування (тобто М=24), попередньо знайшовши максимальну амплітуду сигналу. Вивести графік оцифрованого сигналу та самі рівні квантування (на одному рисунку).
Змінюючи коефіцієнт дискретизації та кількість рівнів квантування, дослідити похибку оцифровування за формулами (3), (4), (5).
Зробити висновок про крок дискретизації та кількість рівнів квантування, які доцільно застосовувати для заданого варіантом сигналу.
ЗМІСТ ЗВІТУ
1. Завдання (аналітичний запис сигналу) згідно варіанту.
2. Аналітичний розрахунок кроку дискретизації та періоду сигналу.
3. Текст програми на SCILAB.
4. Значення похибок при різних коефіцієнтах збільшення частоти дискретизації та різних кількостях рівнів квантування (у табличному вигляді).
5. Графіки дискретного та квантованого сигналу для вибраних параметрів оцифровування (рисунок).
6. Висновок.
ЗАВДАННЯ
Форма сигналу:

Варіант
№
Параметри сигналу


А1
А2
А3
А4









1
-24
-19
22
0,32
8
2
1/5
12

0



2
25
18
0,73
-7
4
12
2
1/3


0


3
16
0,45
-5
18
14
9
1/8
10



0

4
0,48
23
-5
-17
13
1/7
15
5


0


5
19
-0,27
1
21
1/6
14
15
15

0



6
30
-29
0,20
-2
7
1/5
7
2
0




7
13
-26
26
0,36
12
6
1/4
2

0



8
22
-13
-0,62
8
4
15
11
1/3


0


9
-22
0,68
15
-4
1/2
11
14
6



0

10
0,81
23
-27
-22
7
1/9
12
10


0


11
2
0,76
-30
-8
4
10
1/8
13

0



12
30
-26
0,81
27
4
1
8
1/7
0




13
-24
-27
-2
0,88
1/6
5
11
11

0



14
-3
6
15
-0,12
6
1/5
3
8


0


15
15
14
0,23
26
10
13
1/3
7



0

16
-7
0,01
13
17
14
7
11
1/2


0


17
0,59
-2
-12
-11
1/9
3
9
1

0



18
29
1
20
0,89
3
1/8
2
12
0




19
0,13
27
-2
19
1
2
1/7
9

0



20
-29
-0,91
-12
-17
8
7
11
1/6


0


21
-9
1
0,72
27
3
5
1/5
13



0

22
29
2
-19
0,76
12
1/4
6
8


0


23
-9
18
6
0,28
1/3
10
12
14

0



24
11
-22
-0,93
-26
4
1/2
14
5
0




25
-12
0,38
-2
2
4
9
1/8
15

0



26
0,51
-12
-18
3
12
7
14
1/7


0


27
0,83
-6
-20
-11
14
2
11
1/6



0

28
-30
0,71
17
15
13
6
1/5
2


0


29
17
21
-0,46
-17
1
1/4
1
10

0



30
28
-18
13
0,51
1
6
10
1/3
0





Література
1. Шрюфер Е. Обробка сигналів. Цифрова обробка дискретних сигналів. - К.:Либідь, 1992.-296с.
3. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи. Учебное пособие для вузов/Под ред.И.С.Гоноровского.-М.:Радио и связь,1989.-248 с.
4. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов.-М.:Мир, 1978.-848с.
Приклад виконання
1. Завдання.

при чому, згідно варіанту:
№
А1
А2
А3
А4









31
1
1
1
1
1
4
1/3
13


0
0


Тобто, аналітичний запис сигналу такий:
.
2.Аналітичний розрахунок кроку дискретизації та періоду сигналу.
Згідно теореми Котельникова: , де : - гранична частота. Оскільки, заданий сигнал містить різні частоти, то граничною буде найбільша з них: . Отже: .
Підставивши отримане значення у теорему Котельникова, маємо крок дискретизації:

Для знаходження періоду заданого сигналу слід знайти найменше спільне кратне між періодами всіх окремих складових сигналу. Таких частин є чотири (чотири доданки присутні в аналітичному представленні сигналу):
; ;
;
Як відомо, амплітуда та фаза не впливають на період сигналу, тому до уваги слід брати лише частоту. Отже, складові заданого сигналу мають такі періоди: ; ; ; . Очевидно, що найменше спільне кратне становить (воно ділиться без остачі на решту періодів). Таким чином період заданого складеного сигналу становить:

3. Текст програми.
clear all
//очистка пам’яті

clc
//закриття всіх графічних вікон

close()
//очистка екрану

A1=1; A2=1; A3=1; A4=1;
//амплітуда

w1=1; w2=4; w3=1/3; w4=13;
//частота

phi1=2*%pi; phi2=%pi/2; phi3=0; phi4=0;
//фаза

M=2^5;
//кількість рівнів квантування

koef=2^0;
//коефіцієнт кількості відліків

w_gr=max([w1,w2,w4,w3]);
//гранична кругова частота

f_gr=w_gr/(2*%pi);
//гранична лінійна частота

dt=1/(2*f_gr*koef);
//дискрет часу за теоремою //Котельникова

T=6*%/pi;
//період з аналітичних розрахунків

t=0:dt:T-dt;
//вектор часу для одного періоду

x=A1*cos(w1*t+phi1)-A2*sin(w2*t+phi2)+A3*sin(w3*t+phi3)-A4*cos(w4*t+phi4);
//вектор дискретного сигналу

maxA=max(abs(x))
//максимальне значення амплітуди

minA=-maxA
//мінімальне значення амплітуди

N=length(x);
//довжина вектору сигналу

k=(maxA-minA)/(M-1);
//квант амплітуди

K=minA:k:maxA;
//вектор рівнів квантування

y=floor(x/k)*k;
if modulo(M,2)==0
y=y+k/2;
end;
//округлення дискретного значення //сигналу до найближчого рівня //квантування, а отже, отримання //квантованого, тобто цифрового //сигналу

plot2d(t,x,3)
//графік дискретного сигналу

plot2d2(t,y,5)
//графік квантованого сигналу

xgrid
//відображення сітки на графіку

a=max(abs(y-x))
disp(a,"a=")
//абсолютна похибка

b=(1/N)*(sum(y)-sum(x))
disp(b,"b=")
//середня похибка

d=(1/N)*sum((y-x).^2)
disp(d,"d=")
//дисперсія





4. Оцінка похибки оцифровування.
Koef
M
A
B
D

1
8
2.8810
0.1483
3.2191


32
0.6482
0.0335
0.1537


256
0.0789
-0.0020
0.0020

2
8
2.8810
-0.0371
2.8944


32
0.6482
0.0084
0.1545


256
0.0791
0.0010
0.0021

4
8
2.8810
-0.1298
2.7520


32
0.6516
10-15
0.1491


256
0.0791
0.0015
0.0020

8
8
2.8810
-0.1112
2.7459


32
0.6529
-0.0021
0.1445


256
0.0792
10-4
0.0021

5. Графіки дискретного та квантованого сигналу для таких параметрів :
М=32; koef=4.

6. Висновок.
В даній лабораторній роботі проведено оцифровування сигналу, заданого аналітичним виразом : . Для цього визначено крок дискретизації та період досліджуваного сигналу. Вони становлять, відповідно : ;
Здійснено оцінку точності оцифровування за критеріями абсолютної, середньої похибки та дисперсії, в залежності від частоти дискретизації та кількості рівнів квантування. З отриманих результатів видно, що перший параметр практично не впливає на точність оцифровування, тоді як зі збільшенням другого, точність оцифровування збільшується.
Отже, для коректного представлення сигналу слід забезпечити частоту дискретизації не менше ніж , тобто 5 відліків в одиницю часу та максимально можливу кількість рівнів квантування.