1.2. Рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини В різних точках живого перерізу потоку частинки рідини характеризуються різною питомою енергією. Для визначення сумарної енергії потоку рідини у будь-якому живому перерізі треба просумувати енергію всіх елементарних струминок у даному поперечному перерізі. Для цього запишемо рівняння нерозривності струминки dQм = (dQ=(ud(, де dQм , dQ – відповідно елементарна масова і об’ємна витрата. Тоді добуток повної питомої енергії потоку на величину масової витрати
визначає енергію струминки, що проходить через даний переріз за одиницю часу (тобто потужність елементарної струминки). Повна потужність потоку
(14)
або , (15)
де Еn , Ек - відповідно повна потенціальна і повна кінетична енергія потоку рідини, що протікає крізь вибраний живий переріз за одиницю часу. Якщо рух рідини є паралельноструминним або кут розходження між сусідніми струминками невеликий і кривизна струминки незначна (так званий плавнозмінний рух), то у цьому перерізі має місце гідростатичний розподіл тисків, тобто для всіх точок живого перерізу потоку можна прийняти: . (16)
Оскільки об’ємна витрата потоку , а Qм=?Q,то . (17)
Для визначення кінетичної енергії Ек треба знати закон розподілу швидкостей у живому перерізі потоку, який у загальному випадку невідомий. Представимо другий вираз у формулі (15) у вигляді . (18)
Урахувавши, що середня швидкість , помножимо і поділимо його на добуток V3(, де V – середня швидкість руху рідини. Отримаємо . (19)
Позначивши далі , (20)
замість (17) одержимо . (21)
Отже, повна потужність потоку , (22)
а питома енергія потоку, віднесена до одиниці маси: . (23)
Коефіцієнт ( враховує нерівномірність розподілу швидкостей у живому перерізі потоку і називається коефіцієнтом кінетичної енергії або коефіцієнтом Коріоліса. Чисельно ( дорівнює відношенню фактичної кінетичної енергії потоку рідини до кінетичної енергії, визначеної за середньою швидкістю. Для основних випадків руху рідини в трубах (тобто при турбулентному режимі) ( = 1,01...1,10 і більше в залежності від ступеня турбулентності (в інженерних розрахунках часто приймають (= 1). При ламінарному режимі руху в круглоциліндричних трубах ( = 2. Таким чином, рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини (так зване узагальнене рівняння Бернуллі) записується у вигляді:
(24)
або
(25)
де hw,1-2 – втрати питомої енергії (повного напору) для потоку рідини між вибраними перерізами. При певних умовах енергія рідини може переходити з одного стану в інший. Наприклад, при звуженні потоку частина потенціальної енергії тиску переходить у кінетичну енергію, а при розширенні потоку – навпаки. Це чітко підтверджується при проведенні даної лабораторної роботи. Рівнянню Бернуллі, записаному у вигляді (25), можна надати геометричну інтерпретацію. За початок відліку приймають довільно вибрану горизонтальну площину порівняння 0–0 (рис. 2). Від неї відкладають по вертикалі спочатку значення висоти положення z, потім послідовно п’єзометричну висоту та висоту швидкісного напору , і одержують повний напір у даному перерізі . З’єднавши кінці відрізків, що зображають відповідні напори, одержимо три лінії: лінію геометричного напору або висоти положення (вісь трубопроводу); лінію п’єзометричну (при цьому п’єзометрична висота визначається відрізком, обмеженим знизу лінією геометричного напору, а зверху – п’єзометричною лінією); лінію повного напору (при цьому швидкісний напір визначається відрізком між лінією повного і п’єзометричного напорів). Оскільки повна питома енергія вздовж напрямку руху зменшується, то і лінія повного напору буде завжди знижуватись у напрямку руху рідини. Зменшення питомої енергії потоку не означає обов’язкове зменшення потенціальної енергії, тому п’єзометрична лінія, яка на прямолінійних ділянках трубопроводу та в місцях звуження спадає, у місцях розширення потоку може підніматися вверх за рахунок переходу питомої кінетичної енергії в питому потенціальну енергію тиску. Різниця між значеннями повного напору у двох перерізах дорівнює сумарним втратам напору hw,1-2 між вибраними перерізами. 2. Опис лабораторної установки Лабораторна установка складається з послідовно з’єднаних труб різних діаметрів, що складають 7 розрахункових ділянок (рис. 2). На початку і в кінці кожної ділянки за допомогою штуцерів та імпульсних трубок приєднано п’єзометри для вимірювання п’єзометричної висоти (на першій ділянці п’єзометр приєднано тільки в кінці ділянки). Для зручності проведення вимірів всі п’єзометри виведені на п’єзометричний стенд. Вода у дослідний трубопровід надходить з напірного резервуару. Витрата води регулюється вентилями, встановленими на вході та на виході з установки. Для визначення об’єму рідини використовується мірний бак. 3. Послідовність виконання роботи 1. За допомогою вентиля на вході установки задають певний гідравлічний режим руху води в трубопроводі. Через деякий проміжок часу, необхідний для створення стаціонарного руху, знімають покази п’єзометрів і записують їх у журнал спостережень. 2. Для визначення середніх швидкостей і швидкісних напорів знаходять об’ємну витрату потоку Q за формулою: , (26) де W – об’єм рідини в см3, що витікає з трубопроводу в мірний бак за час t. 3. З рівняння витрати Q=V( визначають середню швидкість руху рідини в характерних живих перерізах: , (27) де і – площа живого перерізу потоку, см2, яку знаходимо за формулою . 4. Обчислюють значення швидкісного напору для кожної ділянки трубопроводу. Коефіцієнт кінетичної енергії приймають ? = 1,05. Після проведених вимірів та розрахунків, результати яких записують у журнал спостережень, будують графік, що характеризуватиме співвідношення напорів в тому чи іншому перерізі потоку. Значення z для кожного перерізу, а також діаметри і довжини ділянок наводяться на схемі лабораторної установки (рис. 2). Графік викреслють на міліметровому папері в масштабі: горизонтальний Мг=1:40, вертикальний – Мв=1:20. Для більшої наочності лінії повного та п’єзометричного напорів зображують у різних кольорах. 4. Порядок побудови графіка 1. Вибирають площину порівняння 0–0 (в даній роботі - це площина підлоги лабораторії, рис. 2). 2. Від площини порівняння відкладають значення z1 (для перерізів 1-8) і z2 (для перерізів 9-13) і викреслюють вісь трубопроводу, яка є одночасно лінією геометричного напору. 3. Діаметри трубопроводів на ділянках зображують у масштабі відповідно до їх реальних значень. 4. Від осі трубопроводу в кожному з перерізів відкладають значення і, з’єднавши точки, одержують лінію п’єзометричного напору. 5. Відклавши для кожного з перерізів уверх від п’єзометричної лінії значення і з’єднавши між собою точки, отримують лінію повного напору як суму трьох величин .
Журнал лабораторної роботи Ділянки VII П’єзометри 13 2,5
45
Витрата Q =
12
VI
11 2,0
10
V
9 3,2
8
25
IV
7 2,0
6
ІІІ
5 4,0
4
ІІ
3 2,5
2
І
1 5,0
Роз-мір- ність см см2 см/с см см см см Об’єм W = _________ cм3 Час витікання t = ____ c
Величина Діаметр перерізу d Площа живого перерізу ( Середня швидкість V= Q/( Геометричний напір z П’єзометричний напір р/( Швидкісний напір ?V2/(2g) Повний напір Н=z+(р/()+(V2/(2g)
5. Контрольні запитання Що таке ідеальна рідина? Дайте визначення лінії течії, елементарної струминки. Що називається живим перерізом струминки та потоку рідини? Як записується рівняння Бернуллі для елементарної струминки ідеальної рідини? Як записується рівняння Бернуллі для елементарної струминки і для потоку реальної рідини? Дайте фізичне тлумачення кожного члена, що входить в рівняння Бернуллі. Геометрична інтерпретація рівняння Бернуллі. Що означає термін "повна питома енергія рідини"? Якою величиною позначається різниця повної питомої енергії між двома перерізами потоку рідини? Що таке п’єзометрична лінія? Чи на ділянці трубопроводу однакового діаметру лінія повного напору буде паралельною до п’єзометричної лінії? Чому? Що таке п’єзометричний похил? Що характеризує гідравлічний похил? Чим зумовлені втрати енергії в потоці реальної рідини? Запишіть рівняння нерозривності для елементарної струминки та для потоку рідини. Вкажіть формулу для визначення витрати та середньої швидкості руху потоку рідини. Умови застосування та практичного використання рівняння Бернуллі.
