Прогнозування розвитку міжгалузевих виробничих зв’язків в економіці
3.1. Лінійна статистична міжгалузева модель
Сучасний стан виробничих сил розвинених країн характеризується складною та динамічною галузевою структурою. За цих умов дедалі більшого значення набуває ретельний розрахунок структури міжгалузевих зв’язків. Для цього розроблено спеціальний метод міжгалузевого аналізу, а моделі, побудовані на його підставі, дістали назву «витрати-випуск», або між-галузеві моделі.
Предметом міжгалузевого аналізу є визначення параметрів, що зумовлюють взаємопов’язаний розвиток окремих галузей. Міжгалузевий аналіз як метод економічної роботи полягає у визначенні й кількісному вимірюванні показників, що характеризують міжгалузеві зв’язки, залежність цих зв’язків від кількості ресурсів (праця і капітал), які використовуються кожною галуззю. В цьому плані можна вирізнити два аспекти міжгалузевого аналізу — статистичне вимірювання наявних у народному господарстві зв’язків і прогнозування цих зв’язків.
Міжгалузевий баланс (МГБ) є найвідомішим серед між-галузевих моделей, головна позитивна якість котрих як інструмента прогнозових розрахунків полягає в тому, що вони ґрунтуються на попередньому визначенні суспільних потреб.
Якщо описувати економічну систему загалом, то під балансовою моделлю мають на увазі систему рівнянь, кожне з яких виражає балансові співвідношення між виробництвом окремими економічними об’єктами обсягів продукції й сукупною потребою в цій продукції. За такого підходу досліджувана економічна система складається з об’єктів, кожен із яких випускає певний продукт, частина якого споживається ним самим та іншими об’єктами системи, а решта виводиться за межі системи як її кінцева продукція. Можна також розглядати приклади балансової відповідності, тобто: відповідність наявної робочої сили й кількості робочих місць, платоспроможного попиту населення та продукції (товарів і послуг) тощо.
Балансові моделі на підставі звітних балансів характеризують наявні пропорції, де ресурсна частина завжди дорівнює витратній. Для виявлення диспропорцій використовують балансові моделі, в яких фактичні ресурси мають узгоджуватися не лише з їхнім фактичним споживанням, а й із потребою в них. Зазначимо, що балансові моделі не містять конкретного механізму порівняння окремих варіантів економічних рішень і не передбачають взаємозаміни різних видів ресурсів, що внеможливлює вибір оптимального варіанта розвитку економічної системи. Власне, це й зумовлює певну обмеженість балансових моделей і балансового методу загалом.
Підґрунтям інформаційного забезпечення балансових моделей в економіці є матриця коефіцієнтів витрат ресурсів за конкретними напрямами їх використання. Наприклад, у моделі міжгалузевого балансу таку роль відіграє так звана технологічна матриця — таблиця міжгалузевого балансу, що складається з коефіцієнтів (нормативів) прямих витрат на виробництво одиниці продукції. Із багатьох причин вхідні дані реальних об’єктів господарювання не можуть бути використані в балансових моделях безпосередньо, тому підготовка інформації для розрахунків за моделлю є доволі складною проблемою.
Балансові моделі будуються як числові матриці — прямокутні таблиці чисел. У зв’язку з цим балансові моделі належать до типу матричних економіко-математичних моделей. У матричних моделях балансовий метод дістає чітке математичне вираження. Попри специфіку цих моделей їх об’єднує не лише спільний формальний (математичний) апарат побудови та єдиний алгоритм обчислень, а й аналогічність низки економічних характеристик. Це дає змогу розглядати структуру, зміст і основні залежності матричних моделей на прикладі міжгалузевого балансу та розподілу продукції в народному господарстві. Цей баланс відображає виробництво та розподіл суспільного продукту в галузевому розрізі, міжгалузевих виробничих зв’язків, використання матеріальних і трудових ресурсів, створення й розподіл валового внутрішнього продукту.
Принципову схему моделі МГБ зображено на рис. 3.1.1. У підґрунтя цієї схеми покладено розподіл сукупного продукту на дві частини: проміжний і кінцевий продукт; усе народне господарство подано тут як сукупність галузей (чисті галузі). Кожна з цих галузей фігурує в балансі як виробник і як споживач.
Розглянемо схему моделі в розрізі її блоків, що мають різний економічний зміст. Їх зазвичай називають квадрантами (на схемі квадранти позначено римськими цифрами).
Перший квадрант МГБ — це таблиця міжгалузевих потоків. Показники, що містяться на перетині рядків і стовпчиків, є обсягами міжгалузевих потоків продукції , і та j — відповідно номери галузей споживання. Перший квадрант за формою є квадратною матрицею n-го порядку, сума всіх елементів якої дорівнює річному фонду споживання засобів виробництва в матеріальній сфері.
У другому квадранті подано валову внутрішню продукцію кінцевого використання (витрати на кінцеве споживання, валове нагромадження та чистий експорт) всіх галузей матеріального виробництва. На схемі цей розподіл подано в узагальненому вигляді як один стовпчик величин .
Третій квадрант також характеризує ВВП за категоріями доходу — відображає процеси розподілу валової доданої вартості й утворення чинникових доходів учасників суспільного виробництва. В цьому розділі прогнозуються такі показники, як заробітна плата найманих працівників, податки на виробництво та імпорт, субсидії на виробництво та імпорт, валовий прибуток.
Четвертий квадрант відбиває розподіл і використання національного доходу. Внаслідок перерозподілу створеного національного доходу утворюються кінцеві доходи населення, підприємств, держави. Дані четвертого квадранта важливі для відображення в міжгалузевій моделі балансу доходів і витрат населення, джерел фінансування капіталовкладень, поточних витрат невиробничої сфери, для аналізу загальної структури доходів за групами споживачів.
Проміжне споживання (CI)
ВВП за категоріями використання GDP(V)
Усього використано


1
2
3
...
п



1
I

Y1(V)
X1

2

Y2(V)
X2

3

Y3(V)
X3

...

… II
…

п

Yn(V)
Xn

Проміжне споживання (CI)
CI1
CI2
CI3
…
CIn
IV

ВВП за категоріями доходів GDP(D)
Y1(D)
Y2(D)
Y3(D)
III …
Yn(D)


Валовий випуск (GP)
X1
X2
X3
…
Xn


Рис. 3.1.1. Принципова схема моделі «витрати-випуск»
Розглядаючи схему балансу за стовпчиками, можна дійти висновку, що сума проміжного споживання будь-якої галузі та її валової доданої вартості дорівнює валовому випуску продукції цієї галузі:
. (3.2.1)
Розглядаючи МГБ за рядками для кожної галузі-виробника, бачимо, що використана продукція будь-якої галузі дорівнює сумі матеріальних витрат галузей, які споживають її продукцію, витрат на кінцеве споживання продукції цієї галузі та чистого експорту:
(3.2.2)
Підсумовуючи за j систему рівнянь (3.2.1), дістаємо
. (3.2.3)
Аналогічно, підсумовуючи за i систему рівнянь (3.1.2), отримуємо
(3.1.4)
Звідси легко помітити, що
(3.1.5)
Це рівняння демонструє, що в міжгалузевому балансі дотримано принцип еквівалентності складу доходів і використання ВВП.
Підґрунтям інформаційного забезпечення моделі міжгалузевого балансу слугує технологічна матриця, що містить коефіцієнти прямих матеріальних витрат на виробництво одиниці продукції. Ця матриця є базою економіко-математичної моделі міжгалузевого балансу.
Передбачено гіпотезу, згідно з якою для виробництва одиниці продукції у j-й галузі необхідна певна кількість витрат проміжної продукції і-ї галузі, що становить аіj, і ця величина не залежить від обсягів виробництва в j-й галузі та є доволі стабільною величиною в часі. Величини аіj називають коефіцієнтами прямих матеріальних витрат і обчислюють таким чином:
(3.1.6)
Коефіцієнти прямих матеріальних витрат показують, яку кількість продукції і-ї галузі необхідно витратити, якщо враховувати лише прямі витрати, для виробництва одиниці продукції j-ї галузі. З економічного тлумачення цих коефіцієнтів виходить, що та .
З урахуванням формули (3.1.6) систему рівнянь балансу (3.1.1) можна записати у вигляді:
(3.1.7)
Якщо залучити до розгляду матрицю коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А = (аij), вектор-стовпчик кінцевого використання продукції X та вектор-стовпчик ВВП — Y, тоді система рівнянь (3.1.7) у матричній формі матиме вигляд:
X = AX+Y,
або Х – АХ = Y. (3.1.8)
Систему рівнянь (3.1.7), або в матричній формі (3.1.8), називають моделлю міжгалузевого балансу, або моделлю Леонтьєва, або моделлю «витрати-випуск». За допомогою цієї моделі можна здійснити такі варіанти обчислень:
задаючи в моделі обсяги кінцевого використання продукції кожної галузі (Хi), можна визначити обсяги ВВП кожної галузі (Y):
(E – A)X = Y, (3.1.9)
де Е — одинична матриця n-го порядку;
задаючи обсяги ВВП всіх галузей (Y), можна визначити обсяги використання продукції кожної галузі (Хi):
X = (E – A)-1Y; (3.1.10)
можна прогнозувати динаміку технологічних коефіцієнтів аij.
Зазначимо, що рівняння (3.1.9) та (3.1.10) мають розв’язок, оскільки матриця (E – A) належить до цілком досліджених в алгебрі матриць із невід’ємними діагональними й недодатними недіагональними елементами [35] і для неї існує матриця (Е – А)-1. Введемо таке позначення:
В = (Е – А)-1. (3.1.11)
Систему рівнянь у матричній формі (3.1.10) можна записати:
X = BY. (3.1.12)
Елементи матриці В позначатимемо через bij, тоді з матричного рівняння (3.2.12) для будь-якої i-ї галузі можна отримати співвідношення:
. (3.1.13)
Коефіцієнти bij називають коефіцієнтами повних матеріальних витрат. Вони містять як прямі, так і опосередковані витрати всіх порядків. Якщо прямі витрати відбивають кількість засобів виробництва, використаних безпосередньо на виготовлення певних обсягів конкретного продукту, то опосередковані стосуються попередніх стадій виробництва і залучаються у виробництво продукції не прямо, а через інші (проміжні) засоби виробництва.
Коефіцієнти повних матеріальних витрат bij показують, який обсяг продукції і-ї галузі необхідно виробити, щоб з урахуванням прямих і опосередкованих витрат цієї продукції отримати одиницю продукції кінцевого використання j-ї галузі. Коефіцієнти повних матеріальних витрат можна застосовувати, коли необхідно визначити, як вплинуть на валовий випуск певної галузі деякі зміни щодо обсягів випуску кінцевої продукції всіх галузей.
Разом із коефіцієнтами прямих та повних витрат у аналізі міжгалузевих пропорцій розглядають також коефіцієнти розподілу продукції. Вони визначаються так:
. (3.1.14)
Коефіцієнти розподілу hij характеризують частку випуску продукції і-ї галузі та спожиту в галузі j. Оскільки функція витрат на виробництво в моделі міжгалузевого балансу виражається у формі xij = aijXj, після її підставлення в (3.1.14) можна знайти співвідношення між коефіцієнтами витрат і коефіцієнтами розподілу:
(3.1.15)
або в матричному вигляді:
, (3.1.16)
де H — матриця коефіцієнтів розподілу hij;
— діагональна матриця валових випусків.
З (3.1.16) випливає, що матриці коефіцієнтів A та H подібні, тому вони мають однаковий ранг і визначник, тобто матриця (E – H) не вироджена, а також однакові спектри власних значень, що визначає продуктивність матриці H. Ці властивості можна використати для побудови системи рівнянь витрат на виробництво, яка виходить із співвідношень
Після підстановки у ці співвідношення значень xij з (3.1.14) одержимо
(3.1.17)
Виходячи зі значень ВВП за категоріями доходів, що задаються екзогенно, за допомогою системи рівнянь (3.1.17) можна визначати значення валових випусків продукції галузей матеріального виробництва. Після відомих перетворень отримуємо (у матричному вигляді):
X?(E – H) = Z?;
X? = Z?(E – H)-1,
де X? і Z? — вектори-рядки відповідно валових випусків та ВВП.
Коефіцієнти hij не дістали широкого застосування у практиці міжгалузевих досліджень, позаяк порівняно з коефіцієнтами aij вони нестабільніші в динаміці. Це безпосередньо випливає з визначення коефіцієнта hij (3.1.15). На його величину, серед тих чинників, які впливають на значення коефіцієнта прямих витрат, справляє вплив і зміна співвідношення між обсягами випуску споживання та постачання. Обсяги випусків хi та хj змінюються під впливом великого набору чинників (динаміка всіх елементів кінцевого продукту й усіх коефіцієнтів прямих витрат), що по-різному впливають на них. Тому припущення стосовно сталих пропорцій хjта хi були б нереальними.
Проте коефіцієнти розподілу можна з успіхом використовувати в низці царин економічного аналізу.
3.2. Прогнозування динаміки коефіцієнтів МГБ
Під час побудови міжгалузевих балансів потрібно зважати на низку додаткових вимог щодо початкової системи коефіцієнтів прямих витрат.
1. Коефіцієнт прямих витрат аij є середньозваженою величиною з окремих коефіцієнтів витрат () продукту і на продукт j різних господарських галузей k.
При цьому для виконання (принаймні приблизно) прямої пропорційної залежності між xij та хj необхідне виконання однієї з таких умов:
окремі коефіцієнти прямих витрат мають неістотно відрізнятися одне від одного для всіх k;
питома вага виробництва продукту j різними господарськими галузями має бути практично незмінною.
2. Окремі коефіцієнти прямих витрат , своєю чергою, є середньозваженими коефіцієнтів витрат на створення продукту j господарською галуззю k, диференційованих за технологічними варіантами виробництва. Під технологічним варіантом виробництва в цьому разі розуміють окремі підприємства, різні технологічні процеси тощо.
3. Коефіцієнти витрат зазвичай є узагальненими нормами витрат одного продукту за виробництва іншого, отриманими шляхом агрегування деталізованих нормативів матеріальних видатків.
Передумова стосовно прямої пропорційної залежності величин витрат предметів праці xіj від значень обсягів випуску продукції Xj насправді може виконуватися лише в певних інтервалах зміни обсягу випуску продукції, для яких зрушення у внутрішній структурі випуску продукції (як у плані співвідношення господарських галузей і технологічних варіантів виробництва, так і з огляду на склад продуктів деталізованої номенклатури) не приводять до суттєвих змін коефіцієнтів прямих витрат aij. Інакше кажучи, кожному інтервалу обсягу виробництва має відповідати певне значення коефіцієнта прямих витрат aij.
Коефіцієнти аіj виражають пряму пропорційну залежність між витратами на виробництво та випуском продукції у межах одного часового інтервалу (як правило, року). Для розрахунків на перспективні періоди треба знати, як змінюватимуться ці коефіцієнти [35].
Під час першого формулювання передумов моделі «витрати-випуск» В. Лєонтьєв висунув гіпотезу, що коефіцієнти aij незмінні в часі. Початкові дослідження моделей «витрати-випуск» були спрямовані на перевірку цієї гіпотези. Такий аналіз ґрунтується на простому зіставленні обсягу виробництва продукції за будь-який рік із їхніми гіпотетичними обсягами, розрахованими з огляду на те, що коефіцієнти витрат не змінилися порівняно з іншим, як правило, попереднім періодом. Звісно, такий аналіз можливий лише за наявності звітних матриць міжгалузевих балансів за кілька років, побудованих за єдиною методологією.
Ці гіпотетичні обсяги визначалися таким чином:
Xt + ? = (E – A )-1Yt + ?, (3.2.1)
де Xt + ? — вектор гіпотетичних обсягів виробництва в році t + ?;
At — матриця коефіцієнтів прямих витрат року t;
Yt + ? — вектор кінцевого продукту року t + ?.
Такі дослідження проводили стосовно кількох країн за певний період часу. Аналіз даних засвідчив, що гіпотеза стосовно незмінності коефіцієнтів може спричинити до істотних викривлень реальних показників обсягів виробництва. Рівень цих викривлень неоднаковий як для різних галузей, так і для різних періодів часу. Це зумовлено розбіжностями в тенденціях технічного прогресу в різні періоди, що впливають на величину коефіцієнтів, та специфічними особливостями окремих галузей тощо. Водночас ці дані свідчать, що в багатьох випадках викривлення даних щодо обсягів виробництва, зумовлених незмінністю коефіцієнтів, порівняно невеликі.
З метою аналізу динаміки коефіцієнтів прямих витрат В. Лєонтьєв запропонував використовувати величини їхніх відносних змін ():
, (3.2.2)
а також показники зважених відносних змін коефіцієнтів ():
. (3.2.3)
Зважені відносні зміни більш придатні для аналізу, оскільки в разі використання їх враховують реальні обсяги видатків галузей і пов’язаний із цим рівень значущості коефіцієнтів залежно від розміру випуску галузі.
Як свідчать результати досліджень для низки країн, зміни коефіцієнтів витрат порівняно менше визначають зміни структури виробництва, ніж зміни обсягу й структури. Міру впливу зміни коефіцієнтів аij та кінцевого використання ВВП на обсяг і структуру виробництва можна визначити таким чином:
Xt + ? – Xt = (E – At + ?)-1Yt+? – (E – At )-1Yt =
= [(E – At+?)-1Yt+? – (E – At+?)-1Yt] + [(E– At+?)-1Yt –
– (E – At)-1Yt]. (3.2.4)
Перший доданок формули (3.2.4), узятий у квадратні дужки, характеризує вплив зміни кінцевого використання ВВП на динаміку обсягу і структуру виробництва за період від року t до року t + ?; другий доданок квадратних дужках — вплив змін коефіцієнтів.
Як зазначалося вище, використання в динаміці незмінних коефіцієнтів витрат подеколи може спричинитися до вельми суттєвого викривлення прогнозових обсягів виробництва продукції галузей.
Розроблення підходів до визначення коефіцієнтів витрат на перспективний період.
Найпростіший підхід полягає в екстраполяції динаміки коефіцієнтів. Для нього можна скористатися різноманітними гіпотезами щодо характеру динаміки, зокрема:

тощо.
де ?, ?, ?, ? — статистичні параметри.
Такий підхід малопридатний для практичного застосування. Для його реалізації потрібні доволі репрезентативні динамічні ряди коефіцієнтів за кілька років поспіль.
Інший можливий підхід пов’язаний з аналізом чинників, які впливають на величину коефіцієнтів. Найпростішу реалізацію цього підходу запропонував відомий англійський економіст Р. Стоун — це метод RAS.
Основні положення цього методу є такими.
1. У результаті розвитку виробництва й технічного прогресу місце одних продуктів у складі матеріальних витрат заступають інші, тож коефіцієнти витрат одних видів продукції зростають, інших — зменшуються. Рівень збільшення або зменшення коефіцієнтів визначають за допомогою спеціального множника rt, однакового для і-го рядка матриці коефіцієнтів прямих витрат, який характеризує загальний ефект заміщення для продукції і-го виду. При цьому можливі три випадки:
ri > 1, тобто в майбутньому відбудеться збільшення питомих витрат i-гo продукту на виробництво інших видів продукції;
rі < 1, тобто в майбутньому відбудеться зменшення питомих витрат i-гo продукту на виробництво інших видів продукції;
rі = 1, тобто в майбутньому питомі витрати i-гo продукту на виробництво решти продуктів залишаться незмінними.
2. Прогноз розвитку виробництва пов’язаний зі зміною пропорцій між витратами живої й матеріалізованої праці, через що змінюється питома вага матеріальних витрат предметів праці в загальній вартості випуску продукції галузей.
В одних галузях у зв’язку із розширенням виробництва та дією інших чинників ця питома вага зменшується, в інших — збільшується, у третіх — залишається незмінною. Рівень збільшення чи зменшення питомої ваги витрат предметів праці визначають за допомогою коефіцієнтів sj, однакових для j-го стовпчика матриці коефіцієнтів прямих витрат:
sj > 1 — збільшення питомої ваги;
sj < 1 — зменшення питомої ваги;
sj = 1 — незмінність питомої ваги.
3. Коефіцієнти ri та sj не диференціюються за окремими видами витрат, усі пов’язані з ними зміни пропорційні відповідно для всіх елементів і-го рядка та j-го стовпчика. Отже, прогнозове значення коефіцієнта визначається як результат впливу двох чинників:
aij(1) = riaij(0) sj, (3.2.5)
де (1) та (0) означають величини, які належать відповідно до прогнозовго та базового періодів.
4. Коефіцієнти ri та sj вводять до моделі екзогенно.
Із коефіцієнтів ri та sj будуються діагональні матриці R і S:

За допомогою цих матриць матриця А(1) визначається так:
А(1) = RA(0)S.
Отже, в разі застосування методу RAS передбачається, що за зміни коефіцієнтів упродовж прогнозового періоду за рядками й стовпчиками виконується строга пропорційність. Справді, прогнозовані коефіцієнти прямих витрат і-го рядка дорівнюватимуть (ri ai1 s1; ri ai2 s2; ri ai3 s3 . . . ri ain sn ). Усі вони містять однаковий множник ri. Коефіцієнти прямих витрат j-го стовпчика визначатимуться як: (r1 a1j sj; r2 a2j sj; r3 a3j sj . . . rn anj sj ). Усі вони містять однаковий множник si.
Реально такої пропорційності у зміні коефіцієнтів не існує. Заміщення одних видів матеріалів іншими не відбувається строго пропорційно за всіма напрямами споживання їх. Разом із тим, збільшення або скорочення питомої ваги споживання предметів праці не веде до пропорційної зміни всіх коефіцієнтів відповідних стовпчиків матриці. З урахуванням спільного впливу обох розглянутих чинників дещо пом’якшується строгість такої пропорційності, але вимоги до динаміки коефіцієнтів у разі використання методу RAS залишаються доволі жорсткими. Щоб упевнитися в цьому, розглянемо чотири пари базисних і прогнозних коефіцієнтів, розташованих у рядках і та k і в стовпцях j та l. Із (3.2.5) виходить:
?aij = aij(1) – aij(0) = riaij(0)sj – aij(0) = aij(0) (risj – 1),
звідки
. (3.2.6)
Співвідношення, аналогічні до (3.2.6), можна одержати і для інших пар коефіцієнтів:
; (3.2.7)
; (3.2.8)
. (3.2.9)
Із (3.2.6) та (3.2.7) виходить (з урахуванням, що aij(1) = aij(0) + ?aij)
. (3.2.10)
Із (3.2.8) та (3.2.9) визначаємо значення ri та rk й підставляємо їх у (3.2.10):
; ;
. (3.2.11)
Якщо позначити через ?ij темп зростання коефіцієнта aij, тобто , тоді (3.2.11) матиме вигляд
, (3.2.12)
тобто темпи зміни коефіцієнтів, розташованих на перетині рядків i, k та стовпчиків j, l мають утворювати відповідну пропорцію.
Прагнення уточнення коефіцієнтів на перспективу на підставі аналізу чинників зумовило спроби використати методи кореляційно-регресійного аналізу для планування окремих коефіцієнтів.
Для оцінювання чинників, які впливають на величину коефіцієнтів, можна скористатися:
параметром, який характеризує вплив на величину коефіцієнта питомої ваги основного продукту в цілому;
параметром, який характеризує вплив розбіжностей випуску в незмінних цінах;
параметром, який характеризує вплив співвідношень між змінами цін на продукцію, що споживається та виробляється;
параметром, який характеризує вплив енергооснащення праці;
загальною кількістю зайнятих у галузі;
параметром, який характеризує вплив часу тощо.
Такий підхід не набув поширення для прогнозування динаміки коефіцієнтів у силу того, що ряди динаміки коефіцієнтів, оскільки ряди динаміки коефіцієнтів практично невідомі, і значення аргументів, які впливають на величини коефіцієнтів прямих витрат і необхідних для розрахунку функцій, доволі важко визначити на перспективний період екзогенним шляхом.
У практичному прогнозуванні значень коефіцієнтів прямих витрат предметів праці вельми поширеним є метод техніко-економічного розрахунку, який передбачає використання інформації, що надходить під час розроблення народногосподарських програм і планів. Відповідно до цього методу розрахунок коефіцієнтів здійснюють у два етапи: розрахунок коефіцієнтів витрат у натуральному вираженні (%); перехід до коефіцієнтів витрат у вартісному вираженні.
У розрахунку норм витрат на прогнозовий період враховують прогресивні зміни в технології виробництва, зміни питомої ваги, технологічних варіантів створення одного виду продукції, зрушення у спеціалізації виробництва, які, своєю чергою, змінюють співвідношення між галузями, що виробляють цей продукт, та інші чинники. До того ж необхідні прогнозні відомості стосовно детальної номенклатури виробництва окремих видів продукції у складі кожної «чистої» галузі.
Отже, техніко-аналітичний метод є доволі вимогливим до наявності інформації, яку можна отримати лише в комплексному процесі прогнозування, а без нього достовірний міжгалузевий баланс на перспективний період побудувати не можна.
3.3. Динамічні багатогалузеві моделі
Розглянута статична модель міжгалузевого балансу характеризується такими рисами, які внеможливлюють застосовування їх у прогнозових розрахунках. Ці ускладнення зумовлені тим, що за екзогенні елементи ВВП кінцевого використання беруть такі, обсяги й структура яких безпосередньо залежать від ендогенних змінних моделі, тобто від обсягів випуску продукції. Передусім це стосується показників, що характеризують обсяг і структуру валового нагромадження. Залежність валового нагромадження від обсягу виробництва продукції найчіткіше виявляється в динаміці процесу виробництва. Валове нагромадження формується за рахунок продукції виробленої у поточному й попередніх виробничих циклах. Їхній результат, своєю чергою, справляє вплив на показники обсягу виробництва продукції в наступних періодах. На такі залежності зважають у динамічній моделі міжгалузевого балансу.
Динамічна модель міжгалузевого балансу відрізняється від статичної кількома рисами. Насамперед вона характеризує розвиток народного господарства за роками планового періоду. Стан економіки у році t багато в чому визначає її стан у році t + 1 і в подальші роки. Загальна динаміка розвитку народного господарства у цьому разі визначається початковим станом системи, характеристиками структурних параметрів на кожен рік прогнозного періоду та завданнями стосовно складових кінцевого використання продукту, які не мають зворотного зв’язку із приростом виробництва в прогнозовому періоді. Статична модель тільки фіксує народногосподарську структуру економіки на певний рік прогнозу. Передісторія цього року, а також вплив стану економіки в поточному році на її стан у майбутні роки визначаються поза моделлю.
Нині розроблено різноманітні типи динамічних моделей за такою класифікацією.
З точки зору відображення взаємозалежностей процесу формування капітальних вкладень від динамічно змінюваними обсягами виробництва можна виділити:
«напівдинамічні» моделі (рекурсивні моделі зі зворотним зв’язком);
рекурентні динамічні моделі (моделі поетапного розрахунку);
«цілком динамічні» моделі.
За способом математичного описання можна виділити три типи моделей:
моделі у вигляді системи лінійних диференціальних рівнянь;
моделі у вигляді системи лінійних різницевих рівнянь;
моделі у вигляді системи звичайних лінійних рівнянь.
Система диференціальних і різницевих рівнянь відповідає одному із типів рекурентних динамічних моделей. Це моделі лєонтьєвського типу, які були першим видом динамічних міжгалузевих моделей. Для них характерним є те, що за невідомі змінні обирають обсяги випуску окремих видів продукції та річні прирости їх. Показники капітальних вкладень або основних виробничих фондів у моделях такого типу безпосередньо не розглядаються, вони можуть бути знайдені після розв’язання моделі як похідні величини від знайдених значень ендогенних змінних.
У моделях, які мають вид системи звичайних лінійних рівнянь, розглядають два типи невідомих величин, один із яких відображає обсяги виробництва продукції, а другий — капітальні вкладення (або введення в дію основних виробничих фондів чи виробничих потужностей, що залежить від конкретного виду моделі). У рекурентних міжгалузевих моделях обсяги капітальних вкладень розглядають як функції обсягів виробництва певного року, а самі капітальні вкладення впливають на обсяги виробництва продукції у майбутні роки. «Цілком динамічні» моделі враховують як прямі, так і зворотні зв’язки у часі.
За характером відображення процесу формування капітальних вкладень розрізняють:
моделі з урахуванням лагових змінних, що характеризують капітальні вкладення із затримкою;
моделі без урахування лагових змінних капітальних вкладень.
Під лагом капітальних вкладень розуміють часовий інтервал (час затримки) між початком їх здійснення й тим моментом часу, коли вводять нові об’єкти, і вони починають впливати на приріст виробництва. Проблема відображення лага капітальних вкладень існує для рекурентних і «цілком динамічних» моделей.
Найпростішим типом динамічних моделей є рекурсивні моделі. Основними ендогенними змінними в цих моделях постають показники обсягів виробництва різних видів продукції на останній рік періоду прогнозування та загальний обсяг капітальних вкладень в основні виробничі фонди кожної «чистої» галузі за весь період. Розподіл капітальних вкладень за роками прогнозового періоду можна здійснювати, наприклад, за допомогою екзогенно визначених параметрів wj(t) — питомої ваги капітальних вкладень у галузь j, що здійснюються у році t періоду прогнозування, в загальному обсязі капітальних вкладень за весь період:
,
де ? — індекс останнього року прогнозового періоду.
Розрахунки за моделлю здійснюють у два етапи. На першому визначають обсяги виробництва для останнього року періоду та показники капітальних вкладень за весь період. Завдання другого етапу полягає в обчисленні показників виробництва продукції для кожного року періоду прогнозування.
Першому етапу відповідає система із 2п рівнянь та п невідомих величин виробництва продукції і п невідомих обсягів капітальних вкладень за весь період.
Перші п рівнянь є балансами виробництва й розподілу продукції, а останні п рівнянь — балансами основних виробничих фондів.
Середньорічна наявність основних фондів визначається як сума їх наявності на початок року та середньорічного введення їх у дію за підрахунком середньорічного вибуття фондів:
, (3.3.1)
де — середньорічні основні виробничі фонди галузі j у році t;
— основні виробничі фонди галузі j на початок року t;
— уведення в дію основних виробничих фондів галузі j в році t;
— коефіцієнт основних виробничих фондів (середньорічне вибуття відносно наявності їх);
— коефіцієнт перетворення фактичного введення в дію основних виробничих фондів у середньорічний.
За припущенням, коефіцієнти та сталі в часі.
Обсяги наявних основних фондів на початок року t + 1 у припущенні їх рівномірного вибуття впродовж року становитимуть:
Фj(t + 1) = (1 – 2)Фj(t)+ (1 – 2)?Фj(t). (3.3.2)
Рівномірне вибуття основних фондів упродовж року означає, що фактичне вибуття вдвічі перевищуватиме середньорічне вибуття.
У практиці економічних досліджень часто розглядають співвідношення між введенням у дію основних фондів певної галузі й загальним обсягом капітальних вкладень у галузь за будь-який рік Kj(t):
, (3.3.3)
де ?j — галузеві коефіцієнти введення в дію основних виробничих фондів.
У цьому разі передбачають, що коефіцієнти ?j незмінні в часі. Величину галузевих капітальних вкладень можна представити як функцію загального обсягу їх для кожної галузі за весь період прогнозування Kj за допомогою коефіцієнтів wj(t):
Kj(t) = wj(t)Kj. (3.3.4)
Тоді з урахуванням (3.3.3) та (3.3.4) величина введення в дію основних фондів у році t дорівнюватиме
?Фj(t) = wj(t)?j Kj. (3.3.5)
Баланси виробництва й розподілу продукції на останній рік прогнозового періоду матимуть такий вигляд:
xi(?) = aij(?)xj + bij(?)wj(?)Kj + yi(?), (i=1,2,…,n), (3.3.6)
де xi(?) — обсяг випуску продукції i-гo виду в останньому прогнозовому році;
yi(?) — «чистий» кінцевий продукт і-го виду в останньому прогнозованому році, який менший від обсягу кінцевого продукту статичної моделі на величину капітальних вкладень у галузі;
bij(?) — коефіцієнт структури капітальних вкладень, який характеризує питому вагу засобів праці і-го виду в загальному обсязі капітальних вкладень в j-у «чисту» галузь в останньому прогнозовому році.
Баланси основних фондів встановлюють для кожної галузі відповідність між величиною наявних фондів і потребою в них для відповідного року, яка визначається як добуток коефіцієнта фондомісткості на обсяг випуску продукції.
Розв’язок динамічних рекурсивних моделей не становить особливих ускладнень. Невід’ємність валових випусків продукції та обсягів капітальних вкладень, а також стабільність їхньої динаміки забезпечує екзогенне визначення коефіцієнтів wj(t).
Під час визначення коефіцієнтів wj(t) на прогнозовий період зазвичай виходять з екстраполяції їхніх значень за минулі періоди або з припущення стосовно постійного темпу зростання капітальних вкладень.
Надійні передбачення на підставі рекурсивних моделей можна отримати лише для доволі агрегованих галузей.
Уперше динамічна міжгалузева модель у вигляді системи лінійних диференціальних рівнянь була запропонована В. Лєонтьєвим. Ця система, записана в матричному вигляді, виглядає так:
Xt = AtXt + + , (3.3.7)
де Xt — вектор валових випусків у році t;
— вектор приросту валових випусків у році t, виражений через похідні величини валових випусків галузей року t за часом;
— вектор кінцевого продукту динамічної моделі;
— (п x n)-матриця коефіцієнтів капіталомісткості (зростання фондомісткості), що характеризує капітальні витрати засобів праці, необхідні для приросту валових випусків продуктів галузей матеріального виробництва на одиницю.
Модель (3.3.7) припускає миттєву реакцію економічної системи на розширення виробництва, оскільки описана системою диференціальних рівнянь для безперервного часового інтервалу. Реальним економічним системам така миттєва реакція не властива. Розширення виробництва майже завжди потребує капітальних вкладень, пов’язаних із «заморожуванням» засобів праці на період будівництва нових і реконструкції діючих підприємств, упродовж якого розширення виробництва неможливе. Щоб дослідити властивості розв’язків моделі (3.3.7), розглянемо деякі прості модифікації її.
1. Система однорідних рівнянь із постійними коефіцієнтами, тобто за

Тоді модель (3.3.7) матиме вигляд:

,
де хi(0) — відомі обсяги виробництва продукції галузей матеріального виробництва в базисному періоді (і = 1,..., n).
Загальний розв’язок системи має вигляд
,
де
за m > ?.
2. Система неоднорідних рівнянь з постійними коефіцієнтами, тобто за
.
Модель, що відповідає цим умовам, виглядає так:

а її розв’язок записують так:
.
3. Система неоднорідних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, які залежать від часу, тобто:
Yt ? 0; At = A(t); =K(t).
Тоді
.
Розв’язок цієї системи має вигляд

де Гt — матриця, що визначена єдиним способом і задовольняє матричному диференціальному рівнянню:

Розв’язок розглянутих систем диференціальних рівнянь можливий, якщо існує матриця або матриця .
Важливим питанням побудови динамічних міжгалузевих моделей є забезпечення динамічної стабільності їхніх розв’язків, тобто поступової траєкторії показників валових випусків у динаміці, що має відповідати реальним умовам функціонування економіки. Втім, у загальному випадку розв’язок розглянутих типів систем диференціальних рівнянь цієї властивості не має.
До того ж якщо зважити на труднощі, які виникають під час розв’язання систем диференціальних рівнянь вищих порядків, можна зрозуміти всі причини, через які динамічні міжгалузеві моделі у вигляді систем лінійних диференціальних рівнянь не дістають практичного застосування, а використовуються лише в теоретичному аналізі.
Спроби подолати основні недоліки розглянутого типу динамічної міжгалузевої моделі зумовили опис її у формі лінійних різницевих рівнянь:
, (3.3.8)
де ?Xt — вектор приростів валових випусків у році t порівняно із роком t – 1:
?Xt = Xt – Хt – 1. (3.3.9)
На відміну від системи диференціальних рівнянь у цьому разі розглядають дискретні інтервали, як правило, річні. Реакція економічної системи на розширення виробництва, тобто на здійснення капітальних вкладень, що забезпечують приріст продукції, має відбутися до завершення річного часового інтервалу. Таке припущення дещо пом’якшує занадто жорсткі вимоги миттєвої реакції, властиві системі диференціальних рівнянь, але цілком не усуває їх, оскільки спорудження великих виробничих об’єктів триває кілька років.
Розв’язок системи (3.3.8) можливий за допомогою системи рекурентних співвідношень для послідовних періодів прогнозування, починаючи з першого року, якщо відомий вектор валових випусків у базовому році Х0. Для спрощення запису припускаємо, що .
Для першого року, враховуючи (3.3.9), маємо
X1 = A1X1 + (Х1 – Х0 )+ або
Розв’язком цієї системи буде:
.
або якщо (Е – A – )= U, то
X1 = U–1 ( – X0). (3.3.10)
Виходячи з цього, для другого року прогнозового періоду отримаємо таке значення вектора валових випусків:
X2 = U–1 ( – X1).
Підставивши значення Х1 з (3.3.10), матимемо
,
для третього року періоду
.
У загальному випадку буде:

. (3.3.11)
Із (3.3.11) випливає, що продуктивність (тобто умова невід’ємності валових випусків) системи (3.3.8) не виконується автоматично в разі заданих характеристик матриць структурних параметрів подібно тому, як це відбувається в статичній моделі за невід’ємних векторів кінцевих продуктів для різних років періоду прогнозування, оскільки в загальний запис розв’язку ці вектори із відповідними матричними множниками входять зі знаками, що чергуються.
Дослідження властивостей системи (3.3.8), що забезпечують невід’ємність валових випусків для різних років прогнозу й стабільність (і монотонність) їхньої динаміки, є предметом спеціального дослідження.
Реальні процеси капітальних вкладень мають доволі складну часову структуру. В заданому році капітальні вкладення здійснюються для введення в дію об’єктів не лише в поточному та наступних річних інтервалах часу, а й у віддаленіших періодах. Розрив у часі між початком здійснення вкладень і початком введення в дію основних виробничих фондів тим більший, чим складніший та більший об’єкт, що споруджується в цій галузі.
З іншого боку, введення в дію основних виробничих фондів є результатом капітальних вкладень не лише цього року, а й попередніх років, кількість яких залежить від тривалості лага в конкретній галузі.
У табл. 3.3.1 наведено структуру капітальних вкладень у часі для періоду прогнозування у 5 років та для лага у 3 роки. Кожен рядок таблиці характеризує розподіл капітальних вкладень, який здійснюють у цьому році, необхідних для введення в дію основних фондів у різні роки. У цьому плані обсяг капітальних вкладень року t дорівнює:
(3.3.12)
де К(t, ?) — капітальні вкладення року t, що здійснюються для введення в дію основних фондів у році ?;
? — тривалість лага капітальних вкладень.
Стовпчики табл. 3.3.1 показують, за рахунок вкладень яких років відбувається введення в дію основних фондів у поточному році. Загальний підсумок стовпчика дорівнює:
,
де — коефіцієнт, що характеризує відношення обсягу капітальних вкладень, необхідних для введення в дію основних фондів у році ?, до всього обсягу введення.
Таблиця 3.3.1
ЧАСОВА СТРУКТУРА КАПІТАЛЬНИХ ВКЛАДЕНЬ (ТРИВАЛІСТЬ ПЕРІОДУ ПЛАНУВАННЯ — 5 РОКІВ; ТРИВАЛІСТЬ ЛАГА КАПІТАЛЬНИХ ВКЛАДЕНЬ — 3 РОКИ)
Рік здійснення вкладень (%)
Рік уведення в дію основних фондів (%)
Загалом


Передплановий період
Період планування
Післяплановий період


Передплановий період
– 2
– 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8


– 2
(К – 2, 2)
(К – 2, –1)
К(– 2, 0)
К(– 2, 1)







К(– 2)

– 1

К(– 1, –1)
К(– 1, 0)
К(– 1, 1)
К(– 1, 2)






К(– 1)

0


К(0,0)
К(0,1)
К(0,2)
К(0,3)





К(0)

Період планування













1



К(1,1)
К(1,2)
К(1,3)
К(1,4)




К(1)

2




К(2,2)
К(2,3)
К(2,4)
К(2,5)



К(2)

3





К(3,3)
К(3,4)
К(3,5)
К(3,6)


К(3)

4






К(4,4)
К(4,5)
К(4,6)
К(4,7)

К(4)

5







К(5,5)
К(5,6)
К(5,7)
К(5,8)
К(5)

Загалом



?Ф(1)
?Ф(2)
?Ф(3)
?Ф(4)
?Ф(5)






Обсяг таких вкладень перевищує величину введення за рахунок капітальних витрат, які не збільшують вартості основних фондів. Значення коефіцієнта зазвичай становить величину, близьку до одиниці, тому будемо вважати, що тоді
. (3.3.13)
В аспекті зв’язку капітальних вкладень у виробничу сферу із динамікою процесу виробництва в періоді прогнозування у їхньому складі можна виокремити три основні групи: капі-тальні вкладення, пов’язані з завершенням будівництва основних фондів, розпочатого в передпрогнозовому періоді (К0); капітальні вкладення, пов’язані із будівництвом об’єктів, які вводяться в дію впродовж періоду прогнозування (Кр), і капі-тальні вкладення, пов’язані із завершенням капітального бу-дівництва для введення в дію об’єктів у післяпрогнозовний період (Kf).
Очевидно, що на прирости обсягів виробництва у прогнозовому періоді з-поміж загального обсягу вкладень безпосередньо впливають тільки величини К0 та Кр.
Величина К0 є заданою, й тому справляє однозначний вплив на показники обсягів виробництва у прогнозовому періоді. Тому її також слід враховувати у складі кінцевого продукту, що використовується.
У загальному випадку величину К0 для року t можна записати так:
, якщо t ? ?; K0(t) = 0, якщо t ? ?.
Безпосередньо до складу структурних параметрів і невідомих динамічної моделі слід включити показники, що характеризують капітальні вкладення Кр. Величину для завершення будівництва впродовж післяпрогнозового періоду в загальному випадку визначають як:
, якщо t >? – ?; Kf(t) = 0, якщо t ? ? – ?.
де ? — індекс останнього прогнозового року.
Зафіксувати величину Kf у складі кінцевого продукту за роками важко, бо невідомо, як можна представити розвиток економіки в післяпрогнозовому періоді, поки не з’ясовано принаймні основні пропорції її розвитку в минулому прогнозовому періоді. Утім, можна визначити певну тенденцію в динаміці капітальних вкладень і введення в дію основних фондів за ряд років, розташованих поспіль. Це дає можливість визначити функціональний взаємозв’язок між величинами Кр і Kf та компонентами, які їх визначають, а отже, замість фіксації величин Kf знаходити їх шляхом розв’язання моделі. Зрештою можна встановити таку залежність між кінцевим продуктом статичної (yi) та динамічної () моделі (до всіх наведених вище позначень додамо галузевий індекс і):
,
а в загальному випадку .
Обсяг виробництва продукції в розглядуваній динамічній міжгалузевій моделі з урахуванням лага капітальних вкладень визначається потребами її постачання для поточного виробничого споживання, для капітальних вкладень Кр і Kf , а також для кінцевого споживання:
,
або
(3.3.14)
Тут Kij(t) — постачання засобів праці і-го виду для здійснення капітальних вкладень у j-ту галузь у році t;

До динамічної моделі вводять коефіцієнти структури капітальних вкладень , аналогічні тим, що були використані в моделі (3.3.6):
. (3.3.15)
Як випливає з (3.3.12), капітальні вкладення здійснюють у році t для введення в дію основних фондів у різні роки періоду планування:
(3.3.16)
де ?j — лаг капітальних вкладень у галузі j.
Своєю чергою, як зазначалося у (3.3.13), показники Kj(t, ?) є функціями від значень ?Фj(?) введення в дію основних фондів цієї галузі в році t. Цю залежність можна виразити за допомогою коефіцієнтів часової структури капітальних вкладень ?j(t, ?), які характеризують питому вагу капітальних вкладень року t у загальній вартості основних фондів галузі j, введених у дію в році ?:
(3.3.17)
Підставивши значення Kj(t, ?) з (3.3.17) у (3.3.16), а знайдене таким чином значення Kj(t) у (3.3.15), одержимо
. (3.3.18)
Ураховуючи (3.3.18), баланси виробництва й розподілу продукції (3.3.14) можна записати так:

або в матричному вигляді:
(3.3.19)
де — матриця коефіцієнтів ; — діагональна матриця коефіцієнтів ?j(t, ?); ?Ф? — вектор-стовпчик галузевих показників уведення в дію основних фондів; — максимальна тривалість лага капітальних вкладень.