Приклад 4. Із колоди з 36 карт навмання виймають 3 карти. Яка ймовірність того, що серед них буде точно один туз?
Три карти з 36 можна вибрати EMBED Equation.3 способами. Одного туза можемо вибрати EMBED Equation.3 способами, при цьому дві інші карти можна вибрати EMBED Equation.3 способами. Отже, m= EMBED Equation.3 · EMBED Equation.3 , n= EMBED Equation.3 ,
і EMBED Equation.3
ПАРАГРАФ2
Приклад 1. В партії з 20 деталей є 16 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед навмання взятих трьох деталей виявиться принаймні одна стандартна.
Розв’язання. Нехай подія EMBED Equation.3 : виявиться точно одна стандартна; подія EMBED Equation.3 : виявиться дві стандартні; подія EMBED Equation.3 : виявиться три стандартні деталі. Ці події попарно несумісні.
Нехай подія EMBED Equation.3 : серед навмання взятих трьох деталей виявиться принаймні одна стандартна. Отже, EMBED Equation.3 і за формулою (3) маємо
EMBED Equation.3 .
Обчислимо ймовірності подій EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 .
Інший спосіб. При розв’язуванні задач часто буває зручно переходити до протилежної події. Так, якщо подія EMBED Equation.3 : не виявиться жодної стандартної деталі, то EMBED Equation.3 є протилежною до події EMBED Equation.3 , і події EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 утворюють повну групу попарно несумісних подій. Отже, за формулою (2)
EMBED Equation.3 .
Обчисливши ймовірність EMBED Equation.3 , отримаємо EMBED Equation.3 .
Приклад 2. Підкидають гральний кубик. Нехай подія EMBED Equation.3 (випала парна кількість очок), подія EMBED Equation.3 (випала кількість очок, більше трьох). Між цими подіями є зв’язок. Дійсно, EMBED Equation.3 зводиться до трьох елементарних подій: випало 4, 5, 6 очок. Якщо подія EMBED Equation.3 наступила, то події EMBED Equation.3 сприятимуть дві елементарні події: випало 4 або 6 очок.
Отже, EMBED Equation.3 .
Приклад 3. Ймовірності появи кожної з двох незалежних подій EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 задані EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . Знайти ймовірність появи тільки однієї з цих подій.
Розв’язання. Введемо позначення EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Нехай подія EMBED Equation.3 : поява тільки події EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ;
подія EMBED Equation.3 : поява тільки події EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Події EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 несумісні, отже EMBED Equation.3 .
Події EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 незалежні, отже незалежні і події EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , тому
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 .
Приклад 4. Ймовірність того, що при одному пострілі стрілець попаде в “десятку”, дорівнює EMBED Equation.3 0,6. Скільки пострілів він повинен зробити, щоб з ймовірністю не менше 0,8 він попав в “десятку” принаймні один раз?
Розв’язання. За умовами задачі EMBED Equation.3 0,6: EMBED Equation.3 0,4. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . За формулою (13) EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 . Остання нерівність виконується для EMBED Equation.3 . Отже, стрілець повинен зробити не менше двох пострілів.
Приклад 5. Два стрільці стріляють по мішені незалежно один від одного по одному разу. Ймовірність влучення в ціль для першого стрільця EMBED Equation.3 ; для другого - EMBED Equation.3 . В мішені виявлено одне влучення. Знайти ймовірність того, що влучив перший стрілець.
Розв’язання. Подія EMBED Equation.3 : в мішені виявлено одне влучення. Розглянемо такі гіпотези:
EMBED Equation.3 : обидва не влучили; EMBED Equation.3 : обидва влучили; EMBED Equation.3 - перший влучив, другий не влучив; EMBED Equation.3 - другий влучив, перший не влучив.
Обчислимо ймовірності цих гіпотез: EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Контроль: EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 =0,08+0,48+0,12+0,32=1.
Оскільки умовні ймовірності EMBED Equation.3 =0, EMBED Equation.3 =0, EMBED Equation.3 =1, EMBED Equation.3 =1, то за формулою повної ймовірності (16) EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =0,44.
Отже, шукана ймовірність EMBED Equation.3 .
ПАРАГРАФ3
. Приклад 1. Гральний кубик підкидають тричі. Яка ймовірність того, що при цьому двічі випаде 6 очок?
Розв’язання. Нехай подія EMBED Equation.3 : при одному кидку випаде 6 очок. Ймовірність EMBED Equation.3 , відповідно EMBED Equation.3 . Тут EMBED Equation.3 Отже, за формулою (1)
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Цей результат потрібно трактувати так: якщо такий дослід проводити багато разів, то в середньому в 5 випадках із 72 грань з 6 очками випаде рівно два рази.
Приклад 2. Підприємство випускає 85% продукції вищого гатунку. Знайти найімовірніше число виробів вищого гатунку в партії із 150 виробів.
Розв’язання. Тут EMBED Equation.3 Із нерівності (7) маємо
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
або EMBED Equation.3 . Звідки EMBED Equation.3
Приклад 3. Яка ймовірність того, що подія EMBED Equation.3 наступить рівно 80 разів в 400 спробах, якщо ймовірність появи події в кожній спробі EMBED Equation.3
Розв’язання. Тут EMBED Equation.3 Обчислимо EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =8. EMBED Equation.3 За таблицею значень функції EMBED Equation.3 знаходимо EMBED Equation.3 Отже, EMBED Equation.3 Підрахунок за формулою Бернуллі дає EMBED Equation.3
Приклад 4. На підприємстві ймовірність випуску бракованих виробів дорівнює EMBED Equation.3 Перевіряють 500 виробів. Яка ймовірність того, що серед них бракованих буде від 10 до 20?
Розв’язання. Тут EMBED Equation.3 Обчислимо EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Отже, за формулою (10) маємо EMBED Equation.3
Приклад 5. Верстат штампує деталі. Ймовірність того, що виготовлена деталь бракована, дорівнює 0,01. Яка ймовірність того, що серед 200 деталей виявиться 4 бракованих?
Розв’язання. Тут EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
За формулою (13) отримаємо EMBED Equation.3
Приклад 6. На телефонну станцію протягом однієї години поступає в середньому 30 викликів. Яка ймовірність того, що протягом хвилини поступить не більше двох викликів?
Розв’язання. Враховуючи, що 1 год=60 хв, EMBED Equation.3 . Шукана ймовірність EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 0,98.
ПАРАГРАФ4
Приклад 1. При трьох підкиданнях монети в.в. EMBED Equation.3 - число появ герба – може приймати значення EMBED Equation.3 із відповідними ймовірностями, які обчислимо за формулою Бернуллі
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Побудуємо функцію розподілу
При EMBED Equation.3
при EMBED Equation.3
при EMBED Equation.3
при EMBED Equation.3
при EMBED Equation.3 .
ПАРАГРАФ5
Приклад 1. Дискретна випадкова величина EMBED Equation.3 задана рядом розподілу

Знайти EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 .
Розв’язання. За формулою (1) EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
За формулою (6) EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 Звідки EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Приклад 2. Неперервна випадкова величина задана щільністю розподілу
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Знайти EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 .
Розв’язання. За формулою (2) EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Отже, EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
ПАРАГРАФ6
Приклад 1. У даній місцевості середня річна кількість сонячних днів дорівнює 100.Оцінити ймовірність того, що протягом року в цій місцевості буде не більше ніж 125 сонячних днів.
Розв’язання. Нехай випадкова величина EMBED Equation.3 - кількість сонячних днів протягом року. За умовою EMBED Equation.3 =100. Потрібно оцінити ймовірність EMBED Equation.3 . Події EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 є протилежними, тому EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Але EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , тому за першою нерівністю Чебишова (1) при EMBED Equation.3 маємо
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Отже, EMBED Equation.3 =1-0,8=0,2.
Приклад 2. В деякій місцевості середня швидкість вітру на даній висоті дорівнює 20 км/год, а сере.днє квадратичне відхилення 4 км/год. Оцінити швидкість вітру на цій висоті з ймовірністю не меншою, ніж 0,9.
Розв’язання. Нехай випадкова величина EMBED Equation.3 - швидкість вітру на даній висоті. За умовою EMBED Equation.3 =20, EMBED Equation.3 За другою нерівністю Чебишова (4) EMBED Equation.3 . Отже, EMBED Equation.3 Звідки EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 .
Але EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =16, отже EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Таким чином, EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 .
Приклад 3. Скільки потрібно провести незалежних випробувань, щоб ймовірність нерівності EMBED Equation.3 перевищувала б 0,78, якщо йм. появи події в окремому випробуванні EMBED Equation.3
Розв’язання. За умовою задачі EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Виконуються умови теореми Бернуллі. Якшо EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 , і нерівність Чебишова для випадкової величини EMBED Equation.3 (формула (9)) EMBED Equation.3 , звідки EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3
Приклад 4. Додають 24 незалежні випадкові величини, кожна з яких рівномірно розподілена на EMBED Equation.3 Написати наближений вираз для щільності розподілу суми цих випадкових величин і обчислити ймовірність того, що їх сума лежить в межах від 10 до 14.
Розв’язання. Нехай EMBED Equation.3 Тоді за формулою (13) EMBED Equation.3 .
Обчислимо EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Таким чином EMBED Equation.3
Обчислимо ймовірність того, що сума EMBED Equation.3 лежить в межах від 10 до 14:
EMBED Equation.3 .