§ 8. Числові характеристики системи випадкових величин.
1. Моменти
Введемо поняття початкових і центральних моментів системи.
Початковим моментом EMBED Equation.3 порядку EMBED Equation.3 системи EMBED Equation.3 називається математичне сподівання добутку EMBED Equation.3 –го степеня випадкової величини EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 –го степеня випадкової величини EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (1)
Початкові моменти обчислюються за формулами EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (2)
для системи двох дискретних випадкових величин,
де EMBED Equation.3 ймовірність того, що система EMBED Equation.3 прийме значення EMBED Equation.3 .
Для системи двох неперервних випадкових величин EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (3)
Найбільш вживані початкові моменти першого порядку EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Це математичні сподівання складових системи, вони визначають координати точки – центру розсіювання системи EMBED Equation.3 на площині EMBED Equation.3 .
Формули для обчислення математичного сподівання EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (4)
для системи двох дискретних випадкових величин;
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (5)
для системи двох неперервних випадкових величин
Центральним моментом EMBED Equation.3 порядку EMBED Equation.3 системи EMBED Equation.3 називається математичне сподівання добутку EMBED Equation.3 –го степеня і EMBED Equation.3 –го степеня відповідних центрованих випадкових величин
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (6)
Центральні моменти обчислюються за формулами
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (7)
для системи двох дискретних випадкових величин;
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (8)
для системи двох неперервних випадкових величин.
Найбільш вживані центральні моменти другого порядку EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Моменти EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ,
і EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 є не чим іншим, як дисперсіями складових системи. Дисперсії обчислюються за відомими робочими формулами
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
де EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 обчислюються за формулами (4) або (5), а
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , або EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (9)
і аналогічно для EMBED Equation.3 .
2. Момент зв’язку. Коефіцієнт кореляції.
Важливу роль у дослідженнях систем відіграє мішаний центральний момент другого порядку EMBED Equation.3 , який називається моментом зв’язку або кореляційним моментом (або коваріацією). Позначимо його EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (10)
Легко вивести робочу формулу для обчислення кореляційного моменту
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (11)
де EMBED Equation.3 обчислюється за формулами
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 для дискретних випадкових величин (12)
і EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 для неперервних випадкових величин. (13)
Зауважимо, що EMBED Equation.3 може бути додатним або від’ємним числом.
Оскільки EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , то для системи вводять кореляційну матрицю
EMBED Equation.3 , (14)
яка є симетричною матрицею.
Момент зв’язку характеризує взаємний вплив випадкових величин – складових системи. Для оцінки цього впливу використовують безрозмірну величину – коефіцієнт кореляції випадкових величин EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (15)
Покажемо, що значення коефіцієнта кореляції лежать в межах EMBED Equation.3 . Для цього представимо коефіцієнт кореляції у вигляді математичного сподівання добутку двох нормованих величин
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (16)
Оскільки EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =1, EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =1, то з формули (16), враховуючи властивості математичного сподівання , маємо
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ,
або EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Тобто EMBED Equation.3 , звідки EMBED Equation.3 , або EMBED Equation.3 , звідки EMBED Equation.3 . Об’єднавши ці нерівності, отримаємо EMBED Equation.3 . (17)
Коефіцієнт кореляції досягає граничних значень –1 і 1 тільки у випадку лінійної функціональної залежності між величинами EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 .
3.Корельованість і незалежність випадкових величин
Дві випадкові величини називаються некорельованими, якщо для них EMBED Equation.3 ;
і корельованими, якщо EMBED Equation.3 .
Якщо випадкові величини EMBED Equation.3 незалежні, то вони і некорельовані, тобто їх коефіцієнт кореляції EMBED Equation.3 . Дійсно, нехай EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 незалежні, тоді
EMBED Equation.3 .
Отже,
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
В цьому випадку подвійний інтеграл перетворюється в добуток двох інтегралів, кожний з яких дорівнює нулеві, оскільки вони представляють математичні сподівання центрованих випадкових величин. Таким чином EMBED Equation.3 , а з ним і EMBED Equation.3 .
Обернене твердження, взагалі кажучи, невірне: може існувати система залежних випадкових величин, для якої коефіцієнт кореляції дорівнює нулеві.
Таким чином, якщо EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 незалежні, то вони і некорельовані; але із некорельованості випадкових величин не випливає факт їх незалежності.
У зв’язку з поняттям залежності двох випадкових величин відзначимо таку властивість для математичного сподівання їх добутку
EMBED Equation.3 (18)
Дійсно, за означенням
EMBED Equation.3 .
Перетворимо цей вираз
EMBED Equation.3
Звідки EMBED Equation.3 .
Як ми вже знаємо, для незалежних випадкових величин EMBED Equation.3
Покажемо, що дисперсія суми двох корельованих випадкових величин
EMBED Equation.3 .
Дійсно, за означенням дисперсії і враховуючи (18), маємо
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Приклад 1. За умов прикладу 3 §7 побудувати кореляційну матрицю системи.
Розв’язання.
Знайдемо EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 за формулами (4):
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
Обчислимо EMBED Equation.3 за формулою (12):
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
Отже, за формулою (11)
EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
Таким чином, кореляційна матриця має вигляд
EMBED Equation.3 .
Приклад 2. Дано щільність розподілу системи
EMBED Equation.3 .
Побудувати кореляційну матрицю системи.
Розв’язання. За формулами (5) знайдемо EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 .
В силу симетрії EMBED Equation.3 відносно EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 і симетрії області інтегрування EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3
і EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 .
Знайдемо EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 .
Таким чином, кореляційна матриця має вигляд
EMBED Equation.3 .
4.Числові характеристики умовних законів розподілу.
Важливою числовою характеристикою умовних законів розподілів є умовне математичне сподівання.
Умовне математичне сподівання випадкової величини EMBED Equation.3 за умови EMBED Equation.3 визначається:
для системи дискретних випадкових величин EMBED Equation.3 , (19)
або EMBED Equation.3 . (20)
для системи неперервних випадкових величин.
Аналогічно, умовне математичне сподівання випадкової величини EMBED Equation.3 за умови EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , (21)
або EMBED Equation.3 . (22)
Подібним чином вводяться поняття умовних дисперсій, наприклад:
EMBED Equation.3 (23)
або
EMBED Equation.3 . (24)
і умовних середніх квадратичних відхилень EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , (25)
Існує зв’язок між повним математичним сподіванням і умовним
EMBED Equation.3 (26)
або EMBED Equation.3 . (27)
Із означення умовного математичного сподівання EMBED Equation.3 (19) випливає, що із зміною значення EMBED Equation.3 буде змінюватися і значення EMBED Equation.3 . Очевидно, що ми можемо розглядати функцію EMBED Equation.3 , областю визначення якої є множина можливих значень випадкової величини EMBED Equation.3 .
Така функція називається регресією EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (28)
Аналогічно умовне математичне сподівання EMBED Equation.3 є функцією від EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (29)
і називається регресією EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 .
Рівняння EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
називаються рівняннями регресії відповідно EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 .
Лінії, які виражаються цими рівняннями, називаються лініями регресії. Ці лінії вводяться лише для неперервних випадкових величин, бо для дискретних випадкових величин вони складаються з ізольованих точок площини.
5.Поняття про двовимірний нормальний розподіл
Нехай EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 - нормально розподілені і незалежні випадкові величини
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .
Отже, на основі теореми множення щільностей маємо
EMBED Equation.3 . (30)
Якщо центр розсіювання співпадає з початком координат, тобто EMBED Equation.3 , то
EMBED Equation.3 - це канонічна форма двовимірного нормального розподілу.
Фіксованому значенню EMBED Equation.3 відповідає деяке стале значення показника степеня
EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 -const.
Звідси отримаємо рівняння EMBED Equation.3 , (31)
яке називається рівнянням еліпса однакової щільності або еліпса розсіювання.
Осі симетрії називаються головними осями розсіювання.
Нехай EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 - залежні нормально розподілені випадкові величини.
Тоді
EMBED Equation.3 (32)
де EMBED Equation.3 коефіцієнт кореляції .
Рівняння EMBED Equation.3 (33)
- це рівняння еліпса з центром в точці EMBED Equation.3 , а осі симетрії утворюють з віссю EMBED Equation.3 кути, які визначаються з рівняння EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3
Орієнтація еліпсів розсіювання відносно координатних осей знаходиться в прямій залежності від EMBED Equation.3 . Якщо EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 некорельовані EMBED Equation.3 , то головні осі розсіювання паралельні осям координат.
Щільність розподілу для некорельованих нормальних випадкових величин
EMBED Equation.3
тобто така, як і для незалежних нормальних випадкових величин. Це означає, що для нормальних випадкових величин поняття некорельованості і незалежності еквівалентні.
Умовні закони нормального розподілу
EMBED Equation.3 , (34)
EMBED Equation.3 . (35)
Легко бачити, що ці вирази є щільностями нормального розподілу з математичними сподіваннями
EMBED Equation.3
(36)
EMBED Equation.3
і середніми квадратичними відхиленнями EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Як видно з формул(36), лінії регресії EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 у випадку нормального розподілу є прямими лініями
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
які проходять через точку EMBED Equation.3 - центр розподілу системи. Кутові коефіцієнти прямих регресії EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 називаються коефіцієнтами лінійної регресії EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 відповідно.