Розділ 2. Практична частина Завдання 1 Відомі такі дані (табл.1) про роботу 30-ти плодоконсервних заводів за рік: Таблиця 1 № заводу Основні виробничі фонди, тис. грн. Середньоспискова чисельність робітників, чол. Валова продукція, тис. грн. Питома вага активної частини ОФВ,%
1 2 3 4 5
1 1302 336 3540 51
2 2372 302 3911 48
3 4563 440 5630 61
4 4968 510 5492 32
5 2865 290 2901 41
6 6569 591 9410 39
7 1682 271 1920 37
8 2067 304 2569 42
9 4842 340 3520 37
10 1802 271 2340 46
11 3082 363 3921 48
12 7263 381 8671 51
13 2162 227 1586 52
14 2583 267 3223 53
15 3992 467 4224 34
16 5359 395 3410 41
17 3362 254 1326 60
18 4262 437 4774 86
19 4016 575 2801 49
20 4402 189 3556 87
21 4991 570 6958 83
22 4444 574 5096 67
23 4962 630 8414 69
24 4402 350 2086 43
25 7902 686 5194 92
26 4962 308 1890 76
27 7062 644 4900 81
28 4542 532 1736 59
29 1798 209 2436 64
30 3303 421 2646 69
Побудуємо ряд розподілу плодоконсервних заводів за вартістю ОВФ, утворивши 5 груп з рівними інтервалами. По кожній групі підрахуємо: А) число заводів; Б) середньоспискову чисельність працівників; В) валову продукцію (всього і на одного робітника). Розрахунки представимо в таблиці (табл. 2). Зробимо короткі висновки. Відобразимо ряд розподілу за допомогою графіка. Виконаємо групування заводів за двома ознаками: чисельністю робітників та вартістю ОВФ (табл. 3). Розрахуємо для кожної групи техніко-економічні показники. Зробити висновки. Розв’язання : 1) Побудуємо ряд розподілу плодоконсервних заводів за вартістю ОВФ. Утворимо 5 груп з рівними інтервалами. Оскільки кількість груп дано, то визначаємо величину інтервалу за формулою, n = 5: і = = = 1320 Утворюємо групи інтервалів: 1302 - 2622 2622 - 3942 3942 - 5262 5262 - 6582 6582 - 7902 Групові показники зведемо і отримаємо зведену таблицю результатів групування Групування заводів за вартістю ОВФ Таблиця 2 Групи заводів за вартістю ОВФ Кількість заводів Чисельність робітників Валова продукція Фондовіддача, грн.
Всього, тис. грн. На 1 робітника, грн.
1302 - 2622 8 2187 21525 9,84 0,63
2622 - 3942 4 1328 10794 8,13 0,39
3942 - 5262 13 5922 56177 9,48 0,43
5262 - 6582 2 986 12840 13 0,48
6582 - 7902 3 1711 18765 10,96 0,38
Разом 30 12134 120081 48,63
Висновок : в результаті проведеного простого групування плодоконсервних заводів за вартістю ОВФ, можна зробити наступні висновки: з 5 груп у IIІ групі знаходиться найбільше заводів – 13. У цій групі найбільша чисельність робітників – 5922 чол. та валова продукція – 56177 тис.грн. Відобразимо ряд за допомогою графіка
мал. 1. Групи заводів за розміром вартості ОВФ
2) Виконаємо групування заводів за двома ознаками: чисельністю робітників та вартістю ОВФ. Розрахуємо для кожної групи техніко-економічні показники. Розрахунки представимо в табличній формі (табл.2.3.). Визначаємо величину інтервалу і = = = 99,4 Утворюємо групи інтервалів: 189 – 288,4 288,4 – 387,8 387,8 – 487,2 487,2 – 586,6 586,6 - 686 Комбінаційне групування Групування плодоконсервних заводів по групах за чисельністю робітників та підгрупах за вартістю ОВФ Таблиця 2 Групи заводів за середньосп. чисельністю робітників, чол. Підгрупи заводів за вартістю ОВФ, тис. грн. Кільк. заводів Валова продукція Фондовіддача, грн.
всього, тис. грн. на 1 робітника, грн.
189–288,4 1302 - 2622 5 11505 9,24 0,53
2622 - 3942 1 1326 5,22 0,18
3942 - 5262 1 3556 18,81 0,36
5262 - 6582 - - - -
6582 - 7902 - - - -
Разом - 7 16387 33,27 -
288,4-387,8 1302 - 2622 3 10020 10,63 0,80
2622 - 3942 2 6822 10,44 0,52
3942 - 5262 3 7496 7,51 0,23
5262 - 6582 - - - -
6582 - 7902 1 8671 22,75 0,53
Разом - 9 33009 51,35 -
387,8–487,2 1302 - 2622 - - - -
2622 - 3942 1 2646 6,28 0,0,36
3942 - 5262 3 14628 10,88 0,51
5262 - 6582 1 3410 8,63 0,28
6582 - 7902 - - - .
Разом - 5 20684 25,80 -
487,2–586,6 1302 - 2622 - - - -
2622 - 3942 - - - -
3942 - 5262 5 22083 7,99 0,43
5262 - 6582 - - - -
6582 - 7902 - - - -
Разом - 5 22083 7,99 -
586,6-686 1302 - 2622 - - - -
2622 - 3942 - - - -
3942 - 5262 1 8414 13,35 0,77
5262 - 6582 1 9410 15,92 0,64
6582 - 7902 2 10094 7,58 0,30
Разом - 4 27918 36,86 -
Всього - 30 120081 155,29 -
Висновок : найчисельнішою є II група. . Валова продукція у ІІ групі також найбіша і становить 33009 тис.грн. Завдання 2. Використовуючи ряд розподілу за вартістю ОВФ (табл.2) обчислити: а) середню вартість ОВФ в розрахунку на один завод; б) моду даного ряду; в) медіану; г) середнє лінійне відхилення. Розв’язання : а) ознаку X обчислимо як середину інтервалів груп. Для цього до нижньої межі додамо верхню і поділимо на два, тоді середня вартість ОВФ буде становити: = ; Групи заводів за вартістю ОВФ, тис. грн. Середина інтервалу Кількість заводів
X F X*F
1302 - 2622 1962 8 15696
2622 - 3942 3382 4 13128
3942 - 5262 4602 13 59826
5262 - 6582 5922 2 11844
6582 - 7902 7242 3 21726
Разом 23010 30 122220
= = 4074 грн. б) Для визначення моди знаходимо модальний інтервал, якому відповідає найбільша частота, тобто модальний інтервал буде в межах : 3972 - 5292 Мо = Мо = 3942+1320 = 4507,7 Отже, найбільш розповсюдженою величиною вартості ОВФ є 4507,7грн. в) Для визначення медіани знайдемо медіанний інтервал. Для цього знайдемо кумулятивні частоти .Так як кумулятивна частота медіанного інтервалу повинна бути більшою або рівною півсумі частот ( ), то медіанний інтервал відповідає кумулятивній частоті 13 і рівний (3942 - 5262): Ме = — початкове значення інтервалу, що містить медіану; — величина медіанного інтервалу; — сума частот ряду; — сума накопичених частот, що передують медіанному інтервалу; — частота медіанного інтервалу. = = 15; Ме = 3942 + 1320 = 4246,6 Отже, 50% заводів мають вартість ОВФ більше ніж 4246,6 грн., а інші 50% - менше ніж 4246,6 грн. г) середнє лінійне відхилення 4.Будуємо розрахункову таблицю для знаходження середнього лінійного відхилення: Табл.6. Розрахункова таблиця Групи заводів за вартістю ОВФ, тис. грн. Середина інтервалу Кількість заводів
X F |X-Xс| |X-Xс|*F
1302 - 2622 1962 8 2112 16896
2622 - 3942 3382 4 692 2768
3942 - 5262 4602 13 528 6864
5262 - 6582 5922 2 1848 3696
6582 - 7902 7242 3 3168 9504
Разом 23010 30
39728
== 1324,267 грн. Середній модуль відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої величини вартості ОВФ становить 1324,267 грн. Завдання 3. На основі даних про ОВФ заводів (Завд. 1) визначимо : розмах варіації; дисперсію; середнє квадратичне відхилення; коефіцієнт варіації; Пояснимо економічний зміст розрахованих показників. 1) Розмах варіацій для даного інтервального ряду визначається: R = Xmax – Xmin; R = 7902 - 1302 = 6600 грн. 2) дисперсія ?2 = ; Табл.7. Розрахункова таблиця Групи заводів за вартістю ОВФ, тис. грн. Середина інтервалу Кількість заводів
X F |X-Xс| |X-Xс|2 |X-Xс|2F
1302 - 2622 1962 8 2112 4460544 35684352
2622 - 3942 3382 4 692 478864 1915456
3942 - 5262 4602 13 528 278784 3624192
5262 - 6582 5922 2 1848 3415104 6830208
6582 - 7902 7242 3 3168 10036224 30108672
Разом 23010 30
78162880
?2 = 78162880/30= 2605429 грн. Чим більша дисперсія, тим більше розсіювання даних ряду розподілу. Про наш ряд розподілу можна сказати, що він характеризується великим розсіюванням даних. середнє квадратичне відхилення = = 1614,134 грн. Чим меншим є середнє квадратичне відхилення тим типовішою є середня і тим більшою є однорідна сукупність. 4) Відносною мірою варіації е коефіцієнт варіації, що дозволяє порівнювати ступінь варіації ознаки по ряду: = = =0,396 або 39,6 % Якщо коефіцієнт варіації менше 33% це значить, що сукупність однорідна, якщо більше 33%, то сукупність неоднорідна. В нашому випадку сукупність є неоднорідною, оскільки 39,6% < 33%. Отже, сукупність неоднорідна, а середня - типова. Завдання 4. Використовуючи вихідні дані (Завд. 1) побудуємо кореляційну таблицю для дослідження зв’язку між розміром валової продукції та вартістю ОВФ. знайдемо рівняння регресії; зобразимо емпіричні та теоретичні дані на графіку; перевіримо істотність зв’язку за допомогою F- критерію з рівнем істотності = 0,05; Поясніть економічну сутність обчислених показників. обчислимо лінійний коефіцієнт і кореляційне співвідношення; Розв’язання : 1) Використовуючи вихідні дані побудуємо кореляційну таблицю для дослідження зв’язку між розміром валової продукції та вартістю ОВФ: Кореляційна таблиця для дослідження зв’язку між розміром валової продукції та вартістю ОВФ Таблиця 3 № заводу
ОВФ, тис. х
Вал. прод. Тис. грн. у
х²
у²
ху
1 1302 3540 12531600 1695204 4609080
2 2372 3911 15295921 5626384 9276892
3 4563 5630 31696900 20820969 25689690
4 4968 5492 30162064 24681024 27284256
5 2865 2901 8415801 8208225 8311365
6 6569 9410 88548100 43151761 61814290
7 1682 1920 3686400 2829124 3229440
8 2067 2569 6599761 4272489 5310123
9 4842 3520 12390400 23444964 17043840
10 1802 2340 5475600 3247204 4216680
11 3082 3921 15374241 9498724 12084522
12 7263 8671 75186241 52751169 62977473
13 2162 1586 2515396 4674244 3428932
14 2583 3223 10387729 6671889 8325009
15 3992 4224 17842176 15936064 16862208
16 5359 3410 11628100 28718881 18274190
17 3362 1326 1758276 11303044 4458012
18 4262 4774 22791076 18164644 20346788
19 4016 2801 7845601 16128256 11248816
20 4402 3556 12645136 19377604 15653512
21 4991 6958 48413764 24910081 34727378
22 4444 5096 25969216 19749136 22646624
23 4962 8414 70795396 24621444 41750268
24 4402 2086 4351396 19377604 9182572
25 7902 5194 26977636 62441604 41042988
26 4962 1890 3572100 24621444 9378180
27 7062 4900 24010000 49871844 34603800
28 4542 1736 3013696 20629764 7884912
29 1798 2436 5934096 3232804 4379928
30 3303 2646 7001316 10909809 8739738
Разом 121883 120081 612815135 581567401 554781506
Сер. знач. 4062,7667 4002,7 20427171,2 19385580,03 18492717
Таблиця 3.Продовження № заводу
Yx
(у-у)²
(Ух- У)2
(Y- Yx)²
1 1864,00 5017580,22 318096 2808961
2 1860,77 5032088,95 37249 4203450
3 3558,08 298028,58 2328676 4292852
4 3871,82 53906,05 1926544 2624973
5 2242,68 3464501,99 1447209 433381,6
6 5112,08 1016219,52 28153636 18472141
7 1326,24 7715935,21 4769856 352547,6
8 1624,49 6147957,63 2356225 892094,5
9 3774,21 108758,64 341056 64624,88
10 1419,20 7208131,09 3111696 847865,8
11 2410,79 2866969,93 33489 2280743
12 5649,70 2389192,36 20857489 9128246
13 1698,09 5788419,57 6340324 12563,39
14 2024,22 4325466,08 776161 1437063
15 3115,74 976656,03 14400 1228238
16 4174,72 5001,46 481636 584798,2
17 2627,70 2179473,61 7717284 1694412
18 3324,90 606992,09 448900 2099882
19 3134,33 940253,90 1697809 111111
20 3433,36 449761,42 300304 15041,19
21 3889,64 45949,89 8145316 9414828
22 3465,89 407179,54 984064 2657246
23 3867,18 56085,99 18576100 20673616
24 3433,36 449761,42 4072324 1815372
25 6144,72 4164531,06 1188100 903865,2
26 3867,18 56085,99 4901796 3909222
27 5493,99 1932076,86 633616 352826,1
28 3541,81 316055,47 5607424 3260957
29 1416,11 7224779,44 2782224 1040186
30 2581,99 2316513,94 2125764 4097,259
Сер. знач. 95949,00 73560313,92 132474767 97617206
Разом 3198,30 2452010,46 4415825,6 3253907
2) Для розрахунку параметричного рівняння регресії ми побудували розрахункову таблицю. Використовуємо рівняння прямої: ,
Рівняння кореляційного зв’язку має вигляд:
3) зобразимо емпіричні та теоретичні дані на графіку:
мал. 2. Графік емпіричних та теоретичних даних 4) Лінійний коефіцієнт кореляції визначається:
(млн. грн.) Таке значення лінійного коефіцієнта кореляції (0,626) свідчить про наявність сильного прямого зв’язку.
Коефіцієнт детермінації розраховується: , або 65,4% Коефіцієнт детермінації показує, що варіація результативної ознаки (розмір валової продукції) на 65,4% залежить від вартості ОВФ, а на 34,6% від інших факторів. Кореляційне співвідношення розраховується за допомогою формули: млн. грн. 5) Визначимо число ступенів вільності між групової дисперсії і середню з групових дисперсій : = m-1, = n-m m - кількість груп, n – кількість елементів сукупності; = 5 – 1=4 = 30 – 5=25 Розрахуємо критерії Фішера для того, щоб підтвердити істотність зв’язку допустимого F-критерію при рівній значимості L=0,05;
Оскільки , то зв’язок буде істотним. Завдання 5 Для порівняльного аналізу зростання ОФ приведемо ряди динаміки до спільної основи. Нанесемо відносні величини динаміки на лінійний графік. Визначимо коефіцієнт випередження. Зробимо висновки. Для динаміки вартості меліоративних фондів обчислимо: Темпи росту Абсолютні та відносні прирости Абсолютні значення одного проценту приросту Абсолютний середній приріст Середній темп росту та приросту Таблиця 4 Роки 1980 1985 1990 1995 2000 2005
Всього ОФ 1904 2356 2542 3010 3752 3996
Меліоративні фонди 356 420 705 754 798 806
Привернемо ряд динаміки до спільної основи. Для цього 1980 р. беремо за 100, тоді 1975р.=2356/420=5,61. Таблиця 5 Роки 1980 1985 1990 1995 2000 2005
Всьго ОФ 100 561 361 399 470 496
Меліоративні фонди 100 420 705 754 798 806
мал. 3. Відносні величини динаміки Спільна основа Таблиця 6 Роки Меліоративні фонди Абсолютний приріст Темпи росту Темпи приросту Абсолютні значення 1 %
Розв’язання : 1) темпи ростуТемп росту є відносною характеристикою інтенсивності рівнів ряду динаміки тобто він характеризує відносну швидкість їх зміни. Обчислюється зіставляючи два рівні ряду за формулою: - для ланцюгового темпу росту; - для базисного темпу росту; - рівень ряду з яким роблять співставлення, - базисний рівень ряду, - попередній рівень ряду За базисний рік приймемо 1980. 2) абсолютні та відносні прирости Показує наскільки одиниць власного вимірювання підвищується або знижується рівень за певний проміжок часу, тобто характеризує абсолютну швидкість зміни рівнів ряду динаміки. Він обчислюється як різниця рівнів ряду динаміки: - для ланцюгового темпу росту; - для базисного темпу росту - рівень ряду з яким роблять співставлення; - базисний рівень ряду; - попередній рівень ряду 3) абсолютні значення одного проценту приросту Показує що являє собою в абсолютному вираженні кожен % приросту, тобто який він має реальний зміст. Обчислюється діленням абсолютного приросту на темп приросту за той самий період:
4) абсолютний середній приріст Середній приріст показує на скільки в середньому за одиницю часу, в нашому випадку за рік, змінювались рівні ряду динаміки.
5)середній темп росту та приросту
Середній темп приросту обчислюється як різниця між темпом росту і 1 (100%): або 78%.
Завдання 6 Виконаємо аналітичне вирівнювання ряду по прямій та побудуємо тренд. Розрахунки представимо графічно. Рівняння лінії тренду:
Спосіб найменших квадратів передбачає систему рівнянь:
Таблиця 7 Роки
ОФ Y T
T2
YT Yt
1980 1904 -3 9 -5712 1904,952
1985 2356 -2 4 -4712 2245,524
1990 2542 -1 1 -2542 2586,095
1995 3010 1 1 3010 3267,238
2000 3752 2 4 7504 3607,81
2005 3996 3 9 11988 3948,381
Разом 17560 0 28 9536 17560
При підстановці ?t = 0 у систему рівнянь отримуємо:
А0 = 17560 = 2926,67 6
А1= 9536 = 340,57 28
Yt=3926,667 + 340,5714t
мал. 4 Аналітичне вирівнювання ряду Завдання 7 Для встановлення ступеню зрілості перевіреного взірця (400 кг) розрізано 10 кавунів загальною вагою 40 кг, із яких зрілих плодів було 30 кг. Визначити з ймовірністю 0,954 границі частки дозрілих кавунів у всій партії продукції (30 000кг). Розв’язок: 1)Визначаємо границі частки за формулою: ; W = 30 = 0,075 400 2)Визначаємо границі частки:
