5.3. Зразок виконання модульної лабораторної роботи № 2 Модульна лабораторна робота № 2 “Макроеконометричні моделі прогнозування” Етапа виконання роботи Постановка завдання прогнозування. Специфікація моделі. Оцінювання пораметрів моделі. Верифікація моделі. Аналіз результатів моделювання. Прогноз на основіпобудованої моделі. Етап 1. Постановка завдання прогнозування Виходячи з сукупності спостережень за обсягом валового внутришнього продукту країни - (Y), зайнятостю у народному господарстве (чисельність працюючих) - (х1) і капіталу (основні фонди) - (х2) (табл. 5.4.1), необхідно побудувати економетричну модель виробничої функції і на основі одержаних результатів зробити економічний аналіз та прогноз її основних показників. Таблиця 5.4.1. Номер спостереження Обсяг ВВП, Y (млрд.грн) Чисельність працюючих, х1 (млн.чол) Вартість основних фондів, х2 (млрд.грн.)
1 14 4 6
2 14 4 7
3 15 4,5 8
4 15,5 4,5 9
5 16 5 10
6 16 5,5 10,5
7 16,5 6 10,5
8 17 6 11
9 17,5 7 11,5
10 18.0 8 11
11 18,0 8,5 12
12 18,5 9 12,5
Етап 2. Специфікація моделі. Припустимо, що виробнича функція визначається лінійною залежністю виду: . (5.4.1) де - кількість виробництва продукту, позначка ^ відповідає теоретичним (розрахованим за теоретичною моделлю) значенням змінних; х1, х2, ... , хk- виробничі чинники; - постійні величини, або параметри функції, позначка ^ відповідає теоретичним (розрахованим за теоретичною моделлю) значенням параметрів. Модель (5.4.1) встановлює теоретичну функцію залежності між Y та чинниками Xj, але статистичні спостереження за цими величинами ніколи не співпадуть з функціональною залежністю (5.4.1). Тому необхідно замінити теоретичну функціональну модель ймовірностною моделлю (5.4.2), формулювання якої називається специфікацією. Yi = ao + a1xi1 + a2xi2 +...+ akxik + ui,; (5.4.2) де ui - залишки, стохастична величина відхилення i-го спостереження Y від теоретичного значення функції (5.4.1); і - номер спостереження, i=1,2,...п. Специфікація моделі (5.4.2) включає функцію залежності Y від Xj, та закон розподілу ймовірностей величин ui. Етап 3. Оцінювання параметрів моделі. Запишемо регресійну модель (5.4.2) в матричному вигляді: Y = XA + u, (5.4.3) де Y - вектор залежної змінної, розмірності (n х 1); X - матриця пояснюючих змінних, розмірності (n x (k+1)); A - вектор невідомих параметрів моделі ((k+1) x 1); u - вектор випадкових залишків розмірності (n x 1). За даними таблиці 5.4.1. запишемо матриці А = X= Y= U= Теоретична модель має вигляд = X(, (5.4.4) де , - оцінки залежної змінної та параметрів моделі. Отже, залишки дорівнюють = Y - (5.4.5) Чим менше відхилення (5.4.5), тим краще економетрична модель (5.4.3) відповідає теоретичній моделі (5.4.4). Метод найменших квадратів (МНК) - обчислювальний спосіб, який забезпечує мінімізацію суми квадратів залишків при фіксованій множині даних . (5.4.6) МНК - оцінка вектора А є вектор ( , який при підстановці в (5.4.6) мінімізує uТu незалежно від характеру розподілу залишків. Цю оцінку можна знайти, якщо похідну функції (5.4.6) по ( прирівняти до нульового вектора. Звідси одержимо систему нормальних рівнянь: (XTX)(=XTY (5.4.7) та (=(XТX)-1XТY. (5.4.8) Розрахуємо оцінки параметрів моделі (5.4.4) за формулою (5.4.8). =(XTX)-1XTY =(= Запишемо виробничу функцію, тобо розраховану теоретичну модель: = 9.814 + 0.4318x1 + 0.3961x2 (5.4.9) Етап 4. Верифікація моделі. Верифікація моделі - це визначення якості пристосування моделі до вибіркових даних спостережень. Для з'ясування правильності побудованої моделі треба зробити три важливих перевірки: - перш за все перевіряється відповідність одержаних результатів економічним властивостям зв'язку між змінними, які були сформульовані на першому етапі; - друга перевірка відповідає верифікації моделі, для чого звертаються до деяких допущень, щодо поведінки залишків, які дозволяють застосувати статистичні критерії перевірки значущості оцінених параметрів та моделі в цілому; - останніми робляться перевірки всіх прийнятих попередніх допущень відносно залишків ui, щоб встановити міру їх реалістичності. Якщо допущення виявляються неправдоподібними, то довірчі інтервали та точкові значення оцінок не повинні сприйматися всерйоз і використовуватися для економічного аналізу. Зупинимося на розгляді другої перевірки, оскільки про першу перевірку мова піде в економічному аналізі результату моделювання, а третя перевірка розглядається в наступних завданнях. Перевірка статистичної значущості рівняння регресії Мірою середнього розсіювання спостережень навкруги теоретичної моделі є оцінка дисперсії залишків (u2 (u2=(uТu)/(n-k-1), (5.4.9) де n - кількість спостережень, k - кількість пояснюючих змінних. Можна звернутися до одного з трьох еквівалентних методів перевірки: 1) до таблиці аналізу дисперсії, 2) до розрахунку коефіцієнту кореляції між Y та , 3) до визначення стандартної похибки оцінки залишків, (u. Зупинимося на характеристиці дисперсійного аналізу. Допускаючи, що залишки в (2.1.8) нормально розподілені, можна перевірити адекватність моделі реальному процесу за допомогою статистик R2, R та F (коефіцієнтів детермінації, множинної кореляції, критерія Фішера), розрахунок яких узагальнюється в таблиці дисперсійного аналізу (табл.2.2) залежної змінної Y. Таблиця 2.2 Компоненти дисперсії Сума квадратів відхилень Ступені свободи Середній квадрат (дисперсія)
Регресія Sх=((-)2=Sy-Su k бx2=Sx/k
Залишки Su=((-)2=UТU n - k - 1 бu2=Su/(n-k-1)
Загальна дисперсія Sy=(-)2=YТY-n n - 1 (y2=Sy/(n-1)
Доля загальної дисперсії Y, яка пояснюється регресією У по X1, X2,..., Xk, вимірюється коефіцієнтом детермінації: R2 = = (5.4.10) Тісноту лінійного зв'язку Y з пояснюючими змінними характеризує коефіцієнт множинної кореляції = (5.4.11) Значущисть коефіцієнта кореляції і моделі (5.4.4) в цілому можна перевірити за допомогою F-cтатистики: (5.4.12) або (5.4.13) критичне значення F знаходять по статистичних таблицях F-розподілу (критерія Фішера), для обраного рівня значущості ( ((=0,01, (=0,05 або 1% та 5% ймовірності похибки) та степенях свободи k і (n-k-1). Фактичне значення F порівнюється з табличним. Якщо Fфакт.>Fтабл. то можна стверджувати, що коефіцієнт кореляції значущий, а економетрична модель (5.4.3) достовірна, тобто нульова гіпотеза про неіснування впливу пояснюючих змінних X на залежну змінну Y повинна бути відхилена з ймовірністю 95%. Зробимо відповідні розрахунки для побудованої моделі (Зазначимо, що розрахунки нижченаведених статистик можна отримати за допомогою функції ЛИНЕЙНАЯ програми EXCEL. Визначимо коефіцієнт детермінації за формулою (5.4.10): 2= =266.767; ATXTY= (9.8838 0.4231 0.3962) ( = 3226.44; YTY=(14 14 15 15.5 16 16 16.5 17 17.5 18 18 18.5) (16.5 ==3227; R2 = = 0.978, R= = 0.988. Отже, варіація випуску продукції Y майже на 97% пояснюється варіацією трудових ресурсів х1 і виробничих фондів х2. Цей зв’язок досить сильний, оскільки коефіцієнт множинної кореляції R=0.99. Перевіримо значущість побудованої моделі за допомогою F статистики F= = =201.7624 F таб(a=0.05; с/с=(2;9)) = 4.2. Тобо F>Fтаб, що говорить про значущість моделі. Перевірка статистичної значущості окремих коефіцієнтів регресії Достовірність економетричної моделі досягається також за рахунок значущості її окремих параметрів. Для перевірки значущості коефіціентів регресії ао, а1, а2,...,аn використовують критерій Ст'юдента, або t-критерій. Відношення оцінки параметра aj до стандартної похибки його оцінки ( (j має t-розподіл, тобто (5.4.14) Одержане за (5.4.14) значення t порівнюється з табличним при вибраному рівні довіри (() і заданих ступенях свободи (n-k-1). Якщо фактичне значення більше табличного, то відповідний параметр моделі є значущим, тобто нульова гіпотеза про aj=0 відхиляється з ймовірністю (1-()100%. Дисперсії (2(j (діагональні елементи) та коваріації (позадіагональні елементи) оцінок параметрів аj дає коваріаційна матриця D(): D()=M [ (-A)(-A)T], або D()=б2u(ХТХ)-1, (5.4.15) де А - вектор справжніх значень параметрів в регресії . Дисперсії оцінок параметрів моделі дорівнюють: 2aj = б2u djj (5.4.16) де djj - j-й діагональний елемент матриці похибок (ХTХ)-1. Враховуючи (5.4.16), t-статистику для j-го параметра моделі можна розрахувати як tj= / бu (5.4.17) Розрахуємо спочатку б2u: б2u= (5.4.18) YTY=3227; ATXTY=3226.44 ; YТY-AТXТY=3227-3226.44=0.56 Дисперсія залишків дорівнює: б2u==0.06 Тоді матриця коваріацій оцінок параметрів моделі буде дорівнювати : D()=0.062 = Визначимо дисперсії оцінок параметрів регресії. В нашому прикладі це діагональні елементи матриці D() . Отже дисперсії і середьоквадратичні відхилення (стандартні помилки) оцінок параметрів моделі дорівнюють: 0.16, 0.4 0.0079, 0.089 0.006, a2= 0.077 Одержані середньоквадратичні відхилення використовуються для визначення довірчих інтервалів параметрів і для перевірки їх значущості. Перевіримо значущість оцінок , параметрів економетричної моделі = 98838+0.4231х1+0.3962х2 Знайдемо разрахункове значення t- критерію: t0 =; t1 =; t2 =; t= Всі розраховані t-статистики більше критичного значення, яке знаходимо в таблицях t-розподілу (tтаб((=0.05, c/c=9)=2.269). Отже параметри статистично значимі з ймовірністю 95%. Формулу (2.20) можна використовувати безпосередньо (без аналізу дисперсії) для статистичної перевірки нульової гіпотези відносно параметрів аj. Розрахунок довірчого інтервалу для аj виконується за формулою (5.4.19): (5.4.19) де - точкова оцінка параметра aj, одержана за 1МНК; t(, n-k-1 - табличне значення t-критерію для рівня значущості ( та (n-k-1) ступенів свободи. Якщо aj несуттєво відрізняється від нуля, то довірчий інтервал включає нульове значення aj. Довірчі інтервали параметрів моделі дорівнюють: а1 = ( tтаб(ба1=0.4318(2.269(0.089=0.4318 ( 0.2019 0.23( а1(0.64; a2 = ( tтаб(ба2=0.3962 ( 2.269(0.077=0.3962 ( 0.1747 0.22(a2(0.57. Ці ж результати можна одержати, за допомогою функції ЛИНЕЙН програми EXCEL. Етап 5. Аналіз результатів моделювання. Якщо верифікація моделі підтвердила її значущисть, можна перейти до економічного тлумачення одержаних результатів. Виділимо такі характеристики для проведення економічного аналізу: середня ефективность фактора: (j=j (5.4.20) гранична ефективність фактора: (j= (y/(xj=aj (5.4.21) еластичність функції за фактором : Ej== (j/(j (5.4.22) міра ефективності використання ресурсів (=((y/(xj) / xj (5.4.23) гранична норма заміщення k-го фактора на r-ий фактор: hrk= -(r/(k (5.4.24) сумарна еластичність Е=(jEj (5.4.25) Розрахуємо дані показники для виробничої функції =9.8+0.432x1+0.396x2 Всі показники розрахуємо через середні значення змінних. Оскільки то, середня величина випуску продукції за моделю: ===16.351(16.4 млрд.грн. а також середня величина трудових ресурсів і виробничих фондів має значення = = 6 млрд.грн.. =16.4 млрд.грн. Тоді для фактора х1 середня продуктивність трудових ресурсів /х1=16.4/6=2.7333, тобто середня продуктивність праці (за умови, що х2-const) дорівнює 2.73 грн./люд.-год. Гранична продуктивність праці має значння: 0.23((0.64 тобто на одну трудову одиницю припадає від 0.23 до 0.64 млрд.грн. продукції (при незмінному обсязі виробничих фондів). Еластичність випуску продукції по трудових ресурсах визначимо як: , тобто на 0.15% збільшиться випуск продукції, якщо трудові ресурси зростуть на 1%. Міра ефективності використання трудових ресурсів: (, отже граничний приріст випуску продукції на одиницю трудових ресурсів дорівнює 0.07 одиниць, тобто досить незначний . Обчислимо ті ж самі показники для фактора х2-виробничих фондів. Середня фондовіддача: , тобто на одну одиницю виробничих фондів припадає (в середньому ) 1.66 одиниць продукції (при фіксованому значенні (х1) трудових ресурсів) Граничний показник фондовіддачі має значення: 0.396, тобто на одну одиницю виробничих фондів припадає 0.4 грн. продукції (при незмінному обсязі трудових ресурсів). Еластичність випуску продукції по виробничтх фондах визначається як: = , тобто на 0.24% збільшиться випуск продукції, якщо виробничі фонди збільшаться на 1% . Міра ефективності використання виробничих фондів: (2, тобто граничний приріст випуску продукції на одиницю виробничих фондів дорівнює 0.04 одиниці. Визначимо показники, які стосуються обох факторів. Гранична норма заміщення першого фактора другим: , тобто цей показних харакреризує те, що трудові ресурси і виробничі фонди при сталому значенні випуску продукції можуть бути взаємно заміщеними. В нашому прикладі зменшення трудових ресурсів на одиницю, при незмінному випуску продукції, передбачає підвищення обсягу виробничих фондів на 1,07 одиниць. Загальна еластичність випуску продукції обох чинників дорівнює Е1+Е2=0.15+0.239=0.389. Оскільки сумарна еластичність менше 1, обсяг виробництва змінюється по відношенню до зміни чинників виробництва в меншій пропорції. Порівняти вплив трудових ресурсів та виробничих фондів на випуск продукції, можна використовуючи стандартизовані коефіцієнти (. (-коефіцієнти показують на скільки одиниць своїх стандартних помилок змінюється залежна змінна Y, якщо певний j-й фактор змінюється на одну свою стандартну помилку Розрахунки ведуться за наступними формулами: , (5.4.26) Y
Y- (Y-)2 X1-1 X2-2
14 13,92 -2,333 5,444 -2 -3,917
14 14.41 -2333 5,444 -2 -2,917
15 14,93 -1,333 1,778 -1,5 -1,917
15,5 15,32 -0,833 0,694 -1,5 -0,917
16 15,93 -0,333 0,111 -1 0,083
16 16,35 -0,333 0,111 -0,5 0,583
16,5 16,56 0,167 0,028 0 0,583
17 16,76 0,667 0,444 0 1,083
17,5 17,39 1,167 1,361 1 1,583
18 17,63 1,667 2,778 2 1,083
18 18,24 1,667 2,778 2,5 2,083
18,5 18,65 2,167 4,694 3 2,583
; , , . 1=6, 2=9,917. (-коефіцієнти визначаються за формулою: (5.4.27) 0,432*1,758/1,528=0,497 0.396*2,021/1,528=0,524 Таким чином, вплив змінної Х2 (виробничих фондів) на змінну Y (випуск продукції) в 1,054 рази перевищує вплив Х1 . Етап 6. Прогноз на основі побудованої моделі. Перевірка прогнозних властивостей моделі передбачає встановлення різниці між перед бачуваним значенням Yop і фактичним значенням Yo при значеннях пояснюючих змінних Xo в майбутньому періоді. Обчислення прогнозу можна зробити на основі регресії =Xo(. Нехай р є оцінка дійсного значення у0 генеральної сукупності. Тоді з певною ймовірністью для нормального закону розподілу оцінки р потрібно знайти такий інтервал, в якому буде перебувати значення у0 генеральної сукупності, тобто р - t(б0 ( Y0 ( р + t(б0 , (5.4.28) де - стандартна помилка математичного сподівання прогнозу; X0 - прогнозні значення екзогенних змінних . . Для прогнозних значень Х0 = (1 12 12) оцінка регресії =19.715. Знайдемо довірчий інтервал для 1-( = 0,95 або ( = 0,05; ступенях свободи n-k-1= 9. Показник taтаб = 2.269. Тоді
або 19.715-2.269 ( 0.4 ( y0 ( 19.715+2.269(0.4 ; 18.81 ( y0 ( 20.62 . Цей результат означає, що з ймовірністю 95% середне значення випуску продукції слід чекати в інтервалі від 18.81 до 20.62 млрд. грн. при х1 =12 млрд. люд/год та х2 = 12 млрд.грн. Дисперсія прогнозного індивідуального значення: б0(і)2 = бu2(1+XT0(XTX)-1X0) (5.4.29) Знайдемо б0(і)2 = 0.062+0.164 = 0.226. Звідси б0(і) == 0.48. Тоді довірчий інтервал для індивідульного прогнозного значення буде 19.715 - 2.269 - 0.48 ( у0(i) ( 19.715 + 2.269*0.48; 18.62 ( у0(i) ( 20.80. Це означає, що при затратах чинників виробництва х1=12 та х2=12, слід чекати обсяг виробництва продукції в інтервалі 18.62(20.8 млрд.грн. з імовірністю 95%. Y Yo
Х Xo=. Рис. 2.1. Другий член у формулі (5.4.29) залежить від значень Xo, тобто прогнозних значень пояснюючих змінних. Він дорівнює нулю, якщо Xo дорівнює середньому значенню Xj вибірки і тим більше, чим більше Xo відрізняється від середнього (рис.2.1). Похибка прогнозу при t =2 (що відповідає майже 95% рівню довіри) дорівнює 2 і може характеризувати "якість" побудованої моделі. Якщо порядок похибки прогнозу несуттєво відрізняється від порядку середнього значення Y, то, не дивлячись на можливо високе значення коефіціенту R2, прогнозні якості такої моделі погані.
