Застосування похідної до дослідження функції і побудови графіка
План повного дослідження функції
Область визначення
Точки перетину з осями координат (знаки функції), парність, періодичність.
Неперервність, точки розриву (їхній рід). Вертикальні асимптоти.
Монотонність і точки екстремуму.
Опуклість і точки перегину
Дослідження на нескінченості: горизонтальні та похилі асимптоти.
Побудова графіку
Область значень функції і обмеженість на ОДЗ.
Дослідження на монотонність (проміжки зростання, спадання)
Теорема 1. Якщо функція f неперервна на [a,b], диференційована на (а;b)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , x є(а; b) то f зростаюча (спадна) на [а,b].
Доведення. Нехай EMBED Equation.3 < EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 є [а,b] . Тоді за теоремою Лагранжа існує точка с є ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ) така, що EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (с) ( EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 ).
EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 >0, то знак правої частини залежить від знаку EMBED Equation.3 (с). Якщо EMBED Equation.3 (с) EMBED Equation.3 0, то
EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 0 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , тобто функція зростаюча на [a,b]. Якщо EMBED Equation.3 (с) EMBED Equation.3 0, то EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 0 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , тобто функція cпадна на [a,b].
Приклад. EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 +2x, ОДЗ: х є R
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 -3x +2. Знайдемо проміжки сталих знаків EMBED Equation.3 . Оскільки EMBED Equation.3 елементарна функція, то вона може змінювати знаки тільки в точках, де вона перетворюється в нуль або не існує. Її ОДЗ: х є R. Знайдемо точки, в яких вона рівна нулю:
+ - + EMBED Equation.3 1 2 х у
EMBED Equation.3 =0
EMBED Equation.3 -3x +2 =0
EMBED Equation.3 =1; EMBED Equation.3 =2 .
Нанесемо на числову пряму область визначення початкової функції y, і точки, де її похідна EMBED Equation.3 може змінювати знак і визначимо знаки EMBED Equation.3 . Отже, f зростаюча на (- EMBED Equation.3 ; 1] і на [2;+ EMBED Equation.3 ), f спадна на [1;2].
Дослідження на екстремуми
Точка EMBED Equation.3 називається точкою максимуму функції f на множині А, якщо в цій точці функція приймає найбільше значення: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , x є А (перший малюнок).
Точка EMBED Equation.3 називається точкою мінімуму функції f на множині А, якщо в цій точці функція приймає найменше значення: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , x є А (другий малюнок). SHAPE \* MERGEFORMAT
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 k а b c d n max min
Точки максимуму і мінімуму на множині А називаються точками екстремуму функції f на множині А. Такі екстремуми ще називають абсолютними екстремумами на множині А.
Якщо точка EMBED Equation.3 є точкою екстремуму (max або min) функції f в деякому своєму околі, то EMBED Equation.3 називається точкою локального або місцевого екстремуму (max або min) функції f.
На третьому малюнку точки a,b,c,d є точками локальних екстремумів, точки k,n є точками абсолютних екстремумів функції на області визначення.
Надалі розглядаємо в основному локальні екстремуми.
Теорема 2 (необхідна умова екстремуму). Якщо точка EMBED Equation.3 є точкою локального екстремуму f то похідна в цій точці не існує або дорівнює 0.
Доведення. Нехай EMBED Equation.3 є точкою локального мінімуму f і існує похідна EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Розглянемо окремо ліву і праву границю:
EMBED Equation.3 , бо чисельник EMBED Equation.3 0, а знаменник < 0; EMBED Equation.3 , бо чисельник залишається EMBED Equation.3 0, а знаменник вже > 0. Оскільки ця границя існує, то це можливо тільки коли ліва і права границі рівні нулю, тобто EMBED Equation.3 =0.
Означення. Точки в яких похідна дорівнює нулю або не існує називають критичними точками. Ці точки є підозрілими на екстремум.
Теорема 3 (перша достатня умова екстремуму). Якщо f неперервна в деякому околі т. EMBED Equation.3 і при переході через цю точку похідна EMBED Equation.3 змінює знак , то EMBED Equation.3 є точкою екстремуму функції f.
max y + - y’ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Доведення на малюнку:
- + у’ 0 x min y
Приклад. EMBED Equation.3 ОДОДЗ: x єR
EMBED Equation.3 . Знаходимо критичні точки: ОДЗ: x є R, тобто EMBED Equation.3 існує всюди.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 х=0 – точка мінімуму, EMBED Equation.3 .
Теорема 4 (друга достатня умова екстремуму). Нехай функція двічі диференційована в деякому околі точки EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 =0, а EMBED Equation.3 >0 ( EMBED Equation.3 <0), то EMBED Equation.3 є точкою мінімуму (максимуму) функції.
Доведення. За теоремою Тейлора в достатньо малому околі точки EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 . Отже, якщо EMBED Equation.3 >0, то EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 в деякому околі точки EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 є точкою мінімуму функції.
Приклад. y=3x- EMBED Equation.3 D(y): x Є R
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 D( EMBED Equation.3 ) : x є R EMBED Equation.3 3-3 EMBED Equation.3 =0 x= EMBED Equation.3 1-критичні точки
EMBED Equation.3 = - 6х EMBED Equation.3 (1)= - 6 < 0, то х=1 є точкою максимуму функції, y(1)=2,
EMBED Equation.3 (-1)= 6 > 0, то х= -1 є точкою мінімуму функції, y(-1)= -2.
Дослідження на опуклість
a x1 x2 b
a x1 x2 b
Нехай функція f неперервна на (а,b)
Функція називається опуклою вниз (вгнутою) на інтервалі (а,b), якщо для будь-яких точок EMBED Equation.3 із (а,b) графік функції на проміжку ( EMBED Equation.3 ) лежить не вище від січної, що проходить через точки з абсцисами EMBED Equation.3 . Позначається: f EMBED Equation.3 на (а,b).
Функція буде строго опуклою вниз на (а,b), якщо – графік на ( EMBED Equation.3 ) лежить нижче від січної.
Функція називається опуклою вверх (опуклою) на інтервалі (а,b), якщо для будь-яких точок EMBED Equation.3 із (а,b) графік функції на проміжку ( EMBED Equation.3 ) лежить не нижче від січної, що проходить через точки з абсцисами EMBED Equation.3 . Позначається: f EMBED Equation.3 (а,b).
Функція буде строго опуклою вверх на (а,b), якщо – графік на ( EMBED Equation.3 ) лежить вище від січної.
Якщо функція неперервна в деякому околі точки EMBED Equation.3 і при переході через точку EMBED Equation.3 функція змінює опуклість то ця точка називається точкою перегину функції.
Приклади. EMBED Equation.3 - опукла вниз на R. y=ln x – опукла вверх на (0, EMBED Equation.3 ).
EMBED Equation.3 - опукла вверх на ( EMBED Equation.3 ,0], опукла вниз на [0, EMBED Equation.3 ), і точка х=0 є її точкою перегину.
SHAPE \* MERGEFORMAT 1
Розглянемо графік опуклої вниз функції. Нехай EMBED Equation.3 . Побудуємо дотичні в цих точках. Позначимо кути, які дотичні утворюють з додатнім напрямком Ох EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 відповідно. EMBED Equation.3 1 EMBED Equation.3 2 EMBED Equation.3 3 х1 х2 х3
З малюнка бачимо, що кут зростає при зростанні х:
EMBED Equation.3 < EMBED Equation.3 < EMBED Equation.3 (кут вважаємо з проміжку [ EMBED Equation.3 ]).
Функція tg х зростає на ( EMBED Equation.3 ) то
tg EMBED Equation.3 <tg EMBED Equation.3 <tg EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 . А це означає, що EMBED Equation.3 зростаюча функція на даному проміжку.
Для опуклої вверх і диференційованої на (а,b) функції її похідна EMBED Equation.3 на (а,b).
Отже, для того щоб дослідити функцію на опуклість потрібно дослідити на монотонність її похідну EMBED Equation.3 , а для цього шукають EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 . Тому справедливі теореми.
Т.1. Якщо f двічі диференційована на (а,b) і 1) EMBED Equation.3 (x)>0 на (а,b) то f опукла вниз на (а,b);
2) EMBED Equation.3 (х)<0 на (а,b) то f опукла вниз на (а,b).
Т.2. Якщо точка EMBED Equation.3 є (а,b), функція f неперервна на (a,b) і існує друга похідна EMBED Equation.3 зліва і справа від т. EMBED Equation.3 , яка при переході через точку EMBED Equation.3 змінює знак, то EMBED Equation.3 є точкою перегину функції f.
Приклад1. Дослідити на опуклість функцію EMBED Equation.3 .
Функція елементарна, тому неперервна на своїй області визначення, тобто на R.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 – не існує при х=0.
+ - y’’ 0 x т. перегину y EMBED Equation.3 – немає розв’язків.
Наносимо на числову пряму область визначення початкової функції.
Приклад 2. Дослідити на опуклість функцію EMBED Equation.3 .
- + y’’ ½ x т. перегину y Функція елементарна, тому неперервна на своїй області визначення,
тобто на R. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 – існує завжди. EMBED Equation.3 .
Дослідження на асимптоти.
М d
M d M
d
O O O
Означення. Асимптотою графіка функції f(х) називається пряма, до якої наближається точка графіка функції при нескінченному віддаленні від початку координат: d(M, l ) EMBED Equation.3 .
Асимптоти можуть бути вертикальні, горизонтальні і похилі.
Вертикальна пряма з рівнянням EMBED Equation.3 буде вертикальною асимптотою графіка функції f, якщо в точці EMBED Equation.3 є нескінченний розрив, тобто хоча б одна ліва або права границя в цій точці є нескінченністю: EMBED Equation.3 .
Нехай точка графіка М(х,у), y=f(x). Тоді при EMBED Equation.3 d=x- EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 а OM= EMBED Equation.3 .
Приклад. Функція EMBED Equation.3 . ОДЗ: EMBED Equation.3 . В точці 0 – розрив. EMBED Equation.3 – нескінченний розрив (ІІ рід). Вертикальна асимптота х=0. (В такому випадку корисно знайти окремо ліву і праву границю функції в точці розриву.)
Горизонтальна пряма з рівнянням у=b буде асимптотою графіка функції f, якщо EMBED Equation.3 (границя може бути тільки на одній з нескінченостей на + EMBED Equation.3 чи на - EMBED Equation.3 ).
Нехай точка графіка М(х,у), y=f(x). Тоді при EMBED Equation.3 d=f(x)-b EMBED Equation.3 а OM= EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3
- EMBED Equation.3 Приклад. EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 – горизонтальна асимптота на EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 – горизонтальна асимптота на EMBED Equation.3 .
Похила пряма з рівнянням y=kx+b є асимптотою графіка функції f(x), якщо існують і є числами границі EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 (границі можуть бути тільки на одній з нескінченостей на + EMBED Equation.3 чи на - EMBED Equation.3 ).
Приклад. Дослідити на асимптоти на нескінченності функцію EMBED Equation.3 .
ОДЗ: EMBED Equation.3 . Можна шукати границю на нескінченності. EMBED Equation.3 – не число, немає горизонтальної асимптоти. Але може бути похила.
EMBED Equation.3 =1+0=1 – число, k=1,
EMBED Equation.3 – число, b=0. Отже, у=х – похила асимптота на EMBED Equation.3 , тобто одночасно на + EMBED Equation.3 і на - EMBED Equation.3 .
Повне дослідження функції
Приклад. Дослідити функцію і побудувати її графік EMBED Equation.3 .
1) ОДЗ: 1-x EMBED Equation.3 0
x EMBED Equation.3 1
ОДЗ: х є (- EMBED Equation.3 ; 1) EMBED Equation.3 (1; EMBED Equation.3 ).
2) Функція загального вигляду (ні парна ні непарна), тому що ОДЗ не симетрична відносно точки 0. Неперіодична бо область визначення неперіодична (розрив періодично не повторюється).
х=0 у= EMBED Equation.3 =0 А(0;0) у=0 EMBED Equation.3 <0 x=0 та ж точка А(0;0).
Знаки функції. Функція елементарна, тому може змінювати знак тільки в точках, де вона дорівнює нулю, або не існує. Нанесемо на числову пряму область визначення і точку, де функція дорівнює нулю:
- + + у 0 1 х 3) Функція елементарна, то неперервна на ОДЗ, тобто на EMBED Equation.3 . Розрив х=1
EMBED Equation.3 - розрив 2-го роду (нескінченний), тому є вертикальна асимптота в точці 1, х=1 – рівняння вертикальної асимптоти.
4) EMBED Equation.3
Критичні точки:
+ + - + у’ 0 1 3 x min y ОДЗ EMBED Equation.3 х EMBED Equation.3 1
х=1- критична точка
EMBED Equation.3 х=0 ; х=3- критичні точки.
- + - y’’ 0 1 x y
5) EMBED Equation.3 =
= EMBED Equation.3
Критичні точки: х=1, 6х=0, х=0, т.х=0 є точкою перегину, у(0)=0.
6) EMBED Equation.3 немає горизонтальної асимптоти, але може бути похила.
7
2
0 1 3
k= EMBED Equation.3 . b= EMBED Equation.3 Отже, є похила асимптота y=x+2 на EMBED Equation.3 і на EMBED Equation.3 .
7. Графік функції.
8) EMBED Equation.3 , як бачимо з графіка.
Функція необмежена на області визначення.
Дослідження функції на найменше і найбільше значення на відрізку
Якщо функція неперервна на [а,b] то за теоремою Вейєрштраса існує найбільше і найменше значення на цьому відрізку, тобто існують точки EMBED Equation.3 такі, що
EMBED Equation.3 , х є EMBED Equation.3 . Із теорем про монотонність і екстремуми отримуємо наступний план дослідження функції на найменше та найбільше значення на відрізку.
План
Знайти EMBED Equation.3 і її критичні точки (точки, в яких похідна не існує або дорівнює нулю).
Знайти значення функції f в цих точках і на кінцях відрізка.
Порівняти знайдені значення, вибрати найменше і найбільше.
Приклад. Дослідити функцію EMBED Equation.3 на абсолютні екстремуми (найбільше і найменше значення) на EMBED Equation.3 .
ОДЗ: D(y) є R. Функція елементарна, тому неперервна на R і, зокрема на [0,2].
EMBED Equation.3 ОДЗ: D(y) є R EMBED Equation.3 -1=0 EMBED Equation.3 =1 x= EMBED Equation.3 1 -1 EMBED Equation.3 -відкидаємо.
EMBED Equation.3 - найменше значення.
y(0)=0
y(2)= EMBED Equation.3 - найбільше значення.
Можна також вказати область значень функції на даному проміжку – [-2/3;2/3].
Зауваження. Якщо треба дослідити функцію на найбільше та найменше значення на скінченому інтервалі (а,b), чи на нескінченному EMBED Equation.3 , то в плані замість значень функції на кінцях проміжку шукають відповідні односторонні границі: замість f(a) шукають f(a+)= EMBED Equation.3 f(x) , замість f(b) шукають f(b-). Так можна знайти область значень функції на проміжку, бо абсолютні екстремуми не обов’язково існують в даному випадку.
Застосування похідної до розв’язування прикладних задач на екстремум деяких величин
1.Виражають дану величину через інші величини з умови задачі так, щоб вона була функцією тільки від однієї змінної (якщо це можливо).
2.Визначають проміжок зміни цієї змінної.
3.Досліджують цю функцію на найбільше і найменше значення на проміжку.
Задача. Потрібно побудувати прямокутну площадку, використавши а метрів сітки, біля стіни так, щоб з одного боку вона прилягала до стіни, а з інших трьох була огороджена сіткою. При якому співвідношенні сторін площа такої площадки буде найбільшою?
х
у
х
S=xу – функція двох змінних. L=x+у+x=a у=a-2x
S=x (a-2x ) – функція однієї змінної х; х є EMBED Equation.3 .
S=x (a-2x)=а x - 2x EMBED Equation.3 S’=a-4x, x є R, S’=0 a- 4x=0 x= EMBED Equation.3
x= EMBED Equation.3 S( EMBED Equation.3 )= EMBED Equation.3 – найбільше значення. S(0)=0, S( EMBED Equation.3 . Знайдемо другу сторону прямокутника: у = a - EMBED Equation.3 . Співвідношення сторін: EMBED Equation.3 .
Відповідь. Найбільша площа буде дорівнювати EMBED Equation.3 , якщо сторона паралельна до стіни в два рази більша від іншої сторони.
