РОЗДІЛ 5.
ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ
Постулати спеціальної теорії відносності (СТВ).
Перший постулат (принцип відносності): ніякі досліди, в тому числі і оптичні, проведені всередині інерціальної системи відліку не дають можливості виявити рух такої системи. Це означає, що фізичні явища перебігають однаково в усіх інерціальних системах відліку, а фізичні закони інваріантні (мають однакову математичну форму запису) в різних інерціальних системах.
Другий постулат (принцип інваріантності швидкості). Швидкість світла у вакуумі не залежить від швидкості руху джерела світла чи спостерігача і однакова в усіх інерціальних системах відліку.
СТВ привела до повного перегляду класичних уявлень про простір і час, масу і енергію, які одержали надійне експериментальне підтвердження і тезисно представлені нижче.
Якщо відомі просторово-часові координати події в “рухомій” системі координат , то її координати в “нерухомій” системі можуть бути обчислені, використовуючи формули (перетворення Лоренца) (рис.5.1):

Рис. 5.1
, , ;
,
де с – швидкість світла у вакуумі.
При взаємному віддаленні інерціальних систем (К) і (К') зі швидкістю швидкості тіла і зв’язані співвідношенням:
,
а при зближенні: ,
де , а .
Поздовжній розмір тіла, що рухається зі швидкістю відносно деякої “нерухомої” системи відліку, зв’язаний з довжиною тіла, нерухомого в цій системі співвідношенням:
,
де .
Проміжок часу між подіями в системі, що рухається зі швидкістю по відношенню до спостерігача, зв’язаний з проміжком часу між тими ж подіями в “нерухомій” системі співвідношенням:
.
Маса тіла в процесі збільшення його швидкості зростає згідно з рівнянням:
,
де – маса тіла, що рухається зі швидкістю , – маса спокою цього тіла.
Залежність кінетичної енергії тіла від швидкості дається рівнянням:
.
Зміні маси системи на величину відповідає зміна енергії системи на величину: .
Задача 1. Рух стрижня уздовж нерухомої лінійки сталий. Його швидкість . Коли зафіксувати одночасно положення кінців стрижня в системі відліку, пов’язаною з лінійкою (К- система), то різниця відліків l1 = 4 м. В системі відліку , пов’язаній зі стрижнем, різниця відліків на нерухомій лінійці l2 = 6 м. Знайти власну довжину стрижня та швидкість його руху.
Дано:
l1 = 4 м
l2 = 6 м






Розв’язування
Очевидно, що власна довжина стрижня l0 не дорівнює ні l1, ні l2, оскільки l0 вимірюється лінійкою, яка нерухома відносно стрижня. За умовою ж задачі, в обох випадках лінійка рухається відносно стрижня.
В - системі координати події:
(1)
В - системі координати цієї ж події:
,; ,.
Отже, згідно з перетвореннями Лоренца,
, . (2)
Зробимо заміну: ,
тоді
. (3)
Оскільки:
; ,
то
.
Бачимо, що ? ? 1, тому l1 ? l0 - маємо Лоренцівське вкорочення довжини.
Якщо відносно стрижня рухається сама лінійка зі швидкістю - , то тоді координати кінців стрижня в системі рухомої лінійки х1 і х2:
, . (4)
Звідки:
. (5)
Врахувавши, що
, ,
Одержимо:
l2 = ?l0.
Через систему двох рівнянь:
, (6)
отримаємо шукану швидкість :
;
;

і власну довжину l0 стрижня:
;

Задача 2. Дві частинки, які рухалися в К- системі уздовж одної прямої зі швидкістю , потрапили в нерухому мішень з інтервалом часу ?t. Вирахуйте власну відстань між частинками до потрапляння в мішень.
Розв’язування
У лабораторній системі відліку (К- системі) положення частинок описується координатами х1, t0 та х2, t0. Відносно мішені їх швидкість дорівнює . Для знаходження відстані між частинками в К- системі скористаємося співвідношенням
, (1)
де
. (2)
Звідки:
.
Задача 3. Дві частинки рухаються назустріч одна одній у К-системі відліку зі швидкостями  с і = 0,8 с. Обчисліть: а) швидкість, з якою зменшується відстань між частинками; б) відносну швидкість частинок.
Дано:
c
= 0,8 с






Розв’язування
Під час руху частинок назустріч у лабораторній системі відліку швидкість зближення можна знайти як
, (1)
або в проекції:
. (2)
Для знаходження відносної швидкості частинок виберемо систему відліку К?, пов’язану з частинкою 2. Тоді швидкість системи відліку К' дорівнює - , а відносна швидкість, згідно з перетворенням Лоренца,
. (3)
Підставивши числові значення в (2) і (3), одержимо:
1,4 с; ?0,95 с.
Задача 4. 25 - річний космонавт, що стартував із Землі, пролетів відстань 20 світлових років (св. р.). За годинником корабля політ тривав 5 років. Скільки років минуло на Землі? З якою швидкістю летів корабель відносно Землі?
Розв’язування
Дано:
 св.р.
 років





У системі відліку корабля (К?- системі) інтервал часу  років. При цьому . У системі відліку, пов’язаній із Землею,  св.р. Застосуємо принцип інваріантності інтервалу:
(?х)2 – (с ?t)2 = (?х')2 – (с ?t')2.
Звідки,
 років.
Отже, вік космонавта (у системі корабля) 30 років, його близнюк, який залишився на Землі, у цей момент матиме 45,6 років. На Землі за час польоту минуло 20,6 років.
Швидкість польоту корабля відносно Землі:
 с.
Задача 5. Електрон має енергію в зовнішньому полі 2 МеВ. До якої енергії потрібно прискорити протон, щоб його швидкість стала рівна швидкості електрона?
Eнергія спокою електрону
МеВ. (1)
За умовою, задачі МеВ, тоді повна енергія
, (2)
Звідки,
. (3)
Для протона
. (4)
За умовою задачі: =.
Тоді: ?е=?р
і
.
Відношення кінетичних енергій частинок, які рухаються з однаковими швидкостями, дорівнює відношенню їх мас спокою, як і в нерелятивістському випадку.
З останнього співвідношення отримаємо:
3,7 ГеВ.
Величину швидкості частинок визначимо через ?:
.
Звідки, ? = 4,94, і
.
5.1. У космічному кораблі встановлений прилад для вимірювання його прискорення. Він складається з кулі масою 100 кг, прикріпленої до шести струн, натягнених вздовж координатних осей системи відліку корабля. Напрямки натягів струн наведені на рис. 5.2. Знайти прискорення корабля. Якими причинами зумовлена несиметричність натягів струн. Чи є інерціальною система координат, що зв’язана з кораблем ?
Рис. 5.2
5.2. Одержати формулу розрахунку просторово-часових координат (перетворень Лоренца) деякої події з системі при умові, якщо відомі її просторово-часові координати в системі та формули переходу від координат системи до , що наведені у вступі.
5.3. При якій швидкості руху тіла релятивістське скорочення його довжини становить 25 % ?
5.4. Користуючись принципом відносності показати, що поперечні розміри тіла не змінюються при переході від однієї системи відліку до іншої.
5.5. Знайти відносну похибку, що виникає при розрахунку, якщо замість релятивістського закону додавання швидкостей користуватись класичним.
5.6. Знайти відносне релятивістське скорочення розмірів елементарної частинки космічних променів, що має швидкість, яка дорівнює 95 % швидкості світла.
5.7. Якою повинна бути швидкість рухомого тіла, щоб його поздовжні розміри зменшились у два рази?
5.8. Іонізований атом, що вилетів з прискорювача зі швидкістю 0,8 с випустив фотон з напрямку свого руху. Визначити швидкість фотона відносно прискорювача, супроводжуючи розв’язок поясненнями.
5.9. Знайти вираз для густини тіла, що рухається зі швидкістю відносно “нерухомої” системи координат. Вважати, що густина тіла в “нерухомій” системі координат відома і дорівнює .
5.10. Швидкість світла в нерухомому прозорому середовищі дорівнює , де – швидкість світла у вакуумі,  – абсолютний показник заломлення речовини. Знайти швидкість, світла в середовищі, якщо воно: а) рухається назустріч джерелу світла з постійною швидкістю ; б) віддаляється від джерела світла зі швидкістю .
5.11. Два прискорювачі направляють частинки назустріч одна одній зі швидкостями, що дорівнюють 0,9 с, де с - швидкість світла у вакуумі. Визначити відносну швидкість зближення частинок з точки зору спостерігача, що рухається разом з однією із частинок.
5.12. На скільки відсотків зміняться поздовжні розміри протона і електрона після проходження ними різниці потенціалів ?
5.13. У скільки разів збільшиться тривалість існування нестабільної частинки (за годинником спостерігача, зв’язаного з частинкою), якщо вона починає рухатись зі швидкістю, що становить 99 % швидкості світла?
5.14. Електрон прискорюється в електричному полі напруженістю . 1) Якою була б швидкість електрона через 1,0 нс, якщо його маса не залежить від швидкості ? 2) Якою буде швидкість електрона через 1,0 нс ?
5.15. Маса рухомого електрона вдвічі більша за його масу спокою. Знайти кінетичну енергію цього електрона.
5.16. Якою зміною маси супроводжується зменшення внутрішньої енергії тіла на один джоуль в процесі його охолодження? Чи можна виявити таку зміну маси, проводячи зважування тіла на аналітичних терезах, точність яких не перевищує 10-2 мг ?
5.17. Знайти загальну втрату маси, що відбувається при утворенні одного кіломоля води згідно з реакцією:
.
5.18. При поділі ядра урану звільняється енергія, що дорівнює приблизно 200 МеВ. Знайти зміну маси при поділі одного кіломоля урану.
5.19. Сонце випромінює кожної хвилини енергію, що дорівнює 6,5·1021 кВт·год. Вважаючи, що інтенсивність випромінювання Сонця з часом не змінюється, знайти, за який час маса Сонця зменшиться вдвічі.
5.20. Обчисліть швидкість зближення ракет за класичною та релятивістською формулами складання швидкостей, якщо вони рухаються назустріч одна одній із швидкостями і відносно нерухомого спостерігача.
5.21 У системі К закон руху задано у вигляді: х=х(t), y=y(t), z=z(t). Знайдіть формули перетворення компонент швидкості =dx/dt під час переходу від системи відліку К до системи К', використовуючи перетворення Лоренца.
5.22 Застосувавши формули перетворення компонент швидкості, одержані у попередній задачі: а) знайдіть формулу перетворення величини швидкості у випадку, коли в системі К частинка рухається вздовж осі ОХ ; б) доведіть теорему: якщо швидкість частинки у системі К менша за с, то у будь-якій іншій системі відліку її швидкість також менша за с.
5.23 Швидкість космічного корабля, що летить у напрямку Землі  = 24/25 c. Яку відстань подолає корабель за проміжок часу 7 с. відрахований за годинником, що встановлений на кораблі? Рух Землі по орбіті та її обертання не брати до уваги.
5.24. Якою є швидкість кванта світла зірки, що наближається до Землі зі швидкістю ?
5.25. У системі К дві частинки рухаються вздовж осі OХ назустріч одна одній зі швидкостями ac та вс, де с — швидкість світла, а та в коефіцієнти більші за 0,5. Знайдіть відносну швидкість частинок за формулою перетворення швидкостей і переконайтеся, що ця швидкість завжди менша за с.
5.26. Нерухомий стрижень, довжиною l, розташований у системі відліку К' так, що утворює з віссю ОХ? кут ?. Система К' рухається зі швидкістю вздовж осі ОХ системи К так, що напрямки осей ОХ і ОХ? збігаються. Який кут утворить стрижень з віссю ОХ у системі відліку К ? Якою буде його довжина в системі відліку К ?
5.27. Яку швидкість повинно мати рухоме тіло, щоб його поздовжні розміри зменшилися в два рази?
5.28. За якої швидкості руху тіла релятивістське скорочення його довжини становитиме 25%?
5.29. У верхніх шарах атмосфери народжується ? – мезон, що рухається із швидкістю  = 0,99 с і до розпаду встигає подолати відстань 5 км. Який час життя ? – мезона в системі відліку, зв’язаною із самим ? – мезоном? Яку товщину атмосфери пролетів ?  – мезон у власній системі координат?
5.30. Швидкість ракети відносно нерухомого спостерігача на Землі становить  = 0,99 с. Скільки часу мине за годинником нерухомого спостерігача, якщо за годинником у ракеті минув один рік?
5.31. Порівняйте величину релятивістського і класичного імпульсів електрону для швидкості .
5.32. Виразіть релятивістський імпульс частинки масою m через релятивістську кінетичну енергію.
5.33. Визначіть швидкість частинки, якщо її кінетична енергія становить половину енергії спокою.
5.34. За якої швидкості кінетична енергія будь-якої частинки рівна її енергії спокою?
5.35. Маса рухомої частинки в разів більша за її масу спокою. Визначіть повну та кінетичну енергії частинки, якщо її маса спокою m0.
5.36. Обчислити швидкість космічної частинки, якщо її повна енергія в к разів перевищує енергію спокою.
5.37. Нестабільна частинка починає рухатись зі швидкістю 0,99 с. У скільки разів збільшиться тривалість існування нестабільної частинки (за годинником нерухомого спостерігача)?
5.38. Збільшення маси супутника при збільшенні його швидкості обчислюється за формулою Е/с2, де ?Е – приріст його кінетичної енергії. Доведіть це.