Лабораторная работа Вейвлет-анализ Цель: получение и закрепление навыков работы в среде Matlab с пакетом расширения Wavelet Toolbox. Исследование вейвлет-спектра типовых сигналов (стационарных и нестационарных). Теоретическое введение: В основе Фурье-анализа лежит утверждение, что любую 2(-периодичную функцию можно разложить на составляющие, т.е. может быть получена суперпозицией целочисленных растяжений базисной функции . (1.1), где cn – коэффициенты Фурье (1.2). Процесс разложения функции проиллюстрирован на рис.1.1
Преобразование Фурье
дает спектральную информацию о сигнале и описывает его поведение в частотной области. При переходе в частотную область полностью теряется информация о времени, что делает непригодным метод спектрального анализа при обработке нестационарных сигналов, в которых определяющее значение имеет момент времени, в который произошло то или иное событие. В отличие от кратковременного преобразования Фурье, которое обеспечивает равномерную сетку в частотно-временной области, вейвлет-преобразование имеет неравномерное разрешение, что позволяет исследовать сигнал как локально, так и полностью. Т.к. частота обратно пропорциональна периоду, то требуется более узкое окно для локализации высокочастотно составляющей сигнала и более широкое для низкочастотной составляющей. Кратковременное преобразование Фурье допустимо применять для сигнала со сравнительно узкой полосой частот. Для широкополосного сигнала хотелось бы иметь окно, способное изменять свою ширину при изменении частоты. Введем функцию , удовлетворяющую условию
и назовем ее «базисным вейвлетом». Относительно каждого базисного вейвлета интегральное вейвлет-преобразование определяется как , где Обозначим
Интегральное преобразование примет вид
Если центр и радиус функции-окна , соответственно, равны t* и , то есть функция-окно с центром b+at* и радиусом . Следовательно, интегральное вейвлет-преобразование локализует аналоговый сигнал во временном окне . Рассмотрим
Пусть центр и радиус функции-окна равны, соответственно, и . Тогда, сместим центр окна на в 0 и обозначим
Применяя равенство Парсеваля
Очевидно, что окно
имеет радиус . Интегральное вейвлет-преобразование также локализует сигнал по частоте с окном
Аналогично преобразованию Габора введем частотно-временное окно для интегрального вейвлет-преобразования:
Видно, что окно автоматически сужается при высокочастотных явлениях (малых масштабах) и расширяется при низкочастотных (больших масштабах).
Порядок выполнения работы: Сгенерировать стационарные, нестационарные сигналы и сигналы с шумом; Пример t=0:0.1:6*pi; Стационарные сигналы y=sin(t); z=sin(t)+sin(2*t); Сигнал с шумом N=rand(1,189); w=sin(t); w=w+N; Нестационарный сигнал t=0:0.1:2*pi; w(1:63)=sin(t); w(64:126)=cos(t); w(127:190)=cos(2*t); Далее их нужно сохранить (каждый сигнал в отдельном файле), для этого в окне рабочей области выделяется нужная переменная и в контекстном меню выбирается пункт Save Selection As….
Проанализировать сигналы с использованием преобразования Фурье, объяснить результаты; Для построения Фурье-спектра используется функция Fft(имя сигнала, число точек ДПФ) Пример Y=fft(Sig,512) A=abs(Y); plot(A(1:length(A)/2)); Рассмотреть кратковременное преобразование Фурье для анализируемого сигнала, объяснить результаты; Для построения спектрограммы используется функция Specgram(имя сигнала) Пример Specgram(Sig) Проанализировать полученные сигналы с использованием различных вейвлетов (не менее 3), объяснить результаты, определить «оптимальный» (дающий наибольшую информацию) вейвлет для сигнала; Для построения вейвлет-спектра можно использовать графический интерфейс, вызов которого осуществляется командой wavemenu.
Для загрузки сигнала используется пункт меню File/Load Signal Ниже приведен пример анализа сигнала z=sin(t)+sin(2*t). Видно, что сигнал содержит две частоты, разделенных на масштабе ~ 70. Вейвлет-коэффициенты меняются периодически, что доказывает периодичность сигнала.
При анализе нестационарного сигнала вейвлет-спектр показывает изменение частоты в момент времени 500, а также изменение, произошедшее в момент времени ~250, причем можно сделать вывод, что частота сигнала в данном случае осталась неизменной.
Сравнить и объяснить результаты Фурье- и вейвлет-анализов. Требования к отчету. Отчет должен содержать: Временную реализацию исследуемых сигналов; Для построения графиков используется функция plot(имя переменной) Фурье-спектры сигналов; Спектрограммы сигналов; Формы используемых вейвлетов;
Вейвлет-спектры сигналов; Результаты анализа и сравнения. Варианты заданий Для всех вариантов t1, t2, t3, t4 выбираются таким образом, чтобы получаемые сигналы содержали не менее 2-х периодов, для генерации сигнала с шумом использовать стационарный сигнал и шум с равномерной плотностью распределения. Вариант №1 Y=3sin(t) w(t1..t2)=sin(t); w(t2..t3)=sin(5t);w(t3..t4)=sin(10t); Вариант №2 Y=sin(5t) w(t1..t2)=sin(t); w(t2..t3)=sin(10t);w(t3..t4)=sin(5t); Вариант №3 Y=sin(10t) w(t1..t2)=sin(t); w(t2..t3)=tg(5t);w(t3..t4)=sin(10t); Вариант №4 Y=sin(t)+sin(5t) w(t1..t2)=50sin(t); w(t2..t3)=tg(5t);w(t3..t4)=50sin(5t); Вариант №5 Y=sin(t)+sin(10t) w(t1..t2)= square (t); w(t2..t3)= square(10t);w(t3..t4)= square (5t); Вариант №6 Y=sin(10t)+sin(2t) w(t1..t2)= sawtooth(t); w(t2..t3)= sawtooth(10t);w(t3..t4)= sawtooth(5t); Вариант №7 Y=sin(t)+sin(10t)+sin(15t) w(t1..t2)= sawtooth(t,0.5); w(t2..t3)= sawtooth(10t,0.5);w(t3..t4)= sawtooth(5t,0.5); Вариант №8 Y=sin(t)+sin(15t) w(t1..t2)=sinc(t); w(t2..t3)=sinc(10t);w(t3..t4)=sinc(5t); Вариант №9 Y=sin(t)+cos(10t) w(t1..t2)=sin(t)+cos(5t); w(t2..t3)=sin(t)+cos(10t);w(t3..t4)=sin(t)+cos(15t); Вариант №10 Y=sin(t)+cos(20t) w(t1..t2)=sin(15t)+cos(5t); w(t2..t3)=sin(10t)+cos(10t);w(t3..t4)=sin(5t)+cos(15t); Рекомендуемая литература Геппенер В.В., Черниченко Д.А. Экало С.А. Вейвлет-преобразование в задачах цифровой обработки сигналов.: Учеб. пособие. СПб.:Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2002. 64 с. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 464 с. Дьяконов В. Matlab. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2002. – 608 с. Дьяконов В. Вейвлеты. От теории к практике. – М.: Солон-Р, - 2002. – 448 с. Чуи Ч. Введение в вэйвлеты: Пер. с англ. – М.: Мир, 2001.- 412 с. Справка пакета Wavelet Toolbox (ug_wavelet.pdf)
