17. Визначений інтеграл. Означення, геом. і фізичний зміст.
Якщо існує границя інтегральної суми для ? -> 0, n-> ? яка не залежить від способу розбиття відрізка [а;b] і вибору точок, то ця границі назив. Визначеним інтегралом від ф-ції f(x) на відрізку [а;b] і позн. символом ?ав f(x)dx=limSn; ?>0; n>?. Теорема: якщо ф-ція f(x) неперервна на [a;b] то limSn; ?>0; n>? існує і не залежить від способу розбиття відрізка [a;b] на часткові. В такому випадку ф-цію назив. інтегрованою числа а, b відповідно нижньою та верхнею межами інтегрування. Якщо f(x) >0 то ?ав f(x)dx чисельно = площі криволінійної трапеції обмеженої лініями у = f(x), х=а, х=в, у = 0. У цьому випадку маємо геометричний зміст визначеного інтеграла./
Фізичний зміст:
Шлях, яким рухалася точка з моменту t1 до t2 рівний інтегралу S = ? t1 t2 f(t)dt
А)
Б) зобразити фігуру,площа якої виражається інтегралом ?13 (х - 1)dx
В) ?13(х - 1)dx = ((х2/2) - х)¦13 = (9/2) – 3 – (1/2) + 1 = 4 -2 = 2(кв. од.)
18. Умови існування на властивості визн. Інтеграла.
Теорема: якщо ф-ція f(x) неперервна на [a;b] то limSn; ?>0; n>? існує і не залежить від способу розбиття відрізка [a;b] на часткові. В такому випадку ф-цію назив. інтегрованою числа а, b відповідно нижньою та верхнею межами інтегрування.
Властивості:
При перестановці мед інтегралу змінюється його знак
?ав f(x)dx= - ?ва f(x)dx
Для будь - якої ф-ції f(x)
?аа f(x)dx = 0
Сталий множник можна винести за знак визначеного інтеграла
?ав сf(x)dx = с?ав f(x)dx
Інтеграл зі суми = сумі інтегралів
?ав (f(x) - + g(x))dx = ?ав f(x)dx + - ?ав g(x)dx
Адитивна властивість
?ав f(x)dx = ?ав f(x)dx + ?св f(x)dx, де а ? с ? в
Якщо f(x), g(x) – неперервні на [а, в] і f(x) ? g(x), то ?ав f(x)dx ? ?ав g(x)dx
¦?ав f(x)dx¦= ?ав ¦ f(x)¦dx
а) чи інтегрована ф-ція f(x) = ln(х) на відрізку [-1.2]
?-12 ln(х)dx = ¦u=lnx du=dx/x ¦= xlnx¦-12 - ?-12 x(dx/x) = xlnx¦-12 - x¦-12 =
¦dv=dx v=x ¦
X(mx-1) ¦-12 = 2(ln2-1)-(-1)(ln(1)- 1)=2(ln2-1)
Б) не обчислюючи порівняти
-?13 xdx i ?13 x2 dx
На відрізку [1.3] х ? х2 , а отже за ознакою № 6
?13 xdx ? ?13 x2 dx
19. Ф-ція верхньої межі інтеграла. Формула Ньютона – Лейбніца
Розглянемо інтеграл із змінною верхньою межею.
? а х f(t)dt
Очевидно він є ф-цією верхньої межі. Цю ф-цію про диференціюємо.
(? а х f(t)dt)’х = f(x)
Тобто похідна від інтеграла із змінною верхньою межею = значенню підінтегральної ф – ції при цій межі.
Формула Ньютона – Лейбніца. Якщо ф-ція f(x) визначена і неперервна на відрізку [a;b], і F’(x) = f(x), то ?ав f(x)dx = F(x)¦ab = F (b) – F (a), де F (b), F (a) – значення первісної в т. b i a.
Знайти похідну по змінній x з інтегралу (?1х(3t2+2)dt )’x = 3x2 + 2
20. Застосування визначеного інтегралу. Формули для обчислення площ, об’ємів.
Обч. Площ плоских фігур. Нехай f(x) - ф – ція неперервна на проміку [a;b], відомо, що якщо f(x) ? 0 на [a;b], то площина S криволінійної трапеції, обмеженої лініями у > f(x), у = 0, х = а, х = в дорівню інтегралу S = ?ав f(x)dx
Якщо f1(x) ? f2(x)
S = ??? (f1(x) - f2(x))dx
Обєм тіла обертання. Обєм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ криволінійної трапеції визначається ф-лою V =
lim
???>0
???
??
2
??? = ?ab ?y2dx
Навколо осі OY
V= ?ab ?x2dy
Виразити через визн. Інтеграл об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ фігури, обмеженої лініями у=0, у=х, х=1
V = ?01?y2dx = ?01?x2dx = ?x3/3¦01 = ?/3(куб.од.)