Лекція №1
План
Приклади фізичних процесів, що приводять до крайових задач для диференціальних рівнянь в частинних похідних.
Приклади постановок таких задач.
Класифікація диференціальних рівнянь 2-го порядку в частинних похідних.
Рівняння коливань струни.
Розв’язок задачі Коші методом Даламбера
Питання для самоконтролю.
Лекція №1.
В чому полягає дисципліна: рівняння математичної фізики?
Від чого залежить розв’язування рівнянь з частинними похідними 2-го порядку?
Приклади рівнянь еліптичного типу.
Як називається і до якого типу належить рівняння:
EMBED Equation.3 ?
В чому полягає крайова задача для рівняння коливання струни?
Записати формулу Даламбера, яка дає розв’язок одномірного однорідного хвильового рівняння.
Література:
А.Н.Тихонов, А.А.Самаровский “Уравнения математической физики”, Гостехиздат, 1954.
Н.С.Пискунов “Диференциальное и интегральное исчисление”, т.ч., Москва, 1972.
П.И.Чинаев, Н.А.Минин и др. “Висшая математика, специальные главы”, Киев, 1981.
О.В.Мантуров та ін. “Математика в поняттях, означеннях, термінах”, т.ч., Київ, 1986.
П.Е.Данко, А.Г.Попов “Высшая математика в упражнениях и задачах”, ч.2, Москва, 1974.
Лекція №1.
Тема: Основні задачі математичної фізики.
В курсі вищої математики вивчалися звичайні диференціальні рівняння, розв’язками яких є функції відносно аргументу. Але багато задач в математиці, фізиці, електроніці, радіотехніці та в інших науках приводять до диференціальних рівняннь відносно функцій двох, трьох та більше числа аргументів – диференціальні рівняння в частинних похідних.
Існує спеціальна дисципліна, яка полягає в математичному опису явищ, пов’язаних з деякими фізичними процесами, що описуються за допомогою рівняннь у частинних похідних і (рідко) за допомогою інтегральних рівняннь або інтегро-диференціальних рівняннь. Ця математична диспліна називається рівняннями математичної фізики.
Провідне місце в рівняннях математичної фізики посідає теорія рівняннь з частинними похідними 2-го порядку:
EMBED Equation.3
де аij, bi, c – задані функції змінних х1, х2, …, х3 (n ?2). Властивості розв’язування цих рівняннь істотно залежать від знаків коренів характеристичного рівняння det(|| alk|| - ?E)=0. Так для диференціального рівняння з частинними похідними 2-го порядку характеристичне рівняння буде:
d11dy2-2a12dxdy+a22dx2=0.
Інтеграли цього рівняння називаються характеристиками.
Це характеристичне рівняння можна записати й так
EMBED Equation.3
Якщо а12-а11а22>0, то інтеграли характеристичного рівняння ?(х,у)=С1 і ?(х,у)=С2 дійсні і різні. В цьому випадку кажуть, що рівняння має гіперболічний тип.
Якщо EMBED Equation.3 , то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу.
І якщо EMBED Equation.3 , то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу.
До рівнянь гіперболічного типу приводять задачі про коливання суцільних середовищ і задачі про електромагнітні коливання: процеси поперечних коливань струни, поздовжніх коливань стержня, електричних коливань в проводі, крутильних коливаннь валу, коливань газу і т. д.
Найпростішим з них є хвильове рівняння EMBED Equation.3 , відкрите Ейлером у 1759році.
Рівняння параболічного типу дістають при дослідженні таких фізичних явищ, як теплопровідність, дифузія, поширення електромагнітних хвиль у провідних середовищах, рух в’язкої рідини, деякі питання теорії імовірностей і т. д.
Найпростішим з них є рівняння теплопровідності, або рівнянням Фур’є:
EMBED Equation.3
До рівняннь еліптичного типу приводить вивчення різних стаціонарних процесів (електростатика, магнітостатика, потенціальний рух рідини, що не стискується, тощо). Найпростішими з них є рівняння ?U=0 (Лапласа); ?U=C (Пуассона), а також рівняння, яке розглядав Ейлер: ?U+kU=0, і полігармонійні рівняння.
В кожному з цих типів рівняннь шукана функція U залежить від двох змінних. Розглядаються також відповідні рівняння і для функції з більшими числом змінних. Так хвильове рівняння з трьома незалежними змінними має вид:
EMBED Equation.3
рівняння теплопровідності з трьома незалежними змінними має вид:
EMBED Equation.3
рівняння Лапласа з трьома незалежними змінними має вид:
EMBED Equation.3
Тема: Рівняння коливань струни.
В математичній фізиці під струною розуміють гнучку ніть. Напруги, що з’явились в струні в любий момент часу, напрямлені по дотичній до її профелів. Нехай струна довжини l в початковий момент напрямлена по відрізку осі 0Х від 0 до l. Припустимо, що кінці струни закріплені в точках Х=0 і Х=l. Якщо струну відхилити від її початкового положення, а потім предоставить самій собі або, не відхиляючи струни, придати в початковий момент її точкам деяку швидкість, або відхилити струну і придати її точкам деяку швидкість, то точки струни будуть виконувати рух – говорять, що струна починає коливатись. Задача заключається у ввизначенні форми струни в любий момент часу і у визначенні закону руху кожної точки струни в залежності від часу.
Розглянемо малі відхилення точок струни від початкового положення. В силу цього можна припускати , що рух точок струни проходить перпендикулярно осі 0Х і в одній площі. При цьому препущенні процес коливань струни описується однією функцією u(x,t), яка дає величину переміщення точки струни з абсцисой х в момент t (рис.1).
EMBED PBrush
Так як ми розглядаємо малі відхилення струни в площі (x,u), то будемо припускати, що довжина елемента струни ?М1М2 рівна її проекції на вісь 0Х, ?М1М2=х2-х1. Також будем припускати, що натяг в усіх точках струни однаковий; позначимо його як Т.
EMBED PBrush Розглянемо елемент струни ММ' (рис 2).
На кінцях цього елемента, по дотичним до струни, діють сили Т. нехай дотичні створять з віссю 0Х кути ? та ?+?? . тоді проекція на вісь 0u сил, діючих на елемент ММ', буде рівна Тsin(?+??)-Tsin?. Так як кут ? малий, то можна покласти tg?=sin?, і ми отримаємо :
EMBED Equation.3
(тут ми примінили теорему Лагранжа до виразу, що стоїть у квадратних душках).
Щоб получити рівняння руху, потрібно зовнішні сили прирівняти силі інерції. Нехай ? - лінійна щільність струни. Тоді маса елемента струни буде ??х. Прискорення елемента дорівнює EMBED Equation.3 . Отже, по принципу Даламбера будем мати:
EMBED Equation.3
Скорочуючи на ?х і позначаючи EMBED Equation.3 , получаємо рівняння руху EMBED Equation.3 . (1)
Це і є хвильове рівняння – рівняння коливань струни. Для повного визначення руху струни одного рівняння (1) недостатньо. Шукана функція u(x,t) повинна ще задовільнятись граничним умовам, вказуючим, що робиться на кінцях струни (х=0 і х=1), та початковим умовам, описуючим стан струни в початковий момент (t=0). Суцільність граничних та початкових умов називається краєвими умовами.
Нехай, наприклад, як ми припускали, кінці струни при х=0 і х=1 нерухомі. Тоді при довільному t мають виконуватись рівності:
u(0,t)=0,
u(l,t)=0.
Ці рівності є граничними умовами для нашої задачі.
В початковий момент t=0 струна має визначену форму, яку ми їй надали. Нехай ця форма визначається функцією f(x). Таким чином, має бути
EMBED Equation.3 . (2)
Далі, в початковий момент має бути задана швидкість в кожній точці струни, яка визначається функцією ?(х).Таким чином, має бути
EMBED Equation.3 . (3)
Умови (2) і (3) являються початковими умовами.
Тема: Розв’язок задачі Коші методом Даламбера.
Розглянемо ще один метод рішення хвильового рівняння – метод Даламбера.
Візьмем випадок, коли граничні умови нас не цікавлять або коли їх можна не враховувати. В цих випадках задача ставиться так:
Знайти рішення хвильового рівняння
Utt-a2uxx=0 (t=y, a11=-a2, a12=0, a22=1),
Задовільняюче початковим умовам
U(x,0)=?(x); ut(x,0)=?(x)
де ?(х) і ?(x) – задані у EMBED Equation.3 функції.
Зведем хвильове рівняння до канонічного виду, що містить змішану похідну. Тут характеристичне рівняння
A11dt2-2a12dxdt+a22dx2=0
Прийме вид -a2dt2+dx2=0,
або dx2-a2dt2=0.
Воно розпадається на два рівняння:
dx-adt=0 і dx+adt=0
інтеграли яких будуть x-at=C1, x+at=C2
введемо нові змінні
?=x-at, ?=x+at.
Тоді
?х=1, ?t=-a, ?x=1, ?t=a,
ux=u??x+u??x=u?+u?,
uxx=u???x+u???x+u???x+u???x=u??+2u??+u??,
ut=u??t+u??t=-au?+au?,
utt=-au???t-au???t+au???t+au???t=a2u??-2a2u??+a2u??.
Підставивши uxx, utt в вихідне рівняння, отримаємо
a2u??-2a2u??+a2u??-a2(u??+2u??+u??)=0,
-4a2u??=0,
u??=0.
Отримане рівняння можна записати як:
EMBED Equation.3 .
Звідси випливає, що u? не залежить від ?:
u?=f*(?),
де f*(?) – довільна функція ?.
Інтегруючи останню рівність по ? при фіксованому ?, маємо
EMBED Equation.3 .
де f1(?) і f2(?) – довільні двічі диференціюючі функції аргументів ? і ?.
Враховуючи, що ?=х-at і ?=x+at, дістаєм загальне рішення даного рівняння у вигляді
u(x,t)=f1(x-at)+f2(x+at).
Визначимо функції f1 і f2 так, щоб функція u(x,t) задовільняла початковим умовам:
u(x,t)=f1(x)+f2(x)=?(x),
ut(x,0)=-af?1(x)+af?2(x)=?(x).
Таким чином, для знаходження функцій f1 і f2 маємо систему рівнянь
f1(x)+f2(x)=?(x),
-af?1(x)+af?2(x)=?(x).
Інтегруючи другу рівність, отримаємо
EMBED Equation.3
де х0 і С – постійні. Тоді
f1(x)+f2(x)=?(x),
EMBED Equation.3 .
Звідси знаходимо
EMBED Equation.3 ,
і
EMBED Equation.3 .
Підставивши у вираз для u(x,t) знайдені значення f1 і f2, отримаємо
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Ця рівність називається формулою Даламбера.
Раніше функцію u(x,t) ми записували як:
u(x,t)=f1(x-at)+f2(x+at),
де перший додаток
EMBED Equation.3
при x-at=const зберігається постійне значення. Отже, функція f1(x-at) описує розповсюдження прямої бігучої хвилі без викревлення.
Аналогічно функція
EMBED Equation.3
являє собою обратну біжучу хвилю без викревлень, що розповсюджуються з тією ж швидкістю, але в від?ємному напрямку вісі 0Х.
В цілому процес розповсюдження коливань, функції u(x,t), представляє собою суперпозицію (накладання) прямої та оберненої біжучих хвиль без викревлень.
Лекція №2
План
Рівняння теплопровідності.
Розв’язок задачі методом перетворення Фур’є.
Рівняння Пуассона.
Розв’язок задачі Діріхле в крузі методом Фур’є.
Питання до самоконтролю
Вияснити фізичний зміст першої крайової задачі рівняння теплопровідності в однорідному стержні.
Яка кількість теплоти протікає через поверхню S в просторі?
Як називається вираз в дужках у рівнянні
EMBED Equation.3 Що це за рівняння?
В чому полягає задача Коші для випадку стержня, обмежаного з однієї сторони?
Записати інтеграл імовірностей.
Яку умову повинні задовільняти частинні розв’язки задачі Діріхле в крузі?
Література:
А.Н.Тихонов, А.А.Самаровский “Уравнения математической физики”, Гостехиздат, 1954.
Н.С.Пискунов “Диференциальное и интегральное исчисление”, т.ч., Москва, 1972.
П.И.Чинаев, Н.А.Минин и др. “Висшая математика, специальные главы”, Киев, 1981.
О.В.Мантуров та ін. “Математика в поняттях, означеннях, термінах”, т.ч., Київ, 1986.
П.Е.Данко, А.Г.Попов “Высшая математика в упражнениях и задачах”, ч.2, Москва, 1974.
Лекція №2.
Тема: Рівняння теплопровідності.
EMBED PBrush Розглянемо однорідний стержень довжини l. Будемо вважати, що бічна сторона стержня теплопроникна та що в усіх точках поперечного січення стержня температура однакова. Дослідимо процес розповсюдження тепла в стержні.
Розмістимо вісь 0Х так, що один кінець стержня буде співпадати з точкою х=0, а другий – з точкою х=l (див. рис.). Нехай u(x,t) – температура в січній стержня з абсцисой х в момент t. Дослідним шляхом визначимо, що швидкість розповсюдження тепла пролягаючого через січну з абсцисой х за одиницю часу, визначається формулою
EMBED Equation.3 (1)
розглянем елемент стержня, заключений між січними з абсцисами х1 і х2 (х2-х1=?х). Кількість тепла, що пройшло через січну з абсцисою х1 за час ?t, буде рівно
EMBED Equation.3 (2)
те ж саме для січної з абсцисою х2
EMBED Equation.3 (3)
Прилив тепла ?Q1-?Q2 в елемент стержня за час ?t буде рівний:
EMBED Equation.3 (4)
(Ми використали теорему Лагранжа до рівності EMBED Equation.3 ).
Цей прилив тепла за час ?t пішов на підвищення температури елемента стержня на величину ?U:
?Q1-?Q2=cq?xS?U
EMBED Equation.3 (5)
де с – теплоємність речовини стержня, q – щільність речовини стержня (q?xS – маса елемента стержня).
Прирівнюючи вирази (4) і (5) одної і тої ж кількості тепла ?Q1-?Q2, вийде:
EMBED Equation.3
або
EMBED Equation.3 .
Позначаючи k/cq=a2, ми одержуєм:
EMBED Equation.3 (6)
Це і є рівняння теплопровідності в однорідному стержні.
Щоб рішення рівняння (6) було повністю визначено, функція u(x,t) має задовільняти крайові умови. Крайові умови для рішення рівняння (6) можуть бути різні. Умови, які відповідають так званій першій крайовій задачі для 0?t?T, слідуючі:
u(x,t)=?(x) (7)
u(x,t)=?1(t) (8)
u(x,t)=?2(t) (9)
Фізичні умови (7) (початкові умови) відповідають тому, що при t=0 в різних січних стержня задана температура, рівна ?(х). Умови (8) і (9) (граничні умови) відповідають тому, що на кінцях стержня при х=0 і при х=l підтримується температура, рівна ?1(t) і ?2(t) відповідно.
Тема: Розв’язок задачі методом перетворення Фур’є.
Нехай в початковий момент задана температура в різних січних необмежаного стержня. Потрібно визначити розподіл температури в стержні в наступні моменти часу.
Якщо стержень співпадає з віссю 0Х, то математично задача формулюється слідуючим образом. Знайти рішення рівняння
EMBED Equation.3 (1)
в області -?<x<?, t>0, задовільняюче початковій умові
u(x,0)=?(x) (2)
будемо шукати частинне рішення рівняння (1) у вигляді добутку двух функцій:
u(x,0)=-X(X)T(t). (3)
Підставляючи в рівняння (1), будем мати: X(x)T?(t)=a2X??(x)T(t) або
EMBED Equation.3 . (4)
Кожне з цих відношень не може залежати ні від х, ні від t, і тому ми їх прирівняємо постійній -?2. З формули (4) отримаємо два рівняння:
T?+a2?2T=0, (5)
X??+?2X=0. (6)
Рішаючи їх знайдем:
EMBED Equation.3 , X=Acos?x+Bsin?x.
Підставляючи в (3), отримаємо:
EMBED Equation.3 (7)
постійна С включається в А(?) і В(?).
Для кожного значення ? ми торимаєм рішення виду (7). Произвольные постійні А і В для кожного значення ? мають визначені значення. Виходячі з цього можна рахувати А і В функціями від ?. Сума рішень виду (7) також є рішенням:
EMBED Equation.3 .
Інтегруючи вираз (7) по параметру ? в границях від 0 до ? також отримаємо рішення
EMBED Equation.3 , (8)
якщо А(?) і В(?) такі, що цей інтеграл, його похідна по t і друга похідна по х існують і дістаютьсяшляхом диференціювання інтеграла по t і по х. Підберем А(?) і В(?) так, щоб рішення u(x,t) задовільняло умові (2). Покладаючись в рівності (8) t=0, на основі умови (2) дістанемо:
EMBED Equation.3 . (9)
Припустимо, що функція ?(х) такова, що вона представіма інтегралом Фур’є:
EMBED Equation.3
або
EMBED Equation.3 . (10)
зрівнюючи праві частини (9) і (10), отримаємо:
EMBED Equation.3 (11)
підставляючи знайдені вирази А(?) і В(?) у формулу (8) отримаємо:
EMBED Equation.3
або, міняючи порядок інтегрування, отримаємо
EMBED Equation.3 . (12)
Це і є рішення поставленої задачі.
Перетворемо формулу (12). Обрахуємо інтеграл, що стоїть в круглих душках:
EMBED Equation.3 . (13)
Це перетворення інтеграла зроблено шляхом підстановки
EMBED Equation.3 . (14)
Позначимо
EMBED Equation.3 . (15)
Диференціюючи, отримаємо:
EMBED Equation.3 .
Інтегруючи по частинах, знайдем:
EMBED Equation.3
або
EMBED Equation.3
Інтегруючи це диференціальне рівняння, отримаєм:
EMBED Equation.3 . (16)
Знайдем постійну С. З (15) слідує:
EMBED Equation.3
Отже, в рівності (16) має бути
EMBED Equation.3 .
Тоді,
EMBED Equation.3 . (17)
Значення (17) інтеграла (15) підставляємо у (13)
EMBED Equation.3 .
Підставляючи замість ? його вираз (14), отримаємо кінцеве значення інтеграла (13):
EMBED Equation.3 . (18)
Підставивши цей вираз інтеграла у рішення (12), отримаємо:
EMBED Equation.3 . (19)
Ця формула, інтеграл Пуассона, представляє собою рішення поставленої задачі.
Встановимо фізичний зміст формули (19). Розглянемо функцію
0 при -?<x<x0,
?*(х)= ?(x) при x0?x?x0+?x, (20)
0 при x0+?x<x<?.
Тоді функція
EMBED Equation.3 (21)
є рішенням рівняння (1), що приймає при t=0 значення ?*(х). Приймаючи до уваги (20), ми можемо записати:
EMBED Equation.3 .
Примінем теорему про середнє до останього інтегралу, отримаємо:
EMBED Equation.3 . (22)
Формула (22) дає значення температури в точці стержня в довільний момент часу, якщо при t=0 в усьому стержні температура u*=0, крім відрізка [x0,x0+?x], де вона рівна ?(х). Сума температур виду (22) і дає рішення (19). Замітимо, що якщо ? - лінійна густина стержня, с – темплоємність матеріала, то кількість тепла в елементі [x0,x0+?x] при t=0 буде
?Q??(?)?x?c. (23)
Розглянемо далі функцію
EMBED Equation.3 . (24)
зрівнюючи її з правою частиною формули (22) з урахуванням (23), говорять, що вона дає значення температур в любій точці стержня в довільний момент часу t, якщо при t=0 в січній ? було миттєве джерело теплоти з кількістю тепла Q=c?.
Тема: Рішення задачі Діріхле для кола.
Нехай в площині 0ху є коло радіусом R з центром на початку координат і на його окружності задана деяка функція f(?), де ? - полярний кут. Потрібно знайти функцію u(r,?), непреривну в колі, включаючи границю, задовільняючу всередині кола рівнянню Лапласа
EMBED Equation.3 . (1)
і на окружності кола що приймає задані значення
EMBED Equation.3 . (2)
Будем рішати задачу в полярних координатах. Перепишемо рівняння (1) в цих координатах:
EMBED Equation.3 (1?)
Будем шукати рішення методом розділення змінних, покладаючи
U=Ф(?)R(r). (3)
Підставляючи в ріність (1’), вийде:
r2Ф(?)R??(r)+rФ(?)R?(r)+Ф??(?)R(r)=0
або
EMBED Equation.3 . (4)
Так як ліва частина цієї рівності не залежить від r, а права від ?, отже, вони рівні постійному числу, яке ми позначаємо через –k2. Таким чином рівність (4) дає нам два рівняння:
Ф??(?)+k2Ф(?)=0, (5)
r2R??(r)+rR?(r)-k2R(r)=0 (5?)
Загальне рішення рівності (5) буде
Ф=Аcosk?+Bsink?. (6)
Рішення рівняння (5?) будем шукати у формі R(r)=rm. Підставляючи R(r)=rm у (5?), дістанемо:
r2m(m-1)rm-1-k2rm=0
або
m2-k2=0.
Отже, маємо два лінійно незалежних рішення rk і r-k. Загальне рішення рівняння (5?) буде
R=Crk+Dr-k. (7)
Вираз (6) і (7) підставляємо у (3):
Uk=(Akcosk?+Bksink?)(Ckrk+Dkr-k). (8)
Функція (8) буде рішенням рівняння (1?) при довільному значенні k, відмінним від 0. Якщо k=0, то рівняння (5) і (5?) приймають вид:
Ф??=0, rR(r)+R?(r)=0,
отже,
U0=(A0+B0?)(C0+D0lnr). (8?)
Рішення має бути періодичною функцією від ?, так як при одному і тому ж значенні r при ? і ?+2? ми маємо мати одне і те ж значення рішення, тому що розглядається одна і та ж точка кола. Виходячі з цього очевидно, що у формулі (8?) має бути В0=0. Далі, ми шукаємо рішення, непреривне і кінцеве в колі. Отже, в центрі кола при r=0 рішення має бути кінцевим, і тому у формулі (8?) має бути D0=0, а у формулі (8) Dk=0.
Таким чином, права частина (8?) перетворюється в добуток А0С0, яке ми позначимо як А0/2. Отже,
EMBED Equation.3 . (8??)
Ми будем складати рішення нашої задачі у вигляді суми рішень виду (8), так як сума рішень є рішення. Сума має бути періодичною функцією від ?. Для цього k має приймати цілі значення. Ми маємо обмежитись тільки додатніми значеннями
K=1, 2, …, n, …,
так як в силу произвольности постійних А, В, С, D від’ємні значення k нових частинних рішень не дають. Отже,
EMBED Equation.3 (9)
(постійна Сn включена у An i Bn). Тепер підберемо произвольные постійні An і Bn так, щоб задовільнялась крайова умова (2). Підставляючи в рівність (9) r=R, на основі умови (2) дістанемо:
EMBED Equation.3 . (10)
Щоб мала місце рівність (10), потрібно, щоб функція f(?) розкладалась в ряд Фур’є в інтервалі (-?,?), та щоб AnRn і BnRn були її коефіцієнтами Фур’є. Отже, An і Bn мали визначатись по формулам:
EMBED Equation.3 . (11)
Отже, ряд (9) з коефіцієнтами, визначиними по формулам (11), буде рішенням нашої задачі, якщо допускає почленне двухкратне диференціювання по r і ?. Перетворемо формулу (9). Підставляючи замість An і Bn їх вирази (11) і виконуючі тригонометричні перетворення, дістанем:
EMBED Equation.3 . (12)
Перетворимо вираз, що стоїть в квадратних душках:
EMBED Equation.3 . (13)
Замінюючи вираз, що в квадратних душкаху у формулі (12), виразом (13), отримаюмо:
EMBED Equation.3 . (14)
Формула (14) називається інтегралом Пуассона. Шляхом аналізу цієї формули доводиться, що якщо формула f(?) неперервна, то функція U(r,?), визначена інтегралом (14), задовільняє рівність (1?) і при r?R буде U(r,?)?f(?), тобто U(r,?) являє собою рішення поставленої задачі Діріхле для кола.
