Збудження об’ємних резонаторів.
Доведемо ортонормованість власних функцій резонатора.
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , бо задача про власні коливання розв’язується без струмів. Для другого коливання: EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Проінтегрувавши обидві рівності по всьому об’єму та врахувавши властивості EMBED Equation.3 векторного добутку, отримаємо:
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Враховуючи, що EMBED Equation.3 та позначивши EMBED Equation.3 маємо лінійну однорідну систему відносно EMBED Equation.3 з коефіцієнтами EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 . Система має нетрівіальні розв’язки якщо EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 . Тоді EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 . Таким чином маємо ортонормованість власних функцій резонатора з нормою EMBED Equation.3 , яку легко знайти.
Знайдемо поля EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 всередині резонатора при наявності струмів.
EMBED Equation.3 - рівняння Максвела.
Псевдовектор в математиці – вектор, що змінює свій напрямок при інверсії системи координат (напрямок, векторний добуток). У фізиці псевдовектор змінює напрямок при інверсії часу EMBED Equation.3 . Наприклад, при інверсії часу електрон починає обертатися в протилежному напрямку, а відповідно змінює і напрямок МП.
Таким чином, МП – псевдовектор, ЕП – вектор. Звідси можна зробити висновок, що гамільтоніан не може містити EMBED Equation.3 (щоб він був інваріантний до інверсії часу). Ще один висновок – що немає магнітного п’єзоефекту.
EMBED Equation.3
Існує іще одна класифікація:
соленоїдальні та потенціальні.
Потенціальний (поздовжній):
EMBED Equation.3 - немає вихорів.
EMBED Equation.3
Соленоїдальний (поперечний):
EMBED Equation.3 - немає вузлів.

Записавши EMBED Equation.3 ми зробили помилку, бо не врахували потенційні поля, пов’язані з електростатичними полями зарядів, що збуджують струми.
Отже, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Взагалі то, EMBED Equation.3 , бо магнітних зарядів не існує. Проте, є припущення про існування магнітних зарядів – монополь Дірака; тоді EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Підставимо в рівняння Максвела: EMBED Equation.3 . Прирівнявши відповідні коефіцієнти при базисних функціях EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 , одержимо EMBED Equation.3 - з рівняння а). Оскільки EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .
Таким чином, для гармонічних полів: EMBED Equation.3 . Тоді EMBED Equation.3 . Використаємо EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 бо EMBED Equation.3 . Таким чином, довели строге рівняння Пуансона для електростатичної частини полів.
Проінтегруємо EMBED Equation.3 по EMBED Equation.3 , попередньо помноживши на EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
В результаті отримаємо: EMBED Equation.3 , маємо систему двох рівнянь з двома невідомими. Амплітуда EMBED Equation.3 .
Ми отримали формулу для резонансного збудження. Тут не враховано дисипацію, тому можливо EMBED Equation.3 . Якщо дисипацію врахувати наступним чином: EMBED Equation.3 , то отримаємо Лоренцівську резонансну криву: EMBED Equation.3 .