Узагальнена плоска хвиля
Для рівняння EMBED Equation.3 загальний розв’язок EMBED Equation.3 (можна перевірити підстановкою). Таким чином хвиля розповсюджується в багатьох напрямках:
EMBED Equation.3 - хвиля в напрямку EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 - хвиля в напрямку EMBED Equation.3 .
Задача: Нехай хвиля падає під кутом EMBED Equation.3 до поверхні середовища, знайти характеристики відбитої хвилі та заломленої.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Розв’язок: Вважаємо, що EMBED Equation.3 . Раніше ми показали, що розв’язком рівнянь Максвела є узагальнене рівняння хвилі. Тоді для даних хвиль:
EMBED Equation.3
( ми розглянули плоску задачу в EMBED Equation.3 ).
Гранична умова: EMBED Equation.3 . Тоді EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; коефіцієнти EMBED Equation.3 не повинні залежати від EMBED Equation.3 . В цьому випадку EMBED Equation.3 (*). Тоді EMBED Equation.3 (**).
Виходячи з (*), маємо EMBED Equation.3 . (очевидно якщо відкласти відрізки на малюнку). Аналогічно EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 - перший закон Смеліуса.
EMBED Equation.3 - другий закон Смеліуса.
Наближені граничні умови Леонтовича.
Розглянемо ідеальну металеву поверхню. Для неї граничні умови: EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 . Однак, тут EMBED Equation.3 - не враховувалися втрати в металі. Їх врахував Леонтович:
Нехай хвиля падає під кутом до поверхні. Леонтович вважав, що якби хвиля не падала, вона йде нормально до поверхні. Це можна пояснити тим, що в металі EMBED Equation.3 , тому кут заломлення дуже малий: EMBED Equation.3 . Це наближена умова.
Леонтович вважав, що в металі розповсюджується звичайна електромагнітна хвиля, в якій EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 . Ця рівність зберігається і на межі металу. У вакуумі EMBED Equation.3 , при цьому EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 . Це і є наближена гранична умова.
EMBED Equation.3 Х EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Відбивання від ідеально провідної границі (метал) ТЕ, ТМ хвилі.
EMBED Equation.3 - падаюча хвиля (індекс “п”). Обираємо знак “+” для EMBED Equation.3 . Тоді EMBED Equation.3 . Сумарне поле над металом EMBED Equation.3
Таким чином, сумарна хвиля розповсюджується в напрямку EMBED Equation.3 . Отже в результаті розв’язку рівняння Максвела ми маємо хвилю, що падає, і хвилю, що відбита. Сума цих полів дає нову хвилю, що розповсюджується вздовж EMBED Equation.3 і є сумою цих двох хвиль. Падаюча і відбита хвиля називаються парціальними; Сумарна зветься неоднорідною плоскою хвилею. Неоднорідна плоска хвиля теж є розв’язком рівняння Максвела.
Властивості неоднорідної плоскої хвилі:
Ця хвиля має поздовжні компоненти полів: якщо з’являється а) EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 -хвиля (ТЕ); б) EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 -хвиля (ТМ).
Її амплітуда вздовж хвильового фронту змінюється: EMBED Equation.3 - через це її називають неоднорідною. Плоскою називають тому, що фронт ? до напрямку розповсюдження EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 довжина сумарної хвилі EMBED Equation.3 вихідних. Фазова швидкість цієї хвилі EMBED Equation.3 , оскільки в той час, коли вихідна хвиля а проходить, сумарна хвиля проходить EMBED Equation.3 . За цей же час енергія переноситься на відстань EMBED Equation.3 - групова швидкість EMBED Equation.3 .
с а
EMBED Equation.3
