«Метод поступового нарощення складності у розв’язку задач на знаходження моментів інерції»
Зміст
TOC \o "1-3" \h \z \t "клас->приклад;2" HYPERLINK \l "_Toc483198108" Вступ PAGEREF _Toc483198108 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc483198109" Основна частина PAGEREF _Toc483198109 \h 5
HYPERLINK \l "_Toc483198110" І Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по лінії PAGEREF _Toc483198110 \h 5
HYPERLINK \l "_Toc483198111" Приклад 1.1. Момент інерції стержня PAGEREF _Toc483198111 \h 5
HYPERLINK \l "_Toc483198112" Приклад 1.2. Момент інерції тонкого кільця PAGEREF _Toc483198112 \h 5
HYPERLINK \l "_Toc483198113" ІІ Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по площині PAGEREF _Toc483198113 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc483198114" Приклад 2.1. Моменти інерції квадратної пластинки PAGEREF _Toc483198114 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc483198115" Приклад 2.2. Моменти інерції круглої пластинки PAGEREF _Toc483198115 \h 7
HYPERLINK \l "_Toc483198116" ІІІ Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по об’єму. PAGEREF _Toc483198116 \h 7
HYPERLINK \l "_Toc483198117" Приклад 3.1. Момент інерції кулі маси PAGEREF _Toc483198117 \h 7
HYPERLINK \l "_Toc483198118" Приклад 3.2. Моменти інерції циліндра PAGEREF _Toc483198118 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc483198119" Висновки PAGEREF _Toc483198119 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc483198120" Використана література: PAGEREF _Toc483198120 \h 10

Вступ
В багатьох задачах динаміки не можна розглядати тіло як матеріальну точку за причини наявності обертального руху цього тіла. Розгляданням таких задач займається динаміка твердого тіла. Як відомо, рух твердого тіла описується парою динамічних рівнянь поступального та обертального руху: ІІ законом Ньютона та основним рівнянням динаміки обертального руху:
EMBED Equation.3 LISTNUM
) Для найбільш поширеного випадку задач, в яких розглядається обертання незмінного твердого тіла навколо нерухомої вісі. Тобто для випадку I=const
)EMBED Equation.3 LISTNUM
Важливою характеристикою тіла при його поступальному русі є маса цього тіла. Якщо ж розглядати його обертальний рух, то крім маси важливу роль відіграє форма тіла та його положення відносно осі обертання. Загальною характеристикою тіла при його обертальному русі є коефіцієнт пропорційності у формулі REF _Ref477520426 \r \h \* MERGEFORMAT (2) – момент інерції тіла. Розв’язок задач на динаміку твердого тіла має на увазі змогу знаходження моменту інерції цього тіла відносно тієї чи іншої вісі обертання.
Моментом інерції тіла відносно певної осі обертання за означенням є сума добутків мас матеріальних точок, з яких складається тіло, на квадрати відстаней до цієї осі:
EMBED Equation.3 LISTNUM
Зазвичай тіла розглядають як систему з неперервним розподілом маси. У цьому випадку у формулі REF _Ref483152150 \r \h \* MERGEFORMAT (3) треба перейти від сумування до інтегрування по всій масі тіла:
EMBED Equation.3 LISTNUM
Масу EMBED Equation.3 можна виразити через функцію розподілу маси EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 LISTNUM
У випадку рівномірного розподілу формула REF _Ref483152806 \r \h \* MERGEFORMAT (5) спрощується:
EMBED Equation.3 LISTNUM
Де EMBED Equation.3 - маса, EMBED Equation.3 - об’єм всього тіла, EMBED Equation.DSMT4 - його об’ємна густина.
В ряді задач масу можна вважати розподіленою по поверхні чи по лінії. Тоді якщо можливо вибрати таку систему координат, щоб вздовж певних осей не відбувалося зміни маси, то об’ємну густину EMBED Equation.3 можна виразити відповідно через поверхневу EMBED Equation.3 чи лінійну EMBED Equation.3 за допомогою EMBED Equation.3 -функції. В разі обрання декартової системи координат для випадків плоского та лінійного розподілу маси дійсні такі представлення:
EMBED Equation.3 LISTNUM
EMBED Equation.3 LISTNUM
Підставляючи отримані вирази у формулу REF _Ref483152806 \r \h \* MERGEFORMAT (5), представляючи EMBED Equation.3 й інтегруючи, отримаємо:
EMBED Equation.3 LISTNUM
EMBED Equation.3 LISTNUM
Або у випадку рівномірного розподілу:
EMBED Equation.3 LISTNUM
EMBED Equation.3 LISTNUM
Таким чином знаходження моменту інерції зводиться до представлення маси через щільність розподілу й інтегрування виразу REF _Ref483334880 \r \h \* MERGEFORMAT (4). В деяких випадках вже відоме значення моменту інерції тіла відносно вісі, яка проходить через його центр мас. Тоді для знаходження моменту інерції відносно шуканої вісі зручно скористатися теоремою Штейнера:
EMBED Equation.3 LISTNUM
Де EMBED Equation.3 – момент інерції відносно обраної осі; EMBED Equation.3 – момент інерції відносно осі, що проходить через центр мас та паралельна обраній; ОС – відстань між цими осями.
Окрім поняття моменту інерції відносно вісі, існує поняття моменту інерції відносно точки. Хоча момент інерції відносно точки сам по собі не відіграє ніякої ролі в динаміці, з його допомогою часто можливо значно спростити обчислення моментів інерції відносно вісі (див. REF _Ref483156808 \r \h \* MERGEFORMAT Приклад 3.1). За означенням моментом інерції тіла відносно точки є сума добутків мас матеріальних точок, з яких складається тіло, на квадрати відстаней до цієї точки:
EMBED Equation.3 LISTNUM
У випадку неперервного розподілу маси в виразі REF _Ref483157506 \r \h \* MERGEFORMAT (14) необхідно перейти від сумування до інтегрування:
EMBED Equation.3 LISTNUM
Крім того, що сума моментів інерції тіла відносно трьох взаємно перпендикулярних осей, що перетинаються в одній точці, дорівнює його подвійному моменту інерції відносно цієї точки [ REF _Ref478295797 \r \h \* MERGEFORMAT 3]:
EMBED Equation.3 LISTNUM
У випадку плоского розподілу маси можна вибрати систему координат так, щоб EMBED Equation.3 . Тоді вираз REF _Ref483158901 \r \h \* MERGEFORMAT (16) набуде вигляду:
EMBED Equation.3 LISTNUM
В даній роботі розглянута методика розв’язку задач на знаходження моменту інерції. Отримані розв’язки можуть бути використані при знаходженні моментів інерції більш складних, нерозглянутих в цій роботі фігур. Класифікуємо задачі даної теми згідно наростанню їх складності та комплексності рішення:
Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по лінії.
Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по площині.
Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по об’єму.
В загальному випадку для розв’язку задач з розглядаємої теми пропонуємо використовувати таку послідовність дій:
Проаналізувати фігуру, момент інерції якої треба знайти, з метою обрання нескінченно малої області цієї фігури, яка відображає її симетрію, й момент інерції якої відомий.
Виразити масу обраного елементу через густину розподілу.
Проінтегрувати момент інерції нескінченно малої області по всій фігурі для знаходження шуканого моменту інерції.
При аналізі фігури в першому пункті слід звертати увагу на можливість простішого розв’язку задачі за допомогою теореми Штейнера, чи за допомогою обчислення моменту інерції відносно точки.
Розглянемо деякі найбільш демонстративні приклади знаходження моменту інерції. Для простоти викладення будемо вважати, що маса розподілена рівномірно.
Основна частина
І Для знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по лінії скористаємося розв’язком найпростішої задачі – знаходження моменту інерції точки. Розглянемо тонкий стержень довжини EMBED Equation.3 та тонке кільця радіуса EMBED Equation.3.
Визначити момент інерції тонкого стержня маси EMBED Equation.3та довжини EMBED Equation.3 відносно осі, що проходить А) через один з його кінців; Б) через центр мас.
Х
О
l
x
x+dx
Розв’язок:
Рис. SEQ Рис. \* ARABIC 1
А) 1. Розглянемо елемент стержня безмежно малої довжини EMBED Equation.3 ( REF _Ref478576933 \h \* MERGEFORMAT Рис. 1). З огляду малості цей елемент можна розглядати як точковий з масою EMBED Equation.3 відповідно. За означенням момент інерції EMBED Equation.3 елементу EMBED Equation.3, що знаходиться на відстані EMBED Equation.3 від осі обертання, дорівнює:
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
2. Для визначення маси EMBED Equation.3 скористаємося формулою REF _Ref483163660 \r \h \* MERGEFORMAT (10) - зв’язку маси з лінійною густиною стержня EMBED Equation.3. Вираз REF _Ref483163705 \r \h \* MERGEFORMAT (1.1.1) набуде вигляду:
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
3. Оскільки маса в стержні розподілена неперервно, то момент інерції всього стержня отримується інтегруванням по всіх його точках рівності REF _Ref483163814 \r \h \* MERGEFORMAT (1.1.2):
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
Б) Обираючи систему координат з початком відліку у центрі стержня можна повторити розсуд й отримати значення моменту інерції EMBED Equation.3 відносно осі, що проходить через центр мас. При цьому різниця буде лише в формулі REF _Ref483163940 \r \h \* MERGEFORMAT (1.1.3): інтегрування буде відбуватися від EMBED Equation.3 до EMBED Equation.3. Отже EMBED Equation.3 .
З іншого боку момент інерції EMBED Equation.3 можна визначити за теоремою Штейнера REF _Ref483152141 \r \h \* MERGEFORMAT (13), спираючись на отримане значення моменту інерції в формулі REF _Ref483163940 \r \h \* MERGEFORMAT (1.1.3):
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
Визначити момент інерції тонкого однорідного кільця маси EMBED Equation.3і радіусу EMBED Equation.3 відносно осі: А) що проходить через центр кільця, й перпендикулярна площині, якій належить кільце; Б) лежить у цій площині.
Розв’язок:
А) Розглядаючи перший випадок перейдемо до полярної системи координат ( REF _Ref479230947 \h \* MERGEFORMAT Рис. 2). 1. Виділимо безмежно малий елемент кільця масою EMBED Equation.3 з координатами EMBED Equation.3. Момент інерції EMBED Equation.3 цього елемента дорівнює:
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
2. У випадку лінійного розподілу можливо виразити масу через кутову густину) В даному випадку можна одразу інтегрувати по всій масі кільця, але з методичних міркувань автори показують більш загальний підхід.
): EMBED Equation.3.
3. Інтегруючи по всьому кільцю, отримуємо:
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
Рис. SEQ Рис. \* ARABIC 2
Х
Y
?
d?
R
O
Б) Для розв’язання задачі у випадку коли вісь належить площині проведеній через кільце, помітимо, що з огляду симетрії момент інерції відносно цієї осі буде дорівнювати моментам інерції відносно декартових координатних осей OX і OY. Причому EMBED Equation.3 . Оскільки маса розподілена у площині, має місце співвідношення REF _Ref483165083 \r \h \* MERGEFORMAT (17), яке для розглядаємого випадку можна записати у вигляді:
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
Отже, використовуючи отриманий розв’язок REF _Ref479233770 \r \h \* MERGEFORMAT (1.2.2), знайдемо:
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
ІІ Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по площині є більш комплексною задачею, ніж для лінійного розподілу. Задача набагато спрощується, якщо скористатися вже отриманими формулами REF _Ref478579661 \r \h \* MERGEFORMAT (1.1.3), REF _Ref479234482 \r \h \* MERGEFORMAT (1.1.4), REF _Ref479233770 \r \h \* MERGEFORMAT (1.2.2) і REF _Ref479234487 \r \h \* MERGEFORMAT (1.2.4). Розглянемо низку задач, найбільш характерних для цього класу.
Знайти моменти інерції тонкої квадратної пластинки маси EMBED Equation.3 зі стороною EMBED Equation.3, відносно координатних осей OX, OY та OZ ( REF _Ref479260195 \h \* MERGEFORMAT Рис. 3).
Y
dx
O
X
x
Розв’язок:
З огляду симетрії моменти інерції відносно осей OX та OY однакові. Маса як і у попередній задачі розподілена у площині, отже враховуючи рівність REF _Ref483165083 \r \h \* MERGEFORMAT (17) маємо:
Рис. SEQ Рис. \* ARABIC 3
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
Тобто достатньо знайти момент інерції відносно будь-якої вісі, інші ж виразяться з рівняння зв’язку REF _Ref479260497 \r \h \* MERGEFORMAT (2.1.1). Зручно знайти момент інерції відносно вісі OX чи OY. Виберемо, наприклад, вісь ОY.
1. Виділимо елемент пластинки у вигляді тонкого стержня нескінченно малої товщини EMBED Equation.3, який знаходиться на відстані EMBED Equation.3 від лінії, що проходить через центр мас пластинки. Тоді момент інерції EMBED Equation.3цього елементу, визначимо за теоремою Штейнера:
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
Тут ми скористалися отриманим розв’язком REF _Ref479234482 \r \h \* MERGEFORMAT (1.1.4) для стержня. Відмінним є те, що для пластинки маса не зосереджена в стержнях нескінченно малої товщини, а рівномірно розподілена по всій поверхні цієї плоскої фігури. Тому в формулі REF _Ref479234482 \r \h \* MERGEFORMAT (1.1.4) маса буде дорівнювати EMBED Equation.3 .
2. Згідно рівностям REF _Ref483193921 \r \h \* MERGEFORMAT (9) та REF _Ref483195093 \r \h \* MERGEFORMAT (11) масу EMBED Equation.3 можна виразити через поверхневу густину EMBED Equation.3. Для цього зазначимо, що повна площа пластинки EMBED Equation.DSMT4 , а її елемент EMBED Equation.DSMT4 . Отже:
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
3. Значення для моменту інерції всієї пластинки отримується шляхом інтегрування рівності REF _Ref479261288 \r \h \* MERGEFORMAT (2.1.2) по всій її поверхні:
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
Того ж самого значення набуде і EMBED Equation.3. Для EMBED Equation.3 з рівності REF _Ref479260497 \r \h \* MERGEFORMAT (2.1.1) маємо:
EMBED Equation.3
Визначити моменти інерції тонкої круглої пластинки маси EMBED Equation.3 та радіусу EMBED Equation.3 відносно декартових координатних осей ( REF _Ref479264095 \h \* MERGEFORMAT Рис. 4).
Розв’язок:
Як і у попередній задачі тут працює рівняння зв’язку REF _Ref479260497 \r \h \* MERGEFORMAT (2.1.1). Отже для зручності будемо знаходити момент інерції відносно осі OZ.
1. Виділимо елемент пластинки у вигляді тонкого кільця радіуса EMBED Equation.3. Момент інерції EMBED Equation.3 цього кільця згідно REF _Ref479233770 \r \h \* MERGEFORMAT (1.2.2) дорівнює:
Х
Y
O
R
r
dr
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
Згідно рівностям REF _Ref483193921 \r \h \* MERGEFORMAT (9) та REF _Ref483195093 \r \h \* MERGEFORMAT (11) масу EMBED Equation.3 можна виразити через поверхневу густину EMBED Equation.3. Оскільки площа вибраного кільця EMBED Equation.3, маємо:
Рис. SEQ Рис. \* ARABIC 4
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
Підставляючи отримане значення маси у рівність REF _Ref479320543 \r \h \* MERGEFORMAT (2.2.1), й інтегруючи його по всіх можливих радіусах кілець, отримуємо:
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
З рівняння зв’язку REF _Ref479260497 \r \h \* MERGEFORMAT (2.1.1) знаходимо:
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
ІІІ Перейдемо до розгляду найбільш загального класу задач на знаходження моментів інерції, - знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по об’єму. Проілюструємо підхід до рішення задач цього класу на наступних прикладах.
Визначити момент інерції кулі маси EMBED Equation.3 та радіусу EMBED Equation.3 відносно осі, що проходить через її центр.
X
Z
Y
Розв’язок:
В даному випадку зручно для початку знайти момент інерції сфери з тими ж параметрами. З огляду симетрії шуканий момент інерції буде співпадати з кожним із значень моменту інерції відносно декартових осей координат EMBED Equation.3 . Але сума останніх за рівнянням зв’язку REF _Ref483158901 \r \h \* MERGEFORMAT (16) дорівнює подвоєному моменту інерції EMBED Equation.3 сфери відносно точки центра сфери, який згідно виразу REF _Ref483195971 \r \h \* MERGEFORMAT (15) дорівнює:
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
Отже моменти інерції відносно координатних осей будуть рівні двом третім EMBED Equation.3:
Рис. SEQ Рис. \* ARABIC 5
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
Перейдемо до знаходження моменту інерції самої кулі.
1. Для цього виділимо її елемент у вигляді тонкостінної сфери радіуса EMBED Equation.3 та товщини EMBED Equation.3 ( REF _Ref483196325 \h \* MERGEFORMAT Рис. 5). Момент інерції цієї сфери відносно будь-якої осі, що проходить через її центр, а отже і через центр кулі, згідно REF _Ref479328691 \r \h \* MERGEFORMAT (3.1.2) дорівнює:
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
2. Згідно рівностям REF _Ref483152806 \r \h \* MERGEFORMAT (5) і REF _Ref483196550 \r \h \* MERGEFORMAT (6) масу EMBED Equation.3 виразимо через густину кулі EMBED Equation.3. Маючи на увазі, що об’єм виділеної сфери EMBED Equation.3, запишемо:
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
3. Підставляючи отримане значення маси у рівність REF _Ref479330379 \r \h \* MERGEFORMAT (3.1.3), й інтегруючи його по всіх можливих радіусах сфер, матимемо:
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
Знайти моменти інерції суцільного циліндра маси EMBED Equation.3, висотою EMBED Equation.3 та радіусом основи EMBED Equation.3 А) Відносно вісі EMBED Equation.3 ; Б) осей EMBED Equation.3 . ( REF _Ref479328252 \h \* MERGEFORMAT Рис. 6)
Z
X
O
dm
Розв’язок:
А) Виділимо елемент циліндру EMBED Equation.3 у вигляді нескінченно тонкого диску товщиною EMBED Equation.3. Момент інерції цього диску відносно осі OZ за формулою REF _Ref479332713 \r \h \* MERGEFORMAT (2.2.3) дорівнює:
Рис. SEQ Рис. \* ARABIC 6
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
Інтегруючі по всьому циліндру отримуємо:
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
Б) Моменти інерції обраного нескінченно малого диску як і моменти інерції всього циліндру відносно осей OX та OY з огляду симетрії будуть рівні: EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 . Застосуємо теорему Штейнера до диску відносно осі OX. Враховуючи формулу REF _Ref479333460 \r \h \* MERGEFORMAT (2.2.4) отримуємо:
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
Згідно рівностям REF _Ref483152806 \r \h \* MERGEFORMAT (5) і REF _Ref483196550 \r \h \* MERGEFORMAT (6) виразимо масу EMBED Equation.3 через густину циліндру EMBED Equation.3:
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
Підставимо отриманий вираз для елементу маси EMBED Equation.3 у рівність REF _Ref479333874 \r \h \* MERGEFORMAT (3.2.3) для знаходження EMBED Equation.3, а отже й EMBED Equation.3, і проінтегруємо по всій довжині циліндра:
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
Помітимо, що при EMBED Equation.3 формула REF _Ref479334682 \r \h \* MERGEFORMAT (3.2.5) переходить в формулу REF _Ref478579661 \r \h \* MERGEFORMAT (1.1.3).
Якщо перемістити початок координат у центр мас, то змінюючи границі інтегрування у виразі REF _Ref479334682 \r \h \* MERGEFORMAT (3.2.5) або за теоремою Штейнера отримаємо:
EMBED Equation.3 LISTNUM \l 3
Відповідного значення набуде й EMBED Equation.3.

Висновки
Визначення моментів інерції тіл є необхідною складовою розв’язку задач динаміки твердого тіла. В даній роботі був продемонстрований метод знаходження моментів інерції різних фігур методом поетапного формування складності та проблемності. Даний метод дозволяє не тільки легко розв’язувати задачі, а й сприяє засвоєнню в учнів підходу до них. Дійсно, якщо поступово переходити до кожного класу задач на розглянуту тему, можна простежити чітку схему розв’язку, наведену у вигляді рекомендованої вище послідовності. Для успішного розв’язку задач слід дотримуватися наведених опорних пунктів. Однак не треба забувати й про можливі рівняння зв’язку, які суттєво спрощують задачу.
Отже, фактично діє одна й та сама схема, яка має на увазі відомість отриманих розв’язків менш складних задач. В загальному випадку, коли, наприклад, невідомі значення моментів інерції менш складних фігур внаслідок чи то нерівномірного розподілу маси в них, чи ще за якихось причин, задачу треба розбити на більш простіші, й вирішувати їх поступово, додержуючись наведеної схеми. Такий спосіб приведе до одержання кінцевого результату.
Дія за однією схемою в наростаючому рівні складності задач сприяє закріпленню знань з даної теми, поступово навантажує студентів. Вироблює в них чітке представлення підходу до розв’язку, сприяє комплексності мислення.
Наведений метод розв’язку задач з переходом від простого до складнішого дозволяє вирішувати й багато задач іншого роду. Такими є зокрема задачі на знаходження вектора напруженості електричного поля, вектора магнітної індукції, тощо.