Омский Государственный Университет
Кафедра Математической Логики и Логического Программирования




Анализ типичных ошибок при решении задач курса школьной математики: уравнения, тригонометрия, планиметрия.



дипломная работа
студентки гр.ММ-702
Соколовой Ю.С.
_________________
(подпись)
Научный руководитель
к.ф.-м.н.
Лопатков М.Г.
_________________
(подпись)


Омск – 2002
Содержание.
Введение…..................…………………………………………………………....3
1. Классификация ошибок с примерами……………………………...……....…5
1.1. Классификация по типам задач……..………………………..…..……….5
1.2. Классификация по типам преобразований………………………………10
2. Тесты…………………………..…………………….…...…………………….12
3. Протоколы решений………………..……….….……………......…………....18
3.1. Протоколы неверных решений………………………………............…..18
3.2. Ответы (протоколы верных решений)………………………………….34
3.3. Ошибки, допущенные в решениях……………………………………....51
Приложение……………………….……………………………………………..53
Литература……………………………………………………………………….56







ВВЕДЕНИЕ
“На ошибках учатся”, - гласит народная мудрость. Но для того, чтобы извлечь урок из негативного опыта, в первую очередь, необходимо увидеть ошибку. К сожалению, школьник зачастую не способен ее обнаружить при решении той или иной задачи. Вследствие чего возникла идея провести исследование, цель которого - выявить типичные ошибки, совершаемые учащимися, а также как можно более полно классифицировать их.
В рамках этого исследования был рассмотрен и прорешен большой набор задач из вариантов апрельского тестирования, тестов и письменных заданий вступительных экзаменов в ОмГУ, различных пособий и сборников задач для поступающих в вузы, внимательно изучены материалы заочной школы при НОФ ОмГУ. Полученные данные подверглись подробному анализу, при этом большое внимание было уделено логике решений. На основе этих данных были выделены наиболее часто допускаемые ошибки, то есть типичные.
По результатам этого анализа была сделана попытка систематизировать характерные ошибки и классифицировать их по типам преобразований и типам задач, среди которых были рассмотрены следующие: квадратные неравенства, системы неравенств, дробно-рациональные уравнения, уравнения с модулем, иррациональные уравнения, системы уравнений, задачи на движение, задачи на работу и производительность труда, тригонометрические уравнения, системы тригонометрических уравнений, планиметрия.
Классификация сопровождается иллюстрацией в форме неверных протоколов решений, что дает возможность помочь школьникам развить умение проверять и контролировать себя, критически оценивать свою деятельность, находить ошибки и пути их устранения.
Следующим этапом стала работа с тестами. Для каждой задачи были предложены пять вариантов ответов, из которых один верный, а остальные четыре неверные, но взяты не случайным образом, а соответствуют решению, в котором допущена конкретная стандартная для задач данного типа ошибка. Это дает основание для прогнозирования степени “грубости” ошибки и развития основных мыслительных операций (анализ, синтез, сравнение, обобщение). Тесты имеют следующую структуру:
Коды ошибок делятся на три вида: ОК – верный ответ, цифровой код - ошибка из классификации по типам задач, буквенный код – ошибка из классификации по типам преобразований. Их расшифровку можно посмотреть в главе 1. Классификация ошибок с примерами.
Далее были предложены задания найти ошибку в решении. Эти материалы были использованы при работе со слушателями заочной школы при НОФ ОмГУ, а также на курсах повышения квалификации учителей г.Омска и Омской области, проводимых НОФ ОмГУ.
В перспективе на основе проделанной работы можно создать систему контроля и оценки уровня знаний и умений тестируемого. Появляется возможность выявить проблемные области в работе, зафиксировать удачные методы и приемы, проанализировать, какое содержание обучения целесообразно расширить. Но для наибольшей эффективности этих методов необходима заинтересованность учащегося. С этой целью мной совместно с Чубрик А.В. и был разработан небольшой программный продукт, генерирующий неверные решения линейных и квадратных уравнений (теоретическая база и алгоритмы – я и Чуубрик А.В., помощь в реализации – студент гр. МП-803 Филимонов М.В.). Работа с данной программой дает школьнику возможность выступить в роли учителя, учеником которого является компьютер.
Полученные результаты могут послужить началом более серьезного исследования, которое в ближайшей и отдаленной перспективе сможет внести необходимые корректировки в систему обучения математике.
1. КЛАССИФИКАЦИЯ ОШИБОК С ПРИМЕРАМИ
1.1. Классификация по типам задач
Алгебраические уравнения и неравенства.
Квадратные неравенства. Системы неравенств:
Неправильно найдены корни квадратного трехчлена: неверно использована теорема Виета и формула для нахождения корней;
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Неправильно изображен график квадратного трехчлена;
Неправильно определены значения аргумента, при которых неравенство выполняется;
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Деление на выражение, содержащее неизвестную величину;
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
В системах неравенств неправильно взято пересечение решений всех неравенств;
Неправильно включены или не включены концы интервалов в окончательный ответ;
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Округление.
EMBED Equation.3
Дробно-рациональные уравнения:
Неправильно указано или не указано ОДЗ: не учтено, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю;
EMBED Equation.3 ОДЗ: EMBED Equation.3 .
При получении ответа не учитывается ОДЗ;
EMBED Equation.3 ОДЗ: EMBED Equation.3 . Ответ: EMBED Equation.3
Нерациональность в приведении к общему знаменателю;
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Неправильно найдены корни уравнения;
EMBED Equation.3
Неэквивалентная замена переменной;
Замена переменной: EMBED Equation.3 .
Деление на выражение, содержащее неизвестную величину;
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Не учтена кратность корня.
EMBED Equation.3
Уравнения с модулем:
При снятии знака модуля не учтено, при каких условиях был получен соответствующий корень;
EMBED Equation.3 Один из случаев: EMBED Equation.3 . В этом случае получаем уравнение EMBED Equation.3 . Решение: EMBED Equation.3 .
Неправильно снят знак модуля: неверно использовано определение модуля;
EMBED Equation.3 Один из случаев: EMBED Equation.3 . Тогда уравнение примет вид: EMBED Equation.3 .
Перечислены не все случаи, возникающие при снятии знака модуля с выражений, стоящих в уравнении;
EMBED Equation.3 Т.к. в уравнении 2 знака модуля возможно 2 случая:
EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .
Деление на выражение, содержащее неизвестную величину.
Аналогично.
Иррациональные уравнения:
Неправильно указано или не указано ОДЗ: неучтено, что выражение под знаком корня четной степени должно быть неотрицательным;
EMBED Equation.3 ОДЗ: EMBED Equation.3 .
При получении ответа не учитывается ОДЗ;
Аналогично.
Не учтено, что квадратный арифметический корень - неотрицательная величина, что он определен только для неотрицательных чисел;
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
При возведении уравнения в квадрат не учтены знаки обеих его частей;
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Неэквивалентная замена переменной;
Аналогично.
Деление на выражение, содержащее неизвестную величину.
Аналогично.
Системы уравнений:
Неправильно указано или не указано ОДЗ (см. конкретные уравнения);
При получении ответа не учитывается ОДЗ;
Аналогично.
Для каждого отдельного уравнения см. ошибки в предыдущих разделах;
Неправильно сформирован ответ.
Аналогично системам неравенств.
Текстовые задачи.
Задачи на движение:
Неправильно введены неизвестные величины: введены неизвестные величины, с помощью которых невозможно или трудно получить ответ, или несоответствующие смыслу задачи;
Составлено уравнение (неравенство), связывающее неизвестные величины с заданными величинами, несоответствующее условиям задачи;
…первый из А в С прошел на 12 км меньше, чем второй из В в С… EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
При решении полученных уравнений (неравенств) допущены ошибки, рассмотренные в предыдущих разделах;
Отобранные решения не соответствуют смыслу задачи;
Ответ: EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 - скорости.
Неправильно поняты термины “позже”, “раньше” и т.д.;
Т.к. первый вышел на 6 часов раньше, то: EMBED Equation.3 .
Неправильно применены формулы средней скорости, пути и т.д.;
Находим время, затраченное пешеходами от начала движения до их встречи: EMBED Equation.3 .
Выполнены преобразования с разными единицами измерения (км – м, ч – сек и т.д.)
…известно, что стоимость 4.5 м черной ткани = общей стоимости 3 м зеленой и 50 см синей… EMBED Equation.3 … уравнение, связывающее эти стоимости: EMBED Equation.3 …
Задачи на работу и производительность труда:
Ошибки аналогичны допускаемым в задачах на движение.
Тригонометрия.
Тригонометрические уравнения:
Неправильно указано или не указано ОДЗ (аналогично алгебраическим уравнениям);
При получении ответа не учитывается ОДЗ;
Неправильно применены формулы: в формулах приведения получили неверный знак или функцию; в преобразовании суммы или разности в произведение (или наоборот) перепутали sin и cos, или полу сумму аргументов с полу разностью, или опустили множитель ½; в формулах сложения, понижения степени аналогично;
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Неправильное преобразование сложной функции;
EMBED Equation.3
Использование неправильной области определения или свойств функции;
EMBED Equation.3
Допущены ошибки в преобразованиях, аналогичных алгебраическим уравнениям.
Системы тригонометрических уравнений:
Те же ошибки, что и в предыдущем разделе, при решении каждого уравнения;
Неправильный отбор корней: при получении ответа не учтено, что k и n, пробегающие множество целых чисел, могут быть как различными, так и одинаковыми;
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Ответ: EMBED Equation.3 .
Те же ошибки, что и при решении систем алгебраических уравнений.
Планиметрия.
Неправильно сделан чертеж;
Неправильно использованы формулы, теоремы или свойства фигур и тел;
…Радиус окружности можно найти с помощью теоремы синусов: EMBED Equation.3 .
Не приведены величины к одной единице измерения;
Аналогично.
Ответ не соответствует смыслу задачи;
Могут быть допущены алгебраические ошибки.

1.2. Классификация по типам преобразований
Неправильно раскрыли скобки;
EMBED Equation.3
При переносе слагаемого в другую часть уравнения или неравенства не сменили его знак на противоположный;
EMBED Equation.3
Неправильно привели подобные;
EMBED Equation.3
Перенос переместительного закона умножения / распределительного закона умножения относительно сложения на другие действия и преобразования;
EMBED Equation.3
Ошибочное установление аналогии между объектами внешне сходными, но по сути различными;
EMBED Equation.3
Неправильный порядок действий;
EMBED Equation.3
Перепутаны степень и коэффициент;
EMBED Equation.3
Неправильно перемножены многочлены и одночлены;
EMBED Equation.3
Неправильно поделены многочлены и одночлены;
EMBED Equation.3
Неправильное разложение на множители;
EMBED Equation.3
Неправильные тождественные преобразования иррациональных выражений;
EMBED Equation.3
Арифметическая ошибка.
2. ТЕСТЫ
3. ПРОТОКОЛЫ РЕШЕНИЙ
3.1. Протоколы неверных решений
Задача 1.
Решить неравенство: EMBED Equation.3 .
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения EMBED Equation.3 по теореме Виета:
EMBED Equation.3 График функции EMBED Equation.3 - это парабола, ветви которой направлены вниз:
Задача 2.
Решить неравенство: EMBED Equation.3 .
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения EMBED Equation.3 по теореме Виета:
EMBED Equation.3 График функции EMBED Equation.3 - это парабола.
Задача 3.
Решить неравенство: EMBED Equation.3
Решение:
Упростим выражение, сократив на x. Получим неравенство: EMBED Equation.3
Следовательно, ответ: EMBED Equation.3
Задача 4.
Решить неравенство: EMBED Equation.3
Решение:
Корни уравнения EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 График функции EMBED Equation.3 - это парабола, ветви которой направлены вверх.
Задача 5.
Решить неравенство: EMBED Equation.3
Решение:
Домножим неравенство на –1, получим: EMBED Equation.3 Выделим полный квадрат: EMBED Equation.3 В левой части неравенства стоит неотрицательное число, а значит неравенство верно при любых значениях x, кроме случая равенства, т.е. EMBED Equation.3
Запишем окончательный ответ: EMBED Equation.3
Задача 6.
Решить систему неравенств: EMBED Equation.3
Решение:
Решаем каждое из неравенств системы в отдельности:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3

EMBED Equation.3


Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 7.
Решить уравнение: EMBED Equation.3
Решение:
Приведем дроби к общему знаменателю и отбросим знаменатель:
EMBED Equation.3 Ответ: x = 1.
Задача 8.
Решить уравнение: EMBED Equation.3
Решение:
ОДЗ: EMBED Equation.3 , т.к. знаменатель не должен обращаться в ноль.
Приведем все дроби к общему знаменателю:
EMBED Equation.3
Приведем подобные и отбросим знаменатель:
EMBED Equation.3
Получили EMBED Equation.3 , но эти корни не входят в ОДЗ, поэтому ответ: решений нет.
Задача 9.
Решить уравнение: EMBED Equation.3 .
Решение:
Рассмотрим 4 возможных случая:
EMBED Equation.3 . В этом случае получаем уравнение EMBED Equation.3 . Это значение удовлетворяет уравнению, поэтому является корнем данного уравнения.
EMBED Equation.3 . В этом случае получаем уравнение EMBED Equation.3 . Решение: EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 . В этом случае получаем уравнение EMBED Equation.3 . Решений нет.
EMBED Equation.3 . Получаем уравнение EMBED Equation.3 - не удовлетворяет уравнению.
Объединяя найденные решения, получаем окончательный ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 10.
Решить уравнение: EMBED Equation.3 .
Решение:
Т.к. в уравнении 2 знака модуля, возможны 2 случая:
EMBED Equation.3 . В этом случае получаем уравнение EMBED Equation.3 . Это значение удовлетворяет уравнению, поэтому является корнем данного уравнения.
EMBED Equation.3 - этот случай невозможен.
Объединяя найденные решения, получаем окончательный ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 11.
Решить уравнение: EMBED Equation.3 .
Решение:
Возможны 2 случая:
EMBED Equation.3 . Тогда уравнение примет вид: EMBED Equation.3 - корень исходного уравнения.
EMBED Equation.3 . Тогда уравнение примет вид: EMBED Equation.3 - корень исходного уравнения.
Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 12.
Решить уравнение: EMBED Equation.3 .
Решение:
ОДЗ: EMBED Equation.3 .
Оставляем корень в левой части уравнения, а все остальные слагаемые переносим в правую: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Затем возводим в квадрат: EMBED Equation.3 , причем т.к. EMBED Equation.3 , то для корректности возведения в квадрат необходимо, чтобы EMBED Equation.3 . Получим уравнение EMBED Equation.3 . Найдем его корни: EMBED Equation.3 . Оба корня удовлетворяют ОДЗ, но только один EMBED Equation.3 удовлетворяет дополнительному ограничению EMBED Equation.3 . Поэтому ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 13.
Решить уравнение: EMBED Equation.3 .
Решение:
ОДЗ: EMBED Equation.3 .
Оставляем корень в левой части уравнения, а все остальные слагаемые переносим в правую: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Затем возводим в квадрат: EMBED Equation.3 . Получим уравнение EMBED Equation.3 . Его корни: EMBED Equation.3 . Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Поэтому ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 14.
Решить уравнение: EMBED Equation.3 .
Решение:
ОДЗ: EMBED Equation.3 .
Выделим полный квадрат под первым знаком корня: EMBED Equation.3 .
Получим уравнение: EMBED Equation.3 . Оставляем корень в левой части уравнения, а все остальные слагаемые переносим в правую и умножим уравнение на -1: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Возведем обе части уравнения в квадрат с учетом EMBED Equation.3 , получим EMBED Equation.3 . Найдем корни: EMBED Equation.3 . Учитывая ОДЗ и дополнительное ограничение EMBED Equation.3 , получаем ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 15.
Решить систему уравнений: EMBED Equation.3 .
Решение:
ОДЗ: EMBED Equation.3 .
Из второго уравнения находим EMBED Equation.3 и подставляем в первое: EMBED Equation.3 .
Делаем замену переменной: EMBED Equation.3 . Получаем квадратное уравнение относительно t: EMBED Equation.3 . Получим корни: EMBED Equation.3 .
Имеем 2 случая:
EMBED Equation.3 - это невозможно, т.к. EMBED Equation.3 - неотрицательная величина.
EMBED Equation.3 . Отсюда EMBED Equation.3 .
Ответ: (1; 9).
Задача 16.
Решить задачу: Два туриста идут навстречу друг другу из пунктов А и В. Первый выходит из А на 6 часов раньше, чем второй из В, и при встрече в пункте С оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 часов после встречи, а второй в А – через 9 часов. Определить расстояние АВ и скорость обоих пешеходов.
Решение:
Пусть EMBED Equation.3 (км/ч) – скорости первого и второго пешеходов, S(км)=АВ. Изобразим на чертеже движение пешеходов.
Из условия задачи имеем: EMBED Equation.3 .
Выразим теперь время, затраченное пешеходами от начала движения до их встречи: EMBED Equation.3 .
Т.к. первый вышел на 6 часов раньше, то: EMBED Equation.3 .
Сделаем замену: EMBED Equation.3 и решим уравнение: EMBED Equation.3 . Это уравнение корней не имеет. Следовательно, ответ: такая ситуация невозможна.
Задача 17.
Решить задачу: Два туриста идут навстречу друг другу из пунктов А и В. Первый выходит из А на 6 часов раньше, чем второй из В, и при встрече в пункте С оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 часов после встречи, а второй в А – через 9 часов. Определить расстояние АВ и скорость обоих пешеходов.
Решение:
Пусть EMBED Equation.3 (км/ч) – скорости первого и второго пешеходов, S(км)=АВ.
Т.к. первый до встречи в С со вторым прошел на 12 км меньше, то EMBED Equation.3 . Выразим теперь время, затраченное пешеходами от начала движения до их встречи: EMBED Equation.3 .
Т.к. первый вышел на 6 часов раньше, то: EMBED Equation.3 .
Сделаем замену: EMBED Equation.3 и решим уравнение: EMBED Equation.3 . Его корни: EMBED Equation.3 .
Получили 2 случая:
EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 .
Значит,
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
Т.к. расстояние не может быть отрицательным, то подходит только второй случай.
Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 18.
Решить задачу: Две трубы, работая одновременно, наполняют бассейн за 12 часов. Одна первая труба наполняет бассейн на 10 часов медленнее, чем одна вторая. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Решение:
Положим объем бассейна = 1. Пусть EMBED Equation.3 (ч) – время наполнения бассейна одной второй трубой. Тогда одна первая труба наполнит бассейн за EMBED Equation.3 часов. Находим производительность этих труб: EMBED Equation.3 . За 12 часов совместной работы с общей производительностью EMBED Equation.3 заполняется весь бассейн: EMBED Equation.3 . Решаем полученное уравнение: EMBED Equation.3 .
Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 19.
Решить задачу: В ателье поступило по одному куску черной, зеленой и синей ткани. Хотя зеленой ткани было на 9 м меньше, чем черной, и на 6 м больше, чем синей, стоимость кусков была одинаковой. Сколько метров ткани было в каждом куске, если известно, что стоимость 4.5 м черной ткани = общей стоимости 3 м зеленой и 50 см синей?
Решение:
Пусть EMBED Equation.3 -количество черной, зеленой и синей ткани соответственно.
Известно: EMBED Equation.3 . Используем формулу: EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 - цена ткани, S – стоимость куска, q – количество ткани.
Пусть S = 1. Получим EMBED Equation.3 - цены тканей. Составим уравнение, связывающее эти стоимости: EMBED Equation.3 .
Выразим EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 через EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 .
Подставляем в последнее уравнение: EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 . Получили EMBED Equation.3 .
Ответ: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Задача 20.
Решить уравнение: EMBED Equation.3 .
Решение:
По формулам приведения приведем все функции к одному аргументу: EMBED Equation.3 . Получили уравнение: EMBED Equation.3 . По формулам сокращенного умножения разложим на множители: EMBED Equation.3 . По основному тригонометрическому тождеству EMBED Equation.3 , поэтому остается решить уравнение: EMBED Equation.3 .
Рассмотрим 2 случая:
EMBED Equation.3 . Разделим на EMBED Equation.3 , причем EMBED Equation.3 . Тогда имеем уравнение: tg x = 1. Следовательно, EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 . Разделим на EMBED Equation.3 , причем EMBED Equation.3 . Тогда имеем уравнение: tg x = -1. Следовательно, EMBED Equation.3 .
Получили ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 21.
Решить задачу: В окружности проведены 3 хорды: МА = 6 см, МВ = 4 см, МС = 1 см. Хорда МВ делит вписанный угол АМС пополам. Найти радиус этой окружности.
Решение:
Отрезки EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 равны как хорды, стягивающие равные дуги, поэтому вычтем из первого уравнения второе и получим: EMBED Equation.3 . Значит, EMBED Equation.3 . Треугольник EMBED Equation.3 вписан в окружность, следовательно, радиус данной окружности можно найти с помощью теоремы синусов: EMBED Equation.3 . Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 22.
Решить задачу: В сектор радиуса EMBED Equation.3 с центральным углом EMBED Equation.3 вписан круг. Найти его радиус.
Решение:
Треугольник ABC – равнобедренный, т.к. AB=AC=R. Найдем BC по теореме косинусов: EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 , т.к. АК – высота треуг-ка АВС, следовательно, EMBED Equation.3 . Из прямоугольного треуг-ка АВК: EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 , где ОН=r. Из прямоугольного треуг-ка АОН: EMBED Equation.3 , значит, ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 23.
Решить уравнение: EMBED Equation.3 .
Решение:
ОДЗ: EMBED Equation.3 .
Применяя формулы понижения степени, приведем это уравнение к более простому виду: EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Отсюда, используя формулу преобразования суммы косинусов в произведение, получаем: EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Рассмотрим 2 случая:
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 , следовательно, используя вновь формулу преобразования суммы косинусов в произведение, имеем:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
Таким образом, учитывая ОДЗ, получаем
Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 24.
Решить уравнение: EMBED Equation.3 .
Решение:
ОДЗ: EMBED Equation.3 .
Введем новую переменную, положив t = tg x. Так как EMBED Equation.3 , то уравнение примет вид: EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3 . Число 2 является корнем полученного уравнения, поэтому это уравнение можно преобразовать следующим образом: EMBED Equation.3 . Сократим на (t-2). Квадратный трехчлен во второй скобке не имеет действительных корней. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
Ответ: решений нет.
Задача 25.
Решить уравнение: EMBED Equation.3 .
Решение:
Преобразуем уравнение следующим образом:
EMBED Equation.3 .
Рассмотрим 2 случая:
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
Ответ: EMBED Equation.3 .

Задача 26.
Решить систему: EMBED Equation.3
Решение:
Каждое из уравнений этой системы является простейшим, поэтому нетрудно заметить, что
EMBED Equation.3
Решая последнюю систему, получаем
Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 27.
Решить задачу: Основания трапеции 5 дм и 40 см. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.
Решение:
Нетрудно заметить, что точки Р и К лежат на средней линии EF трапеции. Так как ЕК – средняя линия треугольника ABD, то EMBED Equation.3 . Аналогично, EMBED Equation.3 , поскольку является средней линией треугольника АВС. Следовательно, EMBED Equation.3 .
Ответ: 17.5 см.
Задача 28.
Решить задачу: Даны 2 стороны треугольника a, b и медиана EMBED Equation.3 , проведенная к стороне c. Найти сторону с.
Решение:
Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 29.
Решить задачу: Даны 2 стороны треугольника a, b и медиана EMBED Equation.3 , проведенная к стороне c. Найти сторону с.
Решение:
Воспользуемся формулой EMBED Equation.3 .
Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 30.
Решить задачу: Несколько рабочих выполняют работу за 14 дней. Если бы их было на 4 человека больше и каждый работал в день на 1 час больше, то та же работа была бы сделана за 10 дней. Если бы их было еще на 6 человек больше и каждый работал бы еще на 1 час в день больше, то эта работа была бы сделана за 7 дней. Сколько было рабочих, и сколько часов в день они работали?
Решение:
Пусть w - число рабочих, х – число часов их работы в день. Пусть вся работа равна единице, а у – производительность (в час) каждого рабочего.
Тогда один рабочий за х часов (т.е. в день) выполняет ху единиц работы, а w рабочих за 14 дней выполнят 14wxy единиц работы. Согласно условию 14wxy = 1.
Аналогично, если рабочих стало w + 4, и они работают каждый день х + 1 час, то
10(w + 4)(x + 1)y = 1.
Для случая, когда рабочих еще на 6 человек больше (т.е. w + 6), и они работают еще на час дольше (т.е. х + 1 часа) каждый день, получаем уравнение 7(w + 6)(x + 1)y = 1.
Из системы
EMBED Equation.3
надо найти w, x.
Приравняв левые части первого и второго, а также первого и третьего уравнений и упростив, получим систему
EMBED Equation.3
Отсюда легко получается, что EMBED Equation.3 . Следовательно, второе значение х не подходит. Поэтому получили
Ответ: всего было 54 рабочих; они работали 1,25 часов в день.



3.2. Ответы (протоколы верных решений)
Задача 1.
Решить неравенство: EMBED Equation.3 .
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения EMBED Equation.3 по теореме Виета:
EMBED Equation.3 График функции EMBED Equation.3 - это парабола, ветви которой направлены вниз:
Задача 2.
Решить неравенство: EMBED Equation.3 .
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения EMBED Equation.3 по теореме Виета:
EMBED Equation.3 График функции EMBED Equation.3 - это парабола, ветви которой направлены вниз:
Задача 3.
Решить неравенство: EMBED Equation.3
Решение:
Корни уравнения EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 График функции EMBED Equation.3 - это парабола, ветви которой направлены вверх.
Задача 4.
Решить неравенство: EMBED Equation.3
Решение:
Корни уравнения EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 График функции EMBED Equation.3 - это парабола, ветви которой направлены вверх.
Задача 5.
Решить неравенство: EMBED Equation.3
Решение:
Домножим неравенство на –1, получим: EMBED Equation.3 Выделим полный квадрат: EMBED Equation.3 В левой части неравенства стоит неотрицательное число, а значит неравенство неверно при любых значениях x, т.е. не имеет решений.
Запишем окончательный ответ: решений нет.
Задача 6.
Решить систему неравенств: EMBED Equation.3
Решение:
Решаем каждое из неравенств системы в отдельности:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Для того, чтобы получить решение системы, возьмем пересечение всех полученных интервалов.

Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 7.
Решить уравнение: EMBED Equation.3
Решение:
ОДЗ: EMBED Equation.3 .
Приведем дроби к общему знаменателю и отбросим знаменатель:
EMBED Equation.3 Но x=1 не входит в ОДЗ, поэтому ответ: решений нет.
Задача 8.
Решить уравнение: EMBED Equation.3
Решение:
ОДЗ: EMBED Equation.3 , т.к. знаменатель не должен обращаться в ноль.
Приведем дроби к общему знаменателю и отбросим знаменатель:
EMBED Equation.3 Но x=1 не входит в ОДЗ, поэтому ответ: решений нет.
Задача 9.
Решить уравнение: EMBED Equation.3 .
Решение:
Рассмотрим 4 возможных случая:
EMBED Equation.3 . В этом случае получаем уравнение EMBED Equation.3 . Это значение удовлетворяет уравнению, поэтому является корнем данного уравнения.
EMBED Equation.3 . В этом случае получаем уравнение EMBED Equation.3 . Решение: EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 . В этом случае получаем уравнение EMBED Equation.3 . Решений нет.
EMBED Equation.3 - этот случай не возможен.
Объединяя найденные решения, получаем окончательный ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 10.
Решить уравнение: EMBED Equation.3 .
Решение:
Рассмотрим 4 возможных случая:
EMBED Equation.3 . В этом случае получаем уравнение EMBED Equation.3 . Это значение удовлетворяет уравнению, поэтому является корнем данного уравнения.
EMBED Equation.3 . В этом случае получаем уравнение EMBED Equation.3 . Решение: EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 . В этом случае получаем уравнение EMBED Equation.3 . Решений нет.
EMBED Equation.3 - этот случай не возможен.
Объединяя найденные решения, получаем окончательный ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 11.
Решить уравнение: EMBED Equation.3 .
Решение:
Возможны 2 случая:
EMBED Equation.3 . Тогда уравнение примет вид: EMBED Equation.3 - корень исходного уравнения.
EMBED Equation.3 . Тогда уравнение примет вид: EMBED Equation.3 - корень исходного уравнения.
Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 12.
Решить уравнение: EMBED Equation.3 .
Решение:
ОДЗ: EMBED Equation.3 .
Оставляем корень в левой части уравнения, а все остальные слагаемые переносим в правую: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Затем возводим в квадрат: EMBED Equation.3 , причем т.к. EMBED Equation.3 , то для корректности возведения в квадрат необходимо, чтобы EMBED Equation.3 . Получим уравнение EMBED Equation.3 . Найдем его корни:
EMBED Equation.3 . Оба корня удовлетворяют ОДЗ, но только один EMBED Equation.3 удовлетворяет дополнительному ограничению EMBED Equation.3 . Поэтому ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 13.
Решить уравнение: EMBED Equation.3 .
Решение:
ОДЗ: EMBED Equation.3 .
Оставляем корень в левой части уравнения, а все остальные слагаемые переносим в правую: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Затем возводим в квадрат: EMBED Equation.3 , причем т.к. EMBED Equation.3 , то для корректности возведения в квадрат необходимо, чтобы EMBED Equation.3 . Получим уравнение EMBED Equation.3 . Найдем его корни: EMBED Equation.3 . Оба корня удовлетворяют ОДЗ, но только один EMBED Equation.3 удовлетворяет дополнительному ограничению EMBED Equation.3 . Поэтому ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 14.
Решить уравнение: EMBED Equation.3 .
Решение:
ОДЗ: EMBED Equation.3 .
Выделим полный квадрат под первым знаком корня: EMBED Equation.3 .
Получим уравнение: EMBED Equation.3 .
Рассмотрим 2 случая:
EMBED Equation.3 . Получим EMBED Equation.3 . Возведем обе части уравнения в квадрат с учетом EMBED Equation.3 , получим EMBED Equation.3 . Найдем корни: EMBED Equation.3 . Учитывая ОДЗ и дополнительное ограничение EMBED Equation.3 , получаем корень: EMBED Equation.3 .
x<3. Получим EMBED Equation.3 . Возведем обе части уравнения в квадрат с учетом EMBED Equation.3 , получим EMBED Equation.3 . Найдем корни: EMBED Equation.3 . Учитывая ОДЗ и дополнительное ограничение EMBED Equation.3 , получаем корень: EMBED Equation.3 .
Учитывая ОДЗ, получаем ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 15.
Решить систему уравнений: EMBED Equation.3 .
Решение:
ОДЗ: EMBED Equation.3 .
Из второго уравнения находим EMBED Equation.3 и подставляем в первое: EMBED Equation.3 .
Делаем замену переменной: EMBED Equation.3 . Получаем квадратное уравнение относительно t: EMBED Equation.3 . Получим корни: EMBED Equation.3 . Но согласно замене EMBED Equation.3 не подходит.
Поэтому EMBED Equation.3 . Отсюда EMBED Equation.3 .
Ответ: (1; 9).
Задача 16.
Решить задачу: Два туриста идут навстречу друг другу из пунктов А и В. первый выходит из А на 6 часов позже, чем второй из В, и при встрече в пункте С оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 часов после встречи, а второй в А – через 9 часов. Определить расстояние АВ и скорость обоих пешеходов.
Решение:
Пусть EMBED Equation.3 (км/ч) – скорости первого и второго пешеходов, S(км)=АВ. Изобразим на чертеже движение пешеходов.
Из условия задачи имеем: EMBED Equation.3 .
Выразим теперь время, затраченное пешеходами от начала движения до их встречи: EMBED Equation.3 .
Т.к. первый вышел на 6 часов раньше, то: EMBED Equation.3 .
Сделаем замену: EMBED Equation.3 и решим уравнение: EMBED Equation.3 . Но a – это отношение скоростей, а значит больше нуля. Получили систему:
EMBED Equation.3 . Значит, EMBED Equation.3 .
Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 17.
Решить задачу: Два туриста идут навстречу друг другу из пунктов А и В. первый выходит из А на 6 часов позже, чем второй из В, и при встрече в пункте С оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 часов после встречи, а второй в А – через 9 часов. Определить расстояние АВ и скорость обоих пешеходов.
Решение:
Пусть EMBED Equation.3 (км/ч) – скорости первого и второго пешеходов, S(км)=АВ. Изобразим на чертеже движение пешеходов.
Из условия задачи имеем: EMBED Equation.3 .
Выразим теперь время, затраченное пешеходами от начала движения до их встречи: EMBED Equation.3 .
Т.к. первый вышел на 6 часов раньше, то: EMBED Equation.3 .
Сделаем замену: EMBED Equation.3 и решим уравнение: EMBED Equation.3 . Но a – это отношение скоростей, а значит больше нуля. Получили систему:
EMBED Equation.3 . Значит, EMBED Equation.3 .
Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 18.
Решить задачу: Две трубы, работая одновременно, наполняют бассейн за 12 часов. Одна первая труба наполняет бассейн на 10 часов медленнее, чем одна вторая. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Решение:
Положим объем бассейна = 1. Пусть EMBED Equation.3 (ч) – время наполнения бассейна одной второй трубой. Тогда одна первая труба наполнит бассейн за EMBED Equation.3 часов. Находим производительность этих труб: EMBED Equation.3 . За 12 часов совместной работы с общей производительностью EMBED Equation.3 заполняется весь бассейн: EMBED Equation.3 . Решаем полученное уравнение: EMBED Equation.3 .
Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 19.
Решить задачу: В ателье поступило по одному куску черной, зеленой и синей ткани. Хотя зеленой ткани было на 9 м меньше, чем черной, и на 6 м больше, чем синей, стоимость кусков была одинаковой. Сколько метров ткани было в каждом куске, если известно, что стоимость 4.5 м черной ткани = общей стоимости 3 м зеленой и 50 см синей?
Решение:
Пусть EMBED Equation.3 -количество черной, зеленой и синей ткани соответственно.
Известно: EMBED Equation.3 . Используем формулу: EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 - цена ткани, S – стоимость куска, q – количество ткани.
Пусть S = 1. Получим EMBED Equation.3 - цены тканей. Составим уравнение, связывающее эти стоимости: EMBED Equation.3 .
Выразим EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 через EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 .
Подставляем в последнее уравнение: EMBED Equation.3 , причем EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 . Получили
EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 - невозможно.
Ответ: 45м, 36м, 30м.

Задача 20.
Решить уравнение: EMBED Equation.3 .
Решение:
По формулам приведения приведем все функции к одному аргументу: EMBED Equation.3 . По формулам сокращенного умножения разложим на множители: EMBED Equation.3 . По основному тригонометрическому тождеству EMBED Equation.3 , поэтому остается уравнение: EMBED Equation.3 .
Рассмотрим 3 случая:
EMBED Equation.3 . Разделим на EMBED Equation.3 , причем EMBED Equation.3 . Тогда имеем уравнение: tg x = - 1. Следовательно, EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 , cos x = -1. Следовательно, EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 .
Получили ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 21.
Решить задачу: В окружности проведены 3 хорды: МА = 6 см, МВ = 4 см, МС = 1 см. Хорда МВ делит вписанный угол АМС пополам. Найти радиус этой окружности.
Решение:
Отрезки EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 равны как хорды, стягивающие равные дуги, поэтому вычтем из первого уравнения второе и получим: EMBED Equation.3 . Значит, EMBED Equation.3 . Треугольник EMBED Equation.3 вписан в окружность, следовательно, радиус данной окружности можно найти с помощью теоремы синусов: EMBED Equation.3 . Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 22.
Решить задачу: В сектор радиуса EMBED Equation.3 с центральным углом EMBED Equation.3 вписан круг. Найти его радиус.
Решение:
Т.к. центры окружностей и точки касания лежат на одной прямой, то EMBED Equation.3 . Рассмотрим треугольник АОН (он прямоугольный, т.к. угол EMBED Equation.3 ): угол EMBED Equation.3 из равенства треуг-ков АОН и АОМ (т.к. ОН=ОМ=r, АН=АМ как отрезки касательных, проведенных из одной точки, сторона АО - общая). EMBED Equation.3
Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 23.
Решить уравнение: EMBED Equation.3 .
Решение:
ОДЗ: EMBED Equation.3 .
Применяя формулы понижения степени, приведем это уравнение к более простому виду: EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Отсюда, используя формулу преобразования суммы косинусов в произведение, получаем: EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Рассмотрим 2 случая:
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 , следовательно, используя вновь формулу преобразования суммы косинусов в произведение, имеем:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
Таким образом, учитывая ОДЗ, получаем
Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 24.
Решить уравнение: EMBED Equation.3 .
Решение:
ОДЗ: EMBED Equation.3 .
Введем новую переменную, положив t = tg x. Так как EMBED Equation.3 , то уравнение примет вид: EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3 . Число 2 является корнем полученного уравнения, поэтому это уравнение можно преобразовать следующим образом: EMBED Equation.3 . Квадратный трехчлен во второй скобке не имеет действительных корней. Следовательно, уравнение имеет только один корень. Найдем корни исходного уравнения:
EMBED Equation.3 .
Дополнительный случай рассматривать не надо, так как EMBED Equation.3 .
Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 25.
Решить уравнение: EMBED Equation.3 .
Решение:
ОДЗ: EMBED Equation.3 , т.е. EMBED Equation.3 .
Преобразуем уравнение следующим образом:
EMBED Equation.3 .
Рассмотрим 2 случая:
EMBED Equation.3 ; в этом случае исходное уравнение решений не имеет, т.к. данные значения не входят в ОДЗ;
EMBED Equation.3 ; эти значения входят в ОДЗ уравнения.
Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 26.
Решить систему: EMBED Equation.3
Решение:
Каждое из уравнений этой системы является простейшим, поэтому нетрудно заметить, что
EMBED Equation.3
Решая последнюю систему, получаем
Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 27.
Решить задачу: Основания трапеции 5 дм и 40 см. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.
Решение:
Нетрудно заметить, что точки Р и К лежат на средней линии EF трапеции. Так как ЕК – средняя линия треугольника ABD, то EMBED Equation.3 . Аналогично, EMBED Equation.3 , поскольку является средней линией треугольника АВС. Следовательно, EMBED Equation.3 .
Ответ: 5 см.
Задача 28.
Решить задачу: Даны 2 стороны треугольника a, b и медиана EMBED Equation.3 , проведенная к стороне c. Найти сторону с.
Решение:
Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 29.
Решить задачу: Даны 2 стороны треугольника a, b и медиана EMBED Equation.3 , проведенная к стороне c. Найти сторону с.
Решение:
Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача 30.
Решить задачу: Несколько рабочих выполняют работу за 14 дней. Если бы их было на 4 человека больше и каждый работал в день на 1 час больше, то та же работа была бы сделана за 10 дней. Если бы их было еще на 6 человек больше и каждый работал бы еще на 1 час в день больше, то эта работа была бы сделана за 7 дней. Сколько было рабочих, и сколько часов в день они работали?
Решение:
Пусть w - число рабочих, х – число часов их работы в день. Пусть вся работа равна единице, а у – производительность (в час) каждого рабочего.
Тогда один рабочий за х часов (т.е. в день) выполняет ху единиц работы, а w рабочих за 14 дней выполнят 14wxy единиц работы. Согласно условию 14wxy = 1.
Аналогично, если рабочих стало w + 4, и они работают каждый день х + 1 час, то
10(w + 4)(x + 1)y = 1.
Для случая, когда рабочих еще на 6 человек больше (т.е. w + 10), и они работают еще на час дольше (т.е. х + 2 часа) каждый день, получаем уравнение 7(w + 10)(x + 2)y = 1.
Из системы
EMBED Equation.3
надо найти w, x.
Приравняв правые части первого и второго, а также первого и третьего уравнений и упростив, получим систему
EMBED Equation.3
Если вычесть из второго уравнения удвоенное первое, то х исчезнет, и найдем, что w = 20. Отсюда легко получается, что х = 6.
Ответ: всего было 20 рабочих; они работали 6 часов в день.







3.3. Ошибки, допущенные в задачах
Теорема Виета применена неверно: коэффициенты p и q взяты для неприведенного уравнения и с противоположными знаками.
Неправильно построен график.
Потеря корней путем сокращения.
Концы интервалов включены в ответ, хотя они не удовлетворяют данному неравенству.
Не сменили знак неравенства при умножении обеих его частей на отрицательное число.
Для получения решения системы неравенств взято не пересечение, а объединение решений каждого отдельного неравенства.
Не указано ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю.
Нерациональность в приведении к общему знаменателю.
Нигде не учтены условия, при которых были сняты знаки модуля.
Рассмотрены не все случаи, возникающие при снятии знаков модуля.
Во втором случае неправильно снят знак модуля.
Не указано ОДЗ: арифметический квадратный корень определен только для неотрицательных чисел.
При возведении в квадрат обеих частей уравнения не учтены их знаки.
Не учтено, что корень из квадрата числа равен модулю этого числа.
Сделана неэквивалентная замена переменной.
Неправильно понят смысл слова “раньше”.
Неправильно составлено уравнение, связывающее величины АС и ВС;
Не учтено, что скорость не может быть отрицательной.
Неправильно применена формула производительности через объем работы и время.
Выполнены преобразования с величинами в разных единицах измерения.
Неправильно применены формулы приведения.

Неправильно применена теорема косинусов;
Неправильно применено основное тригонометрическое тождество;
Неправильно применена теорема синусов.
Неправильно сделан чертеж.
В формуле преобразования суммы косинусов в произведение во втором множителе cos заменили на sin.
Потеря корня путем сокращения.
Не указано ОДЗ уравнения.
Неправильно произведен отбор корней (в каждом из уравнений системы должна быть своя буква, а не одна n).
Выполнены преобразования с разными единицами измерения.
Неправильно применено свойство параллелограмма.
Перепутали формулы для медианы и биссектрисы.
Получили систему уравнений, не соответствующую условиям задачи.







ПРИЛОЖЕНИЕ
Программа “Генератор неправильных решений”
“Генератор неправильных решений” (Wrong Solution Generator v.3.3) по заданному линейному или квадратному уравнению выдает протокол решения с допущенными в нем ошибками (или без них). Пользователю необходимо найти и отметить допущенные в решении ошибки.
Программа написана с использованием Microsoft Visual C++ 6.0/MFC 4.2.
Описание интерфейса программы:
Описание классов:
Класс “Задача”:
class CTask
{
public:
int nPosibleErr; // число возможных ошибок
long m_a; //
long m_b; // коэффициенты уравнения
long m_c; //
BOOL m_arErrors[8]; // массив ошибок
CTask(); // конструктор
virtual ~CTask(); // деструктор
virtual void Draw(CDC *pDC, CRect *rect);
// отображает уравнение
virtual void InitErrors()=0; // инициализирует ошибки
virtual void DrawStep(int Step, CDC *pDC, CRect *pRect)=0;
// отображает протокол решения
virtual void DrawErrors(CDC *pDC, CRect *pRect)=0;
// отображает варианты возможных ошибок
};
Класс “Линейное уравнение”:
class CLinTask : public CTask
{
public:
CLinTask(); // конструктор
virtual ~CLinTask(); // деструктор
void InitErrors(); // инициализирует ошибки
void Draw(CDC *pDC, CRect *rect); // отображает уравнение
void DrawStep(int Step, CDC *pDC, CRect *pRect);
// отображает протокол решения
void DrawErrors(CDC *pDC, CRect *pRect);
// отображает варианты возможных ошибок
void SetError1(); // устанавливаются конкретные ошибки
void SetError2(); // на каждом шаге решения
};
Класс “Квадратное уравнение”:
class CEqTask : public CTask
{
public:
long m_d; // дискриминант
double m_x1, m_x2; // корни уравнения
public:
CRect m_rectError5; //
CRect m_rectError6; // области вывода картинок
CRect m_rectError7; //
CRect m_rectError8; //

CEqTask();// конструктор
virtual ~CEqTask();// деструктор
void Draw(CDC *pDC, CRect *rect); // отображает уравнения
void DrawErrors(CDC *pDC, CRect *pRect);
// отображает варианты возможных ошибок
void InitErrors(); // инициализирует ошибки
void DoStep(int nStep); // выполняет очередной шаг решения
void DrawStep(int Step, CDC *pDC, CRect *pRect);
// отображает протокол решения
private:
void Extract(long &before, long &after); // извлечение корня
void SetError1(); // устанавливаются конкретные ошибки
void SetError2(); // на каждом шаге решения
};

Описание модулей программы:
Модуль ввода данных (класс CInputDialog, файлы InputDialog.h, InputDialog.сpp) – при запуске программы или при нажатии кнопки “Сменить уравнение” появляется окно диалога с пользователем. Модуль отвечает за изменение данных объекта “Задача”.
Модуль оценки ответа (класс CCheckResultDialog, файлы CheckResultDialog.h, CheckResultDialog.cpp) – при нажатии кнопки “Проверить правильность ответа” появляется диалог оценки ответа. Модуль проверяет, все ли допущенные ошибки отмечены и сообщает, мало или много отмечено ошибок, верно или неверно отмечены ошибки.
Основной модуль (классы CTask, CLinTask, CEqTask, Cwsg3Dlg, файлы Task.h, Task.cpp, LinTask.h, LinTask.cpp, EqTask.h, EqTask.cpp, wsg3Dlg.h, wsg3Dlg.cpp) – отвечает за решение и отображение задачи, а также связывает между собой все остальные модули.
Листинги файлов не приведены по причине их большого объема, но при желании их можно посмотреть на дискете.




ЛИТЕРАТУРА
Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы. - М.: Наука, 1976. - 640 с.
Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы: Учебное пособие / Под ред. М.И. Сканави. - М.: Высшая школа, 1980. - 541 с. (или более поздние издания).
Лурье М.В., Александров Б.И. Пособие по геометрии. - М.: Изд-во МГУ, 1984. - 256 с.
Мельников И.И., Сергеев И.Н. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. - Изд. 2-е, исправл. - М.: МП Азбука, 1994. - 352с.
Вавилов В.В., Мельников И.И. Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства: Справочное пособие. - М.: Наука, 1987. - 240 с.
Вавилов В.В., Мельников И.И. Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Алгебра: Справочное пособие. - М.: Наука, 1988. - 432 с.
Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике: Справочное пособие. - М.: Наука, 1992. - 480 с.
Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И. Алгебра и анализ элементарных функций. - М.: Наука, 1980. - 560 с.
Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. - Киев: РИА "Текст": МП "ОКО", 1992. - 290 с.
Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В., Смирнов С.Ф. Сборник конкурсных задач по математике (с методическими указаниями и решениями). - М.: Наука, 1983. - 384 с. (или более поздние издания).
Пособие по математике для поступающих в вузы / Под. ред. Г.Н. Яковлева . - М.: Наука, 1981. - 608 с.
Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика на вступительных экзаменах ("Скорая помощь" абитуриентам).-М.: "Московский лицей", 1995.-352 с.
Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И. Графики функций: Справочник. - Киев: Наукова думка, 1979. - 320 с.
Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: Условия и решения. Вып. 3 - М.: Школа-Пресс, 1994. - 192 с.
Далингер В.А., Типичные ошибки по математике на вступительных экзаменах и как их не допускать. Обл. ин-т усоверш. учителей, Омск-1991.
Дудницын В.П., Смирнова В.К., Содержание и анализ письменных экзаменационных работ по алгебре и началам анализа за курс средней школы. Львов, «Квантор» - 1991.
Агалаков С.А., Пособие по математике для поступающих в ОмГУ. Омск – 1997.
Павлович В.С., Анализ ошибок абитуриентов по математике. Киев, «Вища школа» - 1985.