Тема 8. Кореляцій аналіз детермінованих сигналів. Зв’язок між спектральними та кореляційними характеристиками сигналів.
Кореляційний аналіз застосовується до детермінованих та випадкових ( стохастичних) сигналів. Задані величини x та y треба перевірити, чи нема між ними деякого зв’язку, тобто кореляції.
Дискретні кореляційні функції. Термінологія. Коваріантність.
Нехай маємо послідовність даних xn з середнім значенням :
= , (1) та дисперсією:
= . (2)
Також нехай відома ще одна послідовність даних yn з середнім значенням та дисперсією . Мірою зв’язку для обох послідовностей даних та yn є коваріантність ?ху, яка визначається через :
?ху = yn – ). (3)
Коефіцієнт кореляції. Коефіцієнт кореляції r є нормована коваріантність, причому -1? r ? 1. Нормування відбувається за рахунок ділення коваріантності на добуток стандартних відхилень ?х та ?у :
r = .
Якщо обидві послідовності та yn розвиваються в одному напрямку, то вони коваріантні і коефіцієнт кореляції буде позитивним, якщо ж у протилежних, то вони контрваріантні і коефіцієнт кореляції буде негативним. Коли коефіцієнт кореляції рівний нулю, між величинами будь-яка залежність відсутня, тобто вони не корельовані. Абсолютна величина коефіцієнта кореляції буде тим ближче до 1, чим більше обидві змінні залежать одна від одної.
Регресійний аналіз.
Залежні пари та yn наносяться на площину х та у(рис).

Як апроксимаційна функція використовується пряма; її коефіцієнт нахилу b , називається коефіцієнтом регресії.
Кореляційні функції.
Послідовності даних та yn можуть бути отримані як вибірки залежних від часу функцій x(t) та y(t), тобто х(nT) = хn та y(nT) = yn.
Взаємна кореляційна функція для сигналів без постійної складової визначається як:
?ху (kT) = ;
або
?ху (kT) = ;
k – за допомогою цієї константи реалізовується затримка одного сигналу відносно іншого.
Розглянемо ще
Неперервні кореляційні функції.
Середні значення та для неперервних сигналів
= ; = ;
Дисперсія визначається як:
= ;
= ;
Коваріантність між сигналами x(t) та y(t) визначається як:
?ху = .
Для утворення кореляційних функцій необхідно затримати обидва залежні від часу сигнали на Т. Автокореляційні функції ?хх та ?уу та взаємно кореляційна функція ?ху – функції від часу затримки ?. Для сигналів, позбавлених постійної складової, вони визначаються як:
?хх (?) = ;
?yy (?) = ;
?хy (?) = ;
Нормована взаємна кореляційна функція ?хy.норм(?) має вигляд:
?хy.норм(?) = .
Зображення спектра кореляційних функцій. Теорема Вінера-Хінчина.
Кореляційні функції залежні від часу. Їх можна трансформувати за допомогою перетворення Фур’є в частотну область. При цьому одержують автоспектральну густину потужності(АСЩП) Sxx та взаємоспектральну щільність потужності (ВСЩП) Sxy.
Sxx (j?) = d? (4)
Sxy (j?) = d? (5)
Зворотна операція також має місце.
?хх (?)= d? (6)
?ху (?)= d? (7)
Таким чином кореляційними функціями та спектральними густинами потужності мають місце такі перетворення(теорема Рінера-Хінчина):
АКФ ?хх (?) - Sxx (j?) АСЩП (8)
ВКФ ?ху (?) - Sxy (j?) ВСЩП (9)
Рівняння Ларсеваля. Рівняння Ларсеваля показує, що АСЩП дорівнює квадрату амплітудного спектру, поділеному на інтервал спостереження:
Sxx (j?) = = x(j)x*(j?), (10)
x*(j?) – комплексно-спряжений амплітудний спектр відносно x(j). За аналогією з (10) можна записати ВСЩП як:
Sxy (j?) = x(j)у*(j?) (11)
(j?) = x*(j?) y(j) (12)
Властивості спектральної щільності. Залежний від часу сигнал x(t) виражає деяку визначену фізичну величину з розмірністю, наприклад, напруга у вольтах. Після трансформації Фур’є амплітудний спектр буде мати розмірність В/Гц, спектральна щільність потужності – В2/Гц. АСЩП парна, дійсна функція
Sxx (j?) = Sxx (-j?)
АСЩП Sxx (j?) сигналу ідеального білого шуму є стала, незалежна від частоти величина: Sxx (j?) = k. ВСЩП – комплексна функція Sxy (j?) = (j?) = Sxy (-j?). Коефіцієнт кореляції ?(j?) спектральних щільностей потужності виражається через:
?(j?) = .
Функції перетворення в часовій та спектральній областях, зіставлені між собою, подані в таблиці.
Часова область

Спектральна область


x(t)

x(j?)


x(t) = d?

x(j?) = dt


?хх = d?

Sxx =


?хх =

Sxx (j?) = d?


1. Згідно з залежною від часу функцією x(t) обчислюється шляхом трансформації Фур’є спектральна функція x(j?). Тим самим стає відомий амплітудний спектр. Тепер можна отримати АСЩП, а через неї за допомогою інверсної трансформації Фур’є й АКФ.
2. Згідно з залежною від часу функцією обчислюється зразу АКФ. З неї можна обчислити спектральну функцію.
Кореляція обмежених в часі функцій.
При знаходженні кореляційних функцій обмежених в часі процесів (наприклад,імпульси), при великих проміжках усереднення у деяких випадках отримується нульове значення. Щоб запобігти тим випадкам при кореляції обмежених в часі функцій нехують діленням на 2Т. Тому формули обчислення будуть мати вигляд:
?хх (?) = ;
?ху (?) = ;
Sxx (j?) = |x(j?)|2 = x(j)x*(j?);
Sxy (j?) = x(j)y*(j?);
(j?) = x*(j?) y(j);