Тема 7. Основні перетворення спектрів сигналів ( при зсуві в часі при зміні тривалості, при інтегруванні, диференціюванні та перемноженні сигналів).
Розглядається зв’язок між перетвореннями сигналу і відповідному перетворенню змінами спектру сигналу.
1.Зсув сигналу в часі.

Нехай сигналу S1(t) відповідає (?). Спектральна густина сигналу S2(t) :
(?) = (t)dt = ( t - t0 ) dt.
Введемо нову змінну інтегрування: ( t - t0 ) = ?.
(?) = (?)d? = ( ? ) d? = (?).
Звідси видно, що спектральна густина отримує додатковий фазовий зсув на кут – ?t0.
Тобто, при зсуві сигналу в часі на величину + ?t0 амплітудно-частотна характеристика сигналу не змінюється, але всі складові спектру отримують додатковий зсув на кут + ?t0.
Очевидне і зворотнє твердження: якщо всі складові спектру зсунути на кут + ?t0 , то сам сигнал зсунеться в часі на + t0.
2.Зміна тривалості сигналу (відносно часу).

Нехай сигнал S1(t) підданий стиску в часі S2(t) = S1(nt).
Тривалісь S2(t) в n раз менше S1(t) і рівна :
(?) = (t)d? .
Введемо нову змінну інтегрування ? = nt.
(?) = (?)dt = (nt)dt.
Цей вираз (підінтегральний) представляє собою (?/n), тобто при частоті ?/n;
Таким чином :
(?) = (?/n).
? – означає зміну масштабу по осі частот, при цьому спектр сигналу вдається розтягнути в n раз.
При стиску сигналу в n раз на часовій осі в стільки ж раз розширюється його спектр на осі частот. Модуль спектральної густини при цьому зменшується в n раз.
3.Додавання сигналів.
Оскільки перетворення Фур’є є лінійним перетворенням, то сума сигналів S1(t) + +S2(t)+…, відповідає сумі їх спектрів (?) = (?) +(?) +…
4.Диференціювання та інтегрування сигналів.
Диференціювання сигналу можна розглядати як по елементне диференціювання його складових. Для якої-небудь частоти ? узагальнений ряд гармонік сигналу можна представити у вигляді: , де в квадратних дужках – амплітуда сигналу в смузі.
Продиференціювавши по t, отримаємо j?.
Спектральна густина похідної сигналу рівна (?) = j?(?).
Аналогічно, спектральна густина інтегралу сигнала рівна:
(?) = (?).
5.Добуток двох сигналів.
Нехай сигнал s(t) = f(t)g(t). Визначимо спектр такого сигналу.
(?) = dt = dt.
Функціям f(t) та g(t) відповідають спектральні густини та .
Кожна з цих функцій може бути записана за допомогою зворотнього перетворення Фур’є:
f(t) = d? ; y(t) = d?.
Підставимо інтеграли у вираз (?) , отримаємо, що
(?) = dx.
Інтеграл представляє собою згортку.
Спектр добутку двох функцій f(t) та g(t) рівний згортці їх спектрів та (з коефіцієнтом ).
В частковому випадку, при ? = 0 dt = dx ; )=1.
Замінюючи x на ?, отримаємо:
dt = d? = d?, де – комплексно-спряжена з .
Аналогічно можна показати, що згортці двох функцій часу s(t) = d?, відповідає вираз:
d? = d?.
Цей вираз використовується при аналізі проходження сигналів через лінійні кола.
6.Взаємна зворотність ? та t в перетвореннях Фур’є.
а) нехай s(t) – функція парна відносно t. s(t)=s(-t).
Запишемо:
(?) = dt = dt - j dt.
Інтеграл від непарної функції в симетричних границях = 0.
Тобто при s(t) – парній, (?) є функція дійсна і парна відносно ?.
б) коли s(t) – непарна відносно t.
Тоді в нуль перетворюється перший інтеграл, де в підінтегральному виразі є добуток непарної і парної функції.
(?) = - j dt;
В цьому випадку (?) чисто уявна і непарна відносно ?.
в) якщо s(t) не є не парною, ні не парною.
В цьому випадку її можна розкласти на s1(t) – парну і s2(t) – непарну функції. Тоді
(?) – комплексна величина, причому дійсна її частина парна,а уявна – непарна відносно ?.
З пункту а) випливає,що у випадку парної функції s(t) можна довільним чином вибирати t? в зворотному перетворенні Фур’є:
s(t) = d? = d?.