Тема 6. Частотне представлення періодичних сигналів. Спектральна густина. Енергетичний сенс спектра сигналу.
Будь-який неперіодичний сигнал (рис.1) можна розглядати як періодичний, період зміни якого рівний нескінченності. В зв’язку з цим розглянутий раніше спектральний аналіз періодичних процесів може бути узагальнений і на неперіодичні сигнали.
Розглянемо, як буде змінюватися спектр неперіодич- ного сигналу при необмеженому збільшенні періоду зміни сигналу.
При збільшенні періоду Т інтервали між
cуміжними частотами в спектрі сигналу і амплітуди
спектральних складових зменшуються і в межах при
Т > ? стають нескінченно малими величинами. При
цьому ряд Фур’є, який відображає спектральний
розклад періодичного сигналу, перетворюється в
інтеграл Фур’є, який відображає спектральний розклад неперіодичного сигналу.
Комплексна форма інтегралу Фур’є має вид :
x(t) = , (1)
де = – спектральна густина сигналу;
| – амплітудно-частотна характеристика сигналу;
= фазочастотна характеристика сигналу;
Вираз (1) називають формулою зворотного перетворення Фур’є.
Представлення неперіодичної функції інтегралом Фур’є можливо при виконанні наступних умов:
функція x(t) задовільняє умовам Дірихле;
функція x(t) абсолютно інтегрована (цій умові відповідають практично всі реальні сигнали), тобто

Таким чином, спектр неперіодичного сигналу на відміну від спектру нескінченного числа гармонічних складових з нескінченно малими амплітудами.
Амплітуди гармонічних складових, виходячи з (1) , можуть бути представлені у вигляді:
dA = ,
звідки спектральна густина визначається виразом:
= 2?
Спектральна густина зв’язана функцією сигналу через пряме перетворення Фур’є
= (2)
Спектральна густина одночасно відображає неперіодичний сигнал і задовольняє умовам (рис.2):
;
Модуль спектральної густини є парною, а аргумент – непарною функцією частоти, тобто:
= ; ?(?) = ?(-?).

Енергетичний сенс спектра сигналу
Розглянемо розподіл потужності в спектрі періодичного сигналу. Для цього припустимо, що сигнал являє собою струм i(t) , який протікає по резистору R (рис.3) і описується складною неперіодичною функцією часу з періодом зміни Т.
Середня потужність, яка виділяється на R:
Pcp = ,
де = – квадрат діючого значення струму.
Представивши струм рядом Фур’є отримаємо наступний вираз для квадрату діючого значення струму:
І2 = 2 dt = + .
Отже, середня потужність :
Pcp = R (3)

Таким чином, середня потужність, яка виділяється складним періодичним струмом в резисторі, рівна сумі середніх потужностей, які виділяються в цьому резисторі окремими гармоніками струму і його постійною складовою.
Розглянемо тепер розподіл енергії в спектрі неперіодичного сигналу. Енергія, яка виділяється сигналом (струмом) в резисторі в один Ом, визначається виразом:
W =
Для визначення розподілу енергії по спектру неперіодичного сигналу виразимо енергію W через модуль спектральної густини сигналу. Квадрат модуля спектральної густини можна представити у вигляді:
= S(j?)S(-j?), (4)
де S(-j?) – комплексно-спряжена функція для спектральної густини S(j?).
Згідно виразу S(j?) = , отримаємо :
S(-j?) =
Інтеграл від квадрату модуля спектральної густини
d? = = . (5)
Змінивши в (5) порядок інтегрування, отримаємо:
d? = = 2?dt.
Таким чином, енергія сигналу:
W = dt = d? = d?. (6)
Вираз (6), який отримав назву рівності Парсеваля, показує, що енергія сигналу може бути представлена у вигляді суми нескінченно малих складових d?, які відповідають нескінченно малим ділянкам частотного спектру (рис.4). Вираз d? представляє собою енергію, яка міститься в спектральних складових сигналу, які розміщені в смузі частот d? в околі частоти ?.
Таким чином, квадрат модуля спектральної густини характеризує розподіл по спектру енергії сигналу.
Якщо задана енергія сигналу ?W у визначеній смузі частот ?? в околі частоти ? (рис.5), тоді модуль спектральної густини в точці ?к може бути знайдений із наближеної рівності:
S(?к) = ;