7. МЕТОДИ АНАЛІЗУ ВЗАЄМОЗВ’ЯЗКІВ
7.1. Види взаємозв’язків
Усі явища навколишнього світу, соціально-економічні зокрема, взаємозв’язані й взаємозумовлені. У складному переплетенні всеохоплюючого взаємозв’язку будь-яке явище є наслідком дії певної множини причин і водночас — причиною інших явищ. Причини та наслідки пов’язані неперервними ланцюгами прямо або опосередковано, що схематично ілюструє рис. 7.1. Так, незалежне в межах зображеного графа зв’язку явище є причиною явищ х2, х3, х5. Із них явище х3, у свою чергу, впливає на х4, а х4 — на х5.
Поряд із причинними існують зв’язки паралельних явищ, на які впливає спільна причина. На рис. 7.1 це зв’язок між х2 і х3, які мають спільну причину х1.

Рис. 7.1. Граф взаємозв’язків
Визначальна мета вимірювання взаємозв’язків — виявити і дати кількісну характеристику причинних зв’язків. Суть причинного зв’язку полягає в тому, що за певних умов одне явище спричинює інше. Причина сама по собі не визначає наслідку, останній залежить також від умов, в яких діє причина. Вивчаючи закономірності зв’язку, причини та умови об’єднують в одне поняття «фактор». Відповідно ознаки, які характеризують фактори, називаються факторними, а ті, що характеризують наслідки, — результативними.
Аналіз характеру взаємозв’язків та оцінювання сили впливу факторів на результат є передумовою розробки науково обґрунтованих управлінських рішень, прогнозування й регулювання складних соціально-економічних явищ і процесів.
Розрізняють два типи зв’язків — функціональні та стохастичні. У разі функціонального зв’язку кожному значенню фактора х відповідає одне або кілька чітко визначених значень у. Такою, наприклад, є залежність довжини ртутного стовпчика від температури навколишнього середовища. Знаючи х, можна в кожному окремому випадку точно визначити результат у. Скажімо, при проведенні валютних операцій для переведення суми в національній валюті С в еквівалентну їй суму в іноземній валюті S використовують валютний курс L:
S = C : L і навпаки C = S · L.
У соціально-економічних науках до функціонального типу належать зв’язки між показниками — адитивні (a + b + c) або мультиплікативні (a = bc, c = a/b), а також залежність середніх величин від структури сукупності (див. підрозд. 9.5—9.6).
На відміну від функціональних, стохастичні зв’язки неоднозначні. Наприклад, залежність захворюваності населення від екологічного стану довкілля. На забруднених радіонуклідами територіях, як і на інших, стан здоров’я мешканців коливається від «тяжко хворого» до «практично здорового». Проте в середньому в таких регіонах порівняно з екологічно чистими захворюваність значно вища.
Стохастичні зв’язки виявляються як узгодженість варіації двох чи більше ознак. У ланці зв’язку «х ( у» кожному значенню ознаки х відповідає певна множина значень ознаки у, які утворюють так званий умовний розподіл. Стохастичний зв’язок, відбиваючи множинність причин і наслідків, виявляється в зміні умовних розподілів, що схематично ілюструє табл. 7.1.
Якщо умовні розподіли замінюються одним параметром — середньою , то такий зв’язок називають кореляційним. Отже, кореляційний зв’язок є різновидом стохастичного і виявляється зміною середніх умовних розподілів.
Таблиця 7.1
ВИДИ ВЗАЄМОЗВ’ЯЗКІВ І ЇХ ОСОБЛИВОСТІ
Факторна ознака хі
Результативна ознака у за наявності зв’язку


функціонального
стохастичного
кореляційного

х1
у1
у1 у2


х2
у2
у1 у2 у3


х3
у3
у2 у3 у4


...
...
...
...

хm
уm
уm – 1 уm



Наявність стохастичного зв’язку можна виявити, скориставшись комбінаційним розподілом елементів сукупності. Такий розподіл наведено в табл. 7.2. Сукупність шахт регіону поділено на групи за двома ознаками: х — глибиною розробки вугільних пластів і у — фондомісткістю видобутку вугілля. Кожна група за глибиною розробки пласта характеризується своїм особливим розподілом шахт за фондомісткістю видобутку вугілля. Це умовні розподіли. Порівняння умовних розподілів указує на тенденцію підвищення фондомісткості зі зростанням глибини розробки пластів. Звичайно, для кожної окремої шахти така залежність може не виявитись через вплив інших факторів. Певні межі варіації фондомісткості характерні для кожної групи. Так, на шахтах, де глибина розробки пластів 500 ( 700 м, фондомісткість коливається в межах від 18 до 26 грн. за тонну. Проте середній рівень фондомісткості в цій групі вищий порівняно з попередньою групою (300 ( 500 м) і нижчий порівняно з наступною (700 і більше):
;
;
;
.
Середні рівні фондомісткості видобутку вугілля наведено в останній графі таблиці. Зростання групових середніх від групи до групи свідчить про наявність кореляційного зв’язку між глибиною розробки пласта і фондомісткістю вугілля. Отже, кореляційний зв’язок, як і стохастичний, — це властивість сукупності в цілому, а не окремих її елементів.
Таблиця 7.2
КОМБІНАЦІЙНИЙ РОЗПОДІЛ ШАХТ ЗА ГЛИБИНОЮ РОЗРОБКИ ПЛАСТІВ ТА ФОНДОМІСТКІСТЮ ВУГІЛЛЯ
Глибина розробки пласта, м
Кількість шахт з рівнем фондомісткості, грн. / т
Середній рівень фондомісткості, грн. / т


До 20
20—22
22—24
24—26
26 і більше
Разом


До 300
9
7
1


17
20,0

300—500

8
27
5

40
22,9

500—700


6
15
4
25
24,8

700 і більше



8
10
18
26,1

По сукупності в цілому
9
15
34
28
14
100
23,5


Отже, можна не лише стверджувати, що існує кореляційний зв’язок між факторною х і результативною у ознаками, а й визначати, як у середньому змінюється у зі зміною х на одиницю. Ефекти впливу х на у визначаються відношенням приростів середніх групових цих величин Наприклад, у другій групі порівняно з першою глибина розробки вугільного пласта більша на 200 м, а фондомісткість видобутку вугілля на 22,9 – 20,0 = 2,9 грн. / т. Звідси
.
Тобто, зі зростанням глибини розробки пласта на 100 м фондомісткість зростає в середньому на 1,45 грн. / т.
Аналогічно розраховані ефекти впливу глибини розробки пласта на фондомісткість вугілля у третій групі становлять 0,95, у четвертій — 0,65 грн. на тонну вугілля.
7.2. Регресійний аналіз
Важливою характеристикою кореляційного зв’язку є лінія регресії — емпірична в моделі аналітичного групування і теоретична в моделі регресійного аналізу. Емпірична лінія регресії представлена груповими середніми результативної ознаки , кожна з яких належить до відповідного інтервалу значень групувального фактора хj. Теоретична лінія регресії описується певною функцією яку називають рівнянням регресії, а Y — теоретичним рівнем результативної ознаки.
На відміну від емпіричної, теоретична лінія регресії неперервна. Так, уважають, що маса дорослої людини в кілограмах має бути на 100 одиниць менша за її зріст у сантиметрах. Співвідношення між масою і зростом можна записати у вигляді рівняння: , де у — маса; х — зріст.
Безперечно, така форма зв’язку між масою та зростом людини надто спрощена. Насправді збільшення маси не жорстко пропорційне до збільшення зросту. Люди одного зросту мають різну масу, проте в середньому зі збільшенням зросту маса зростає. Для точнішого відображення зв’язку між цими ознаками в рівняння слід увести другий параметр, який був би коефіцієнтом пропорційності при х, тобто Y = – 100 + bx.
Рівняння регресії в такому вигляді описує числове співвідношення варіації ознак х і у в середньому. Коефіцієнт пропорційності при цьому відіграє визначальну роль. Він показує, на скільки одиниць у середньому змінюється у зі зміною х на одиницю. У разі прямого зв’язку b — величина додатна, у разі оберненого — від’ємна.
Подаючи у як функцію х, тим самим абстрагуються від множинності причин, штучно спрощуючи механізм формування варіації у. Аналіз причинних комплексів здійснюється за допомогою множинної регресії.
Різні явища по-різному реагують на зміну факторів. Для того щоб відобразити характерні особливості зв’язку конкретних явищ, статистика використовує різні за функціональним видом регресійні рівняння. Якщо зі зміною фактора х результат у змінюється більш-менш рівномірно, такий зв’язок описується лінійною функцією Y = a + bx. Коли йдеться про нерівномірне співвідношення варіацій взаємозв’язаних ознак (наприклад, коли прирости значень у зі зміною х прискорені чи сповільнені або напрям зв’язку змінюється), застосовують нелінійні регресії, зокрема:
степеневу ;
гіперболічну ;
параболічну тощо.
Вибір та обґрунтування функціонального виду регресії ґрунтується на теоретичному аналізі суті зв’язку. Нехай вивчається зв’язок між урожайністю та кількістю опадів. Надто мала і надто велика кількість опадів спричинюють зниження врожайності, максимальний її рівень можливий за умови оптимальної кількості опадів, тобто зі збільшенням факторної ознаки (опади) урожайність спершу зростає, а потім зменшується. Залежність такого роду описується параболою Y = a + bx + cx2.
Вивчаючи зв’язок між собівартістю у та обсягом продукції х, використовують рівняння гіперболи , де а — пропорційні витрати на одиницю продукції, b — постійні витрати на весь випуск.
Зауважимо, що теоретичний аналіз суті зв’язку, хоча й дуже важливий, лише окреслює особливості форми регресії і не може точно визначити її функціонального виду. До того ж у конкретних умовах простору і часу межі варіації взаємозв’язаних ознак х і у значно вужчі за теоретично можливі. І якщо кривина регресії невелика, то в межах фактичної варіації ознак зв’язок між ними досить точно описується лінійною функцією. Цим значною мірою пояснюється широке застосування лінійних рівнянь регресії:
.
Параметр b (коефіцієнт регресії) — величина іменована, має розмірність результативної ознаки і розглядається як ефект впливу x на y. Параметр a — вільний член рівняння регресії, це значення y при x = 0. Якщо межі варіації x не містять нуля, то цей параметр має лише розрахункове значення.
Параметри рівняння регресії визначаються методом найменших квадратів, основна умова якого — мінімізація суми квадратів відхилень емпіричних значень y від теоретичних Y:
.
Математично доведено, що значення параметрів a та b, при яких мінімізується сума квадратів відхилень, визначаються із системи нормальних рівнянь:
,
.
Розв’язавши цю систему, знаходимо такі значення параметрів:
,
.
Розглянемо порядок обчислення параметрів лінійної регресії на прикладі зв’язку між урожайністю зернових і кількістю внесених добрив (у центнерах діючої поживної речовини — д. р.). Значення взаємозв’язаних ознак та необхідні для розрахунку параметрів величини наведено в табл. 7.3.
= 12; = 224; = 342,8; = 18,68;
= 12 : 8 = 1,5; = 224 : 8 = 28.
Таблиця 7.3
ДО РОЗРАХУНКУ ПАРАМЕТРІВ ЛІНІЙНОЇ РЕГРЕСІЇ, ТЕОРЕТИЧНИХ РІВНІВ І ЗАЛИШКОВИХ ВЕЛИЧИН
Номер господар-ства
Кількість внесених добрив х, д. р
Урожайність зернових у, ц/га
ху
х2
Y
y – Y
(y – Y)2

1
1,1
23
25,3
1,21
24
–1
1

2
1,4
25
35,0
1,96
27
–2
4

3
1,2
26
31,2
1,44
25
1
1

4
2,0
33
66,0
4,00
33
0
0

5
1,5
27
40,5
2,25
28
–1
1

6
1,3
2,8
36,4
1,69
26
2
4

7
1,8
30
54,0
3,24
31
–1
1

8
1,7
32
54,4
2,89
30
2
4

Разом
12,0
224
342,8
18,68
224
(
16


Користуючись цими величинами, визначаємо:
(ц/га);
.
Отже, рівняння регресії має вигляд
,
тобто кожний центнер внесених добрив (у перерахунку на діючу поживну речовину) дає приріст урожайності в середньому 10 ц/га. Якщо добрива зовсім не вносити (х = 0), то урожайність зернових не перевищить 13,0 ц/га.
Рівняння регресії відбиває закон зв’язку між х і у не для окремих елементів сукупності, а для сукупності в цілому; закон, який абстрагує вплив інших факторів, виходить з принципу «за інших однакових умов». За цих умов очікувана врожайність зернових при внесенні добрив у обсязі 1,1 ц д. р. на 1 га становить Y = 13 + 10 ( 1,1 = 24 (ц/га). Для інших значень факторної ознаки х теоретичні рівні врожайності наведено в табл. 7.3. Вплив інших окрім х факторів зумовлює відхилення емпіричних значень у від теоретичних у той чи інший бік. Відхилення (y – Y) називають залишками і позначають символом е. Залишки, як правило, менші за відхилення від середньої, тобто .
У нашому прикладі
, .
Відповідно загальна дисперсія врожайності
,
залишкова дисперсія
.
У невеликих за обсягом сукупностях коефіцієнт регресії схильний до випадкових коливань. Тому слід перевірити його істотність. Коли зв’язок лінійний, істотність коефіцієнта регресії перевіряють за допомогою t-критерію (Стьюдента), статистична характеристика якого для гіпотези визначається відношенням коефіцієнта регресії b до власної стандартної похибки тобто .
Стандартна похибка коефіцієнта регресії залежить від варіації факторної ознаки залишкової дисперсії і числа ступенів свободи , де m — кількість параметрів рівняння регресії:
.
Для лінійної функції m = 2. За даними табл. 7.3 маємо:
.
Звідси  (ц/га), а , що перевищує критичне значення двостороннього t-критерію (табл. 6.3). Гіпотеза про випадковий характер коефіцієнта регресії відхиляється, а отже, з імовірністю 0,95 вплив кількості внесених добрив на врожайність зернових визнається істотним.
Для коефіцієнта регресії, як і для будь-якої іншої випадкової величини, визначаються довірчі межі . У нашому прикладі довірчі межі коефіцієнта регресії з імовірністю 0,95 (t = 2,45) становлять .
Важливою характеристикою регресійної моделі є відносний ефект впливу фактора х на результат у — коефіцієнт еластичності:
.
Він показує, на скільки процентів у середньому змінюється результат у зі зміною фактора х на 1%. У нашому прикладі тобто збільшення кількості внесених добрив на 1% спричинює приріст урожайності зернових у середньому на 0,8%.
Оцінити відносний ефект впливу фактора х на результат у можна безпосередньо на основі степеневої функції Y = axb, параметр b якої є коефіцієнтом еластичності. Степенева функція зводиться до лінійного виду логарифмуванням lg Y = lg a + b lg x. До класу степеневих належать функції споживання, виробничі функції тощо.
7.3. Оцінка щільності та перевірка істотності кореляційного зв’язку
Поряд із визначенням характеру зв’язку та ефектів впливу факторів х на результат у важливе значення має оцінка щільності зв’язку, тобто оцінка узгодженості варіації взаємозв’язаних ознак. Якщо вплив факторної ознаки х на результативну у значний, це виявиться в закономірній зміні значень у зі зміною значень х, тобто фактор х своїм впливом формує варіацію у . За відсутності зв’язку варіація у не залежить від варіації х.
Для оцінювання щільності зв’язку статистика використовує низку коефіцієнтів з такими спільними властивостями:
за відсутності будь-якого зв’язку значення коефіцієнта наближається до нуля; при функціональному зв’язку — до одиниці;
за наявності кореляційного зв’язку коефіцієнт виражається дробом, який за абсолютною величиною тим більший, чим щільніший зв’язок.
Серед мір щільності зв’язку найпоширенішим є коефі-цієнт кореляції Пірсона. Позначається цей коефіцієнт сим-волом r. Оскільки сфера його використання обмежується лінійною залежністю, то і в назві фігурує слово «лінійний». Обчислення лінійного коефіцієнта кореляції r ґрунтується на відхиленнях значень взаємозв’язаних ознак x і у від се-редніх.
За наявності прямого кореляційного зв’язку будь-якому значенню хі > відповідає значення , а відповідає . Узгодженість варіації х і у схематично показано на рис. 7.2 у вигляді кореляційного поля зі зміщеною системою координат.

Рис. 7.2. Узгодженість варіації взаємозв’язаних ознак
Точка, координатами якої є середні і , поділяє кореляційне поле на чотири квадранти, в яких по-різному поєднуються знаки відхилень від середніх:
Квадрант
(х – )
(у – )

I
+
+

II
–
+

III
–
–

IV
+
–


Для точок, розміщених у І та ІІІ квадрантах, добуток додатний, а для точок з квадрантів ІІ і ІV — від’ємний. Чим щільніший зв’язок між ознаками х і у, тим більша алгебраїчна сума добутків відхилень . Гранична сума цих добутків дорівнює .
Коефіцієнт кореляції визначається відношенням зазначе-них сум:
.
Очевидно, що в разі функціонального зв’язку фактична сума відхилень дорівнює граничній, а коефіцієнт кореляції r = ±1; при кореляційному зв’язку абсолютне його значення буде тим більшим, чим щільніший зв’язок.
На практиці застосовують різні модифікації наведеної формули коефіцієнта кореляції. Для оцінювання щільності зв’язку між кількістю внесених добрив та врожайністю зернових скористаємося однією з модифікацій зазначеної формули:
.
За даними табл. 7.3
Згідно з цими значеннями коефіцієнт кореляції становить 0,900, що свідчить про вагомий вплив кількості внесених добрив на врожайність зернових:
.
Коефіцієнт кореляції, оцінюючи щільність зв’язку, указує також на його напрям: коли зв’язок прямий, r — величина додатна, а коли він зворотний — від’ємна. Знаки коефіцієнтів кореляції і регресії однакові, величини їх взаємозв’язані функціонально:
;
.
Завдяки цьому один коефіцієнт можна обчислити, знаючи інший. Наприклад:
.
Вимірювання щільності нелінійного зв’язку ґрунтується на співвідношенніваріацій теоретичних та емпіричних (фактичних) значень результативної ознаки у. Як зазначалося в підрозд. 5.6, відхилення індивідуального значення ознаки у від середньої можна розкласти на дві складові. У регресійному аналізі це відхилення від лінії регресії (у – Y) та відхилення лінії регресії від середньої .
Відхилення є наслідком дії фактора х, відхилення  — наслідком дії інших факторів. Взаємозв’язок факторної та залишкової варіацій описується правилом декомпозиції варіації:
,
де — загальна дисперсія ознаки y;
— факторна дисперсія; — залишкова дисперсія.
Очевидно, значення факторної дисперсії буде тим більшим, чим сильніший вплив фактора х на y. Відношення факторної дисперсії до загальної розглядається як міра щільності кореляційного зв’язку і називається коефіцієнтом детермінації:
.
Якщо за даними табл. 7.3 , , то .
Аналогічний результат дають такі обчислення:
.
Коефіцієнт детермінації становить ,
тобто 81% варіації врожайності зернових залежить від варіації кількості внесених добрив, а 19% припадає на інші фактори.
Корінь квадратний з коефіцієнта детермінації називають індексом кореляції R. Коли зв’язок лінійний, , що підтверджують обчислення: Тому за відомим лінійним коефіцієнтом кореляції r можна визначати внесок ознаки x у варіацію ознаки y. Так, при r = 0,6 можна сказати, що 36% варіації y залежить від варіації x.
На таких самих засадах ґрунтується оцінювання щільності зв’язку за даними аналітичного групування. Мірою щільності зв’язку є кореляційне відношення
,
де (2 — міжгрупова дисперсія, яка вимірює варіацію ознаки у під впливом фактора х, а (2 — загальна дисперсія.
Застосуємо кореляційне відношення для оцінювання щільності зв’язку між глибиною розробки вугільних пластів і фондомісткістю видобутку вугілля (див. табл. 7.2). Розрахунки загальної та факторної дисперсій подано в табл. 7.4 та 7.5. Згідно з розрахунками загальна дисперсія становить 5,19, факторна — 3,86:
;
.
Кореляційне відношення
,
тобто 74,5% варіації фондомісткості вугілля на шахтах регіону пояснюється варіацією глибини розробки пластів.
Таблиця 7.4
ДО РОЗРАХУНКУ ЗАГАЛЬНОЇ ДИСПЕРСІЇ ФОНДОМІСТКОСТІ ВУГІЛЛЯ ()
Фондомісткість, грн. / т
18—20
0—22
22—24
24—26
26—28
Разом

Кількість шахт
9
15
34
28
14
100


19
21
23
25
27
(


– 4,5
–2,5
–0,5
1,5
3,5
(


182,25
93,75
8,5
63,0
171,5
519


Таблиця 7.5
ДО РОЗРАХУНКУ ФАКТОРНОЇ ДИСПЕРСІЇФОНДОМІСТКОСТІ ВУГІЛЛЯ ()
Глибина розробки пластів, м





До 300
17
20,0
–3,5
208,25

300 — 500
40
22,9
–0,6
14,40

500 — 700
25
24,8
1,3
42,25

700 і більше
18
26,1
2,6
121,68

У цілому
100
23,5
(
386,58

Обчислення та інтерпретація коефіцієнта детермінації R2 і кореляційного відношення (2 показують: ці характеристики щільності зв’язку за змістом ідентичні, вони характеризують внесок фактора x у загальну варіацію результату y.
Перевірка істотності кореляційного зв’язку ґрунтується на порівнянні фактичних значень R2 і (2 з критичними, які могли б виникнути за відсутності зв’язку. Якщо фактичне значення чи (2 перевищує критичне, то зв’язок між ознаками не випадковий. Гіпотеза, що перевіряється, формулюється як нульова:
або .
Критичні значення характеристик щільності зв’язку для рівня істотності ( = 0,05 і відповідного числа ступенів свободи для факторної дисперсії k1 і залишкової k2 наведено в табл. 7.6. Ступені свободи залежать від обсягу сукупності n та числа груп або параметрів функції m, тобто k1 = m – 1, k2 = n – m.
Таблиця 7.6
КРИТИЧНІ ЗНАЧЕННЯ КОЕФІЦІЄНТА ДЕТЕРМІНАЦІЇ R2І КОРЕЛЯЦІЙНОГО ВІДНОШЕННЯ (2 ДЛЯ РІВНЯ ІСТОТНОСТІ ( = 0,05

1
2
3
4
5

5
0,569
699
764
806
835

6
500
632
704
751
785

7
444
575
651
702
739

8
399
527
604
657
697

9
362
488
563
618
659

10
332
451
527
582
624

12
283
394
466
521
564

14
247
348
417
471
514

16
219
312
378
429
477

18
197
283
345
394
435

20
179
259
318
364
404

24
151
221
273
316
353

28
130
193
240
279
314

32
115
171
214
250
282

36
102
153
192
226
256

40
093
139
176
207
234

50
075
113
143
170
194

60
063
095
121
144
165

80
047
072
093
110
127

100
038
058
075
090
103

120
032
049
063
075
087

200
019
030
038
046
053

Так, критичне значення коефіцієнта детермінації для k1 = 2 – 1 = 1 і k2 = 8 – 2 = 6 становить . Обчислений за даними табл. 7.3 коефіцієнт детермінації R2 = 0,81 перевищує критичне значення, що з імовірністю 0,95 підтверджує істотність зв’язку між кількістю внесених добрив і врожайністю зернових.
Аналогічно визначимо критичне значення кореляційного відношення для k1 = 4 – 1 = 3 та k2 = 100 – 4 = 96. Оскільки значення k2 = 96 у табл. 7.6 відсутнє, можна використати найближче до нього число k2 = 100. Критичне значення .
Розраховане за даними табл. 7.2 кореляційне відношення (2 = 0,745 значно перевищує критичне, а отже, гіпотеза про випадковий характер відхилень групових середніх відхиляється. Зв’язок між глибиною розробки вугільних пластів і фондомісткістю видобутку вугілля з імовірністю 0,95 визнається істотним.
Розглянута процедура перевірки істотності зв’язку є складовою дисперсійного аналізу, розробленого Р. Фішером. Характеристика критерію Фішера — дисперсійне відношення F — функціонально пов’язана з кореляційним відношенням , а тому результати перевірки будуть ідентичні.
7.4. Рангова кореляція
Взаємозв’язок між ознаками, які можна зранжувати, передусім на основі бальних оцінок, вимірюється методами рангової кореляції. Рангами називають числа натурального ряду, які згідно зі значеннями ознаки надаються елементам сукупності і певним чином упорядковують її. Ранжування проводиться за кожною ознакою окремо: перший ранг надається найменшому значенню ознаки, останній — найбільшому або навпаки. Кількість рангів дорівнює обсягу сукупності. Очевидно, зі збільшенням обсягу сукупності ступінь «розпізнаваності» елементів зменшується. З огляду на те, що рангова кореляція не потребує додержання будь-яких математичних передумов щодо розподілу ознак, зокрема вимоги нормальності розподілу, рангові оцінки щільності зв’язку доцільно використовувати для сукупностей невеликого обсягу.
Ранги, надані елементам сукупності за ознаками х і у, позначають відповідно Rxj та Ryj. Залежно від ступеня зв’язку між ознаками певним чином співвідносяться й ранги. При прямому функціональному зв’язку Rxj = Ryj, тобто відхилення між рангами dj = Rxj – Ryj = 0, отже, і сума квадратів відхилень . При зворотному функціональному зв’язку де n — число рангів. Якщо зв’язок між ознаками відсутній, являє собою середню арифметичну цих крайніх значень:
,
а отже,
.
Спираючись на зазначену математичну тотожність, К. Спірмен запропонував формулу для коефіцієнта рангової кореляції:
.
Цей коефіцієнт має такі самі властивості, як і лінійний коефіцієнт кореляції: змінюється в межах від – 1 до + 1, водночас оцінює щільність зв’язку та вказує на його напрям.
Визначимо коефіцієнт рангової кореляції за даними експертних оцінок ефективності економіки та ступеня політичного ризику для семи країн з перехідною економікою (табл. 7.7). Оскільки експертні оцінки представлені балами, необхідно провести ранжування країн. За оцінками ефективності економіки країні з найбільшим балом надається ранг 1, з найменшим — ранг n = 7. За оцінками ступеня політичного ризику, навпаки, ранг 1 надається країні з найменшим ризиком, а ранг 7 — країні з найбільшим ризиком.
Таблиця 7.7
ДО РОЗРАХУНКУ КОЕФІЦІЄНТА РАНГОВОЇ КОРЕЛЯЦІЇ
№ з/п
Експертні оцінки, балів
Ранги
dj = Rxj – Ryj



Ефективність економіки (mах = 10)
Ступінь політичного ризику (mах = 100)
Rxj
Ryj



1
6,6
64,5
1
7
–6
36

2
5,8
57,8
2
6
–4
16

3
2,9
23,6
6
1
5
25

4
3,4
36,2
5
4
1
1

5
4,5
45,3
3
5
–2
4

6
2,7
28,4
7
2
5
25

7
4,2
32,7
4
3
1
1

Разом
(
(
(
(
(
108

Сума квадратів відхилень рангів , а коефіцієнт рангової кореляції
.
Значення коефіцієнта рангової кореляції свідчить про наявність зворотного і досить високого рівня зв’язку між ефективністю економіки і ступенем політичного ризику. Критичне значення коефіцієнта рангової кореляції (табл. 7.8) для рівня істотності ( = 0,05 і n = 7 Отже, з імовірністю 0,95 істотність зв’язку доведено.
Таблиця 7.8
КРИТИЧНІ ЗНАЧЕННЯ КОЕФІЦІЄНТА РАНГОВОЇ КОРЕЛЯЦІЇ СПІРМЕНА ПРИ = 0,05
Обсяг вибірки n
5
6
7
8
9
10
11
12


0,90
0,83
0,71
0,64
0,60
0,56
0,53
0,50


Якщо два і більше елементів сукупності мають однакові значення ознаки, їм надається середній ранг. Нехай, наприклад, друге за розміром значення ознаки мають три елементи сукупності (№ 2, 3, 4), тоді всім їм надається ранг а щільність зв’язку можна оцінити за формулою лінійного коефіцієнта кореляції.
7.5. Оцінка узгодженості варіації атрибутивних ознак
Взаємозв’язки між атрибутивними ознаками аналізуються на підставі таблиць взаємної спряженості (співзалежності). Як приклад розглянемо табл. 7.9, в якій наведено результати соціологічного опитування населення щодо намірів прилучитися до ринку цінних паперів. Тих, хто не боїться ризикувати, класифікували як ризикованих інвесторів, тих, хто не уявляє ризику без гарантій, — обережними, а хто ризику уникає взагалі, — неризикованими.
Частоти комбінаційного розподілу респондентів за віком і схильністю до ризику концентруються навколо діагоналі з верхнього лівого кута в нижній правий. Серед молодих більшість готова ризикувати на ринку цінних паперів, у середній віковій групі готовий ризикувати один з п’яти, а половина не уявляє ризику без гарантій, у третій віковій групі на одного обережного припадають два неризиковані.
Таблиця 7.9
РОЗПОДІЛ РЕСПОНДЕНТІВ ЗА ВІКОМ І СХИЛЬНІСТЮ ДО РИЗИКУ
Вік х, років
Тип інвестора у
Разом fi0


Ризикований
Обережний
Неризикований


16—30
24
12
4
40

31—50
20
50
30
100

51 і більше
6
18
36
60

Разом f0j
50
80
70
200


Характер розподілу частот, концентрація їх уздовж головної діагоналі свідчать про наявність стохастичного зв’язку між віком і схильністю до ризику.
Оцінка щільності стохастичного зв’язку ґрунтується на відхиленнях частот (часток) умовного та безумовного розподілів, тобто на відхиленнях фактичних частот fij від теоретичних Fij, пропорційних до підсумкових:
,
де fi0 — підсумкові частоти за ознакою x; f0j — підсумкові частоти за ознакою ; — обсяг сукупності .
Якби схильність до ризику не залежала від віку, то кількість ризикованих серед молоді становила б
,
обережних у другій віковій групі
,
неризикованих у третій віковій групі
.
Абсолютну величину відхилень фактичних частот fij від пропорційних Fij характеризує квадратична спряженість (2 Пірсона:
.
За відсутності стохастичного зв’язку (2 = 0. На основі розподілу ймовірностей (2 перевіряється істотність зв’язку. Критичні значення (2 для ( = 0,05 і числа ступенів свободи k = (mx – 1) (my – 1) наведено в табл. 7.10. Так, для k = (3 – 1) (3 – 1) = 4 критичне значення Фактичне значення

що значно перевищує критичне, а отже, з імовірністю 0,95 істотність зв’язку між віком і схильністю до ризику доведено.
Відносною мірою щільності стохастичного зв’язку слугує коефіцієнт взаємної спряженості (співзалежності). За умови, що mx = my використовують формулу Чупрова:
,
де mx — число груп за ознакою x; my — число груп за ознакою y. Оскільки за відсутності зв’язку між ознаками (2 = 0, то і С = 0. При функціональному зв’язку C ( 1. У разі, коли mx ( mx, віддають перевагу коефіцієнту спряженості Крамера:
,
де mmin — мінімальне число груп (mx або my).
У нашому прикладі mx = my = 3, а тому наведені формули коефіцієнта взаємної спряженості тотожні:
,
що свідчить про наявність зв’язку.
Таблиця 7.10
КРИТИЧНІ ЗНАЧЕННЯ
k
1
2
3
4
5
6
7
8


3,84
5,99
7,81
9,49
11,07
12,59
14,07
15,51


Якщо обидві взаємозв’язані ознаки альтернативні, тобто кількість груп mx = my = 2, то за відсутності зв’язку добутки діагональних частот однакові: f11 f22 = f12 f21. Саме на відхиленнях добутків частот ґрунтуються характеристики зв’язку:
,
.
У літературі зі статистики коефіцієнт для 4-клітинкової таблиці називається коефіцієнтом контингенції або асоціації. Очевидно, що за змістом він ідентичний коефіцієнту взаємної спряженості, а з (2 пов’язаний функціонально: (2 = nC2.
За допомогою коефіцієнта контингенції оцінимо щільність зв’язку між шкідливою звичкою палити і хворобами легенів (табл. 7.11).
Таблиця 7.11
РОЗПОДІЛ ПАЦІЄНТІВ КЛІНІКИ ЗА РЕЗУЛЬТАТАМИ ЛЕГЕНЕВИХ ПРОБ
Наявність звички палити
Результати легеневих проб
Разом


Аномальні
Нормальні


Палить
20
5
25

Не палить
10
15
25

Разом
30
20
50

.
Значення перевищує критичне . Істотність зв’язку доведено з імовірністю 0,95.
Корисною мірою при аналізі 4-клітинкових таблиць взаємної спряженості є відношення перехресних добутків або відношення шансів

Відношення шансів характеризує міру відносного ризику. У нашому прикладі
.
Отже, імовірність легеневих хвороб у тих, хто палить, у 6 разів вища порівняно з тими, хто не палить.
Зауважимо, що методи аналізу таблиць взаємної спряженості можна використати і для кількісних ознак. Будь-які технічні перешкоди відсутні. Проте слід пам’ятати, що коефіцієнт спряженості оцінює лише узгодженість фактичного розподілу з пропорційним. При переставлянні рядків чи стовпців значення коефіцієнта С не зміниться. Міри щільності кореляційного зв’язку — коефіцієнт детермінації R2 і кореляційне відношення (2 — оцінюють не лише узгодженість частот, а й порядок, послідовність, в якій поєднуються різні значення ознак. Отже, ці характеристики зв’язку більш потужні. А загалом вибір методу вимірювання зв’язку і характеристик його щільності має ґрунтуватись на попередньому теоретичному аналізі суті явищ, характеру взаємозв’язків, наявній інформації.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Зазначте, які з наведених залежностей соціально-економічних явищ є функціональними, а які — стохастичними:
попит на легкові автомобілі від наявності їх на ринку і цін;
акціонерний капітал компанії від кількості проданих акцій та їх ринкової ціни;
урожайність картоплі від якості ґрунту та кількості опадів за рік.
2. У наведених парах ознак визначіть факторні і результативні:
а) розмір податку; розмір прибутку;
б) сукупний дохід сім’ї; заощадження.
3. Як виявляється кореляційний зв’язок? Поясніть його співвідношення зі стохастичним зв’язком.
4. Як визначити ефекти впливу фактора на результат за даними аналітичного групування?
5. Аналітичне групування 36 комерційних банків характеризує зв’язок між розміром капіталу та рівнем його прибутковості. Загальна дисперсія прибутковості капіталу — 25, міжгрупова — 16, кількість груп — 4.
Визначте кореляційне відношення. Поясніть його економічний зміст, перевірте істотність зв’язку з імовірністю 0,95, зробіть висновки.
6. Які функції в аналізі взаємозв’язків виконує рівняння регресії?
7. Зв’язок між процентною ставкою на міжбанківський кредит, %, та терміном надання кредиту, днів, описується рівнянням регресії Y = 18 + 0,5х. Поясніть зміст параметрів рівняння. Визначіть процентну ставку на 30-денний кредит.
8. Що характеризує коефіцієнт регресії? Чим відрізняється коефіцієнт еластичності від коефіцієнта регресії?
9. Зв’язок між потужністю вугільного пласта, см, і видобутком вугілля на одного робітника очисного вибою за зміну, т, описується рівнянням регресії Y = – 3,6 + 0,15х. Залишкова дисперсія видобутку вугілля становить 1,2, загальна — 5,4.
Визначіть коефіцієнт детермінації, поясніть його зміст. Перевірте істотність зв’язку з імовірністю 0,95. 
10. Лінійний коефіцієнт кореляції між рівнем механізації виробничих процесів і продуктивністю праці становить 0,7. Яка частка варіації продуктивності праці залежить від варіації рівня механізації виробничих процесів?
11. Як оцінити щільність нелінійного зв’язку? Чи можна вважати коефіцієнт детермінації універсальною мірою щільності кореляційного зв’язку? Будь-яку відповідь обґрунтуйте.
12. За допомогою коефіцієнта рангової кореляції оцініть ступінь узгодженості оцінок двох груп експертів на конкурсі професійної майстерності модельєрів. Висновок зробіть з імовірністю 0,95.
Модельєр
Ранг, наданий експертами


художниками
промисловцями

А
5
4

В
1
3

С
6
5

D
3
2

F
2
1

K
4
6

N
7
7

13. Результати вибіркового опитування споживачів щодо сприйняття ними реклами товарів такі:
Враження від реклами
Кількість опитаних, що
Разом


придбали товар
не придбали товар


Запам’ятали
10
30
40

Не запам’ятали
2
28
30

Разом
12
58
70

Оцініть результативність реклами за допомогою відношення шансів, поясніть його економічний зміст.
14. Усі характеристики щільності зв’язку мають спільні риси. Поясність, які саме.
15. Чим зумовлена необхідність перевірки істотності зв’язку? Як формулюється нульова гіпотеза? За яких умов вона приймається, а за яких — відхиляється?
16. За результатами психодіагностичного тестування дітей частина з них за емоційним станом потребує уваги психологів.
Сімейний стан
Емоційний стан дитини
Разом


у нормі
відхилення від норми


Повна сім’я
90
10
100

Неповна сім’я
60
20
80

Разом
150
30
180

За допомогою коефіцієнта контингенції визначіть ступінь залежності емоційних відхилень у дітей від сімейного стану. Висновок зробіть з імовірністю 0,95.