5. РІВНЯННЯ ДИНАМІКИ ПІДСИЛЮВАЧІВ ТА ФІЛЬТРІВ
5.1. Електромашинний підсилювач з поперечним полем
Електромашинний підсилювач (ЕМП) з поперечним полем це вдосконалений генератор постійного струму, схема включення якого наведена на рис. 5.1. Ротор ЕМП приводиться в рух первинним двигуном зі швидкістю . Напруга керування приведена до обмотки керування і створює потік керування , напрямлений за віссю машини. Цей потік перетинається витками обмотки ротора, розташованими у вертикальній площині, сполученими з ламелями колектора, що лежить в горизонтальній площині (рис. 5.2 а), в результаті чого на горизонтальних щітках машини утворюється е.р.с. . Так як горизонтально розташовані щітки зовнішнім колом закорочені, то по вертикальній закороченій обмотці ротора протікає струм . Він створює маґнетний потік короткозамкненого ротора , напрямлений за віссю машини. В результаті перетину цього потоку витками обмотки ротора, які лежать в горизонтальній площині і сполучені з ламелями колектора, що лежать у вертикальній площині (рис. 5.2 б), створюється вихідна е.р.с. . При навантаженні вихідних вертикальних щіток машини на зовнішнє коло по цим щіткам і пов’язаними з ними горизонтально розташованими витками обмотки ротора протікає струм навантаження, в результаті чого створюється напрямлений за віссю потік реакції ротора , що діє зустрічно потоку керування . Потік ротора зменшує керуючу дію потоку на ЕМП, що приводить до малих значень коефіцієнтів підсилення ЕМП. Тому на статорі машини розміщена компенсуюча обмотка КО, яка створює компенсуючий потік , напрямлений зустрічно потоку . Для керування потоком паралельно компенсуючій обмотці включений керуючий опір , з допомогою якого керується доля струму навантаження, що протікає через компенсуючу обмотку. Так як потік і потік створюється струмом , можлива повна компенсація потоку реакції ротора потоком , при якій е.р.с. не залежить від режиму роботи контуру навантаження ЕМП. Цей режим називають режимом компенсації за потоками.
Розглянемо рівняння динаміки ЕМП з поперечним полем в режимі неробочого ходу, еквівалентного відсутності сумісного впливу потоків і режиму компенсації за потоками. В цьому в ЕМП відбуваються перетворення зображені на структурній схемі (рис. 5.3): перетворення керуючої напруги в струм обмотки керування (ланка 1), перетворення струму в потік керування (ланка 2), перетворення в е.р.с. короткозамкненого контуру (ланка 3), перетворення в струм короткозамкненого контуру (ланка 4), перетворення в потік (ланка 5), перетворення у вихідну е.р.с. (ланка 6). При цьому перетворення, що відбуваються в ланках 1, 2, 3, аналогічні перетворенням ланок 4, 5, 6.
Перетворення ланки 1 описується рівнянням
, (5.1)
де , – індуктивність і опір кола керування.
В загальному випадку . Заморозивши значення запишемо рівняння динаміки цієї ланки в абсолютних приростах
, (5.2)
де – стала часу кола керування.
У відповідності з (5.2) рівняння стану рівноваги буде
?iKуст, (5.3)
де ?iKуст – усталене значення приросту струму керування. Введемо відносні змінні з номінальними значеннями базових величин
, .
Запишемо рівняння динаміки ланки 1 у відносних приростах
, . (5.4)
Перетворення ланки 2 визначається законом Ома для маґнетного кола
, (5.5)
де – намаґнечуюча сила обмотки керування; – число витків обмотки керування; – маґнетний опір машини за віссю . Прийнявши означає, що , тобто рівняння (5.5) – лінійне, тому його можна записати в абсолютних приростах
. (5.6)
Введемо відносний приріст . Тоді рівняння динаміки ланки 2 у відносних приростах буде
, . (5.7)
Перетворення ланки 3 описується законом електромаґнетної індукції
, (5.8)
де – маґнетна індукція потоку керування; – довжина рухомого в маґнетному полі провідника; – лінійна швидкість руху провідника. Маґнетна індукція , де – січення маґнетного потоку . Вважаючи, що січення маґнетного потоку в повітряному проміжку машини внаслідок малої величини останнього практично співпадає з виразом поверхні полюса статора, можна визначити січення потоку у відповідності з конструкцією полюсів машини (рис. 5.4): , де – кут дуги полюсного ділення; – радіус полюса; – довжина полюса. Тоді
. (5.9)
Якщо в короткозамкненому контурі міститься послідовно сполучених витків, то активна довжина провідників цього контуру рівна
. (5.10)
Лінійна швидкість руху провідників ротора, радіус яких збігається з радіусом ротора, пов’язана з кутовою швидкістю обертання співвідношенням
. (5.11)
Підставивши (5.9), (5.10) і (5.11) в (5.8), отримаємо
. (5.12)
При умові, коли рівняння (5.12) буде лінійним. Так як воно алгебричне, то рівняння динаміки в абсолютних приростах і рівняння стану рівноваги будуть збігатися
. (5.13)
Введемо відносний приріст і запишемо рівняння динаміки ланки 3 у відносних приростах
, . (5.14)
Рівняння динаміки ланки 4 аналогічне рівнянню ланки 1
, (5.15)
де – стала часу короткозамкненого контуру; , – індуктивність і опір короткозамкненого контуру; – приріст струму короткозамкненого контуру. В усталеному режимі маємо
?iKKуст. (5.16)
Ввівши відносний приріст запишемо рівняння динаміки ланки 4 у відносних приростах
, . (5.17)
Вважаючи маґнетний опір машини за віссю рівним маґнетному опору за віссю , отримаємо рівняння динаміки ланки 5
, (5.18)
де – приріст маґнетного потоку короткозамкненого контуру. Введемо відносний приріст і запишемо рівняння динаміки ланки 5 у відносних приростах
. (5.19)
Рівняння динаміки ланки 6 в абсолютних приростах є тотожним рівнянню ланки 3
, (5.20)
де – приріст вихідної е.р.с. ЕМП. Рівняння (5.20) справедливе і для усталеного режиму. Запишемо рівняння (5.20) у відносних приростах позначивши :
. (5.21)
Таким чином, динамічні процеси що протікають в ЕМП з поперечним полем в режимі неробочого ходу описуються сукупністю алгебро-диференціальних рівнянь
(5.22)
причому .
Виключивши проміжні змінні в рівнянні (5.22), отримаємо
. (5.23)
Рівняння (5.23) є рівнянням динаміки ЕМП з поперечним полем в режимі неробочого ходу у відносних приростах.
Знайдемо зображення за Лапласом рівняння (5.23)
. (5.24)
З рівняння (5.24) можна знайти передатну функцію
. (5.25)
Підставивши в (5.25) отримаємо вираз для АФХ об’єкту
. (5.26)
Цей запис є тотожним виразу (2.71), де
(5.27)
Тоді частотні характеристики об’єкту за вхідною дією будуть визначатися виразами (2.74) – (2.77) з урахуванням позначень (5.27).
5.2. Маґнетний підсилювач з зовнішнім додатним зворотним зв’язком
З ціллю збільшення коефіцієнту підсилення маґнетний підсилювач (МП) охоплюють зовнішніми додатними зворотними зв’язками. На рис. 5.5 зображена схема найпростішого МП з виходом на змінному струмі, навантаженого опором . Тут – число витків керуючої обмотки, а – обмотки зворотного зв’язку. На рис. 5.6 зображений графік залежності ефективного значення струму навантаження від величини струму керування . Найпростіша математична модель МП, яка описує його динамічні властивості зводиться до рівняння аперіодичної ланки
, (5.28)
де – стала часу МП; – маґнетний опір маґнетопроводу потоку керування; – активний опір обмотки керування; – коефіцієнт підсилення МП за струмом; – коефіцієнт підсилення МП за напругою; – приріст керуючої напруги; – приріст ефективного значення струму навантаження. При необхідності вихідною величиною можна прийняти напругу і рівняння (5.28) запишемо у вигляді
, (5.29)
де – приріст ефективного значення напруги на навантаженні. Стала часу визначається лише колами керування і зворотного зв’язку. Дійсно, потокозчеплення пов’язане з потоком співвідношенням , а , тоді . При цьому стала часу обмотки керування рівна , що збігається з виразом для сталої часу при відсутності додатного зворотного зв’язку (). Рівняння (5.28), (5.29) можна також записати і у відносних приростах.
Введемо позначення відносних змінних , тоді рівняння динаміки МП (5.29) у відносних приростах буде
, (5.30)
де .
Знайдемо зображення за Лапласом рівняння (5.30)
. (5.31)
З рівняння (5.31) можна знайти передатну функцію МП за напругою
. (5.32)
Підставивши в (5.32) отримаємо вираз для АФХ
. (5.33)
Цей запис є тотожним виразу (2.71), де
(5.34)
Тоді частотні характеристики МП за напругою будуть визначатися виразами (2.74) – (2.77) з урахуванням позначень (5.34).
5.3. Диференціюючий RC-фільтр
Рівняння динаміки корегуючи ланок виводяться при умові, що вихідний струм дорівнює нулю, тобто опір навантаження вважається достатньо великим. На рис. 5.7 зображена диференціююча RC-ланка. Згідно другого закону Кірхгофа для електричних контурів маємо
, (5.35)
, (5.36)
де – падіння напруги на конденсаторі; – падіння напруги на активному опорі; – вхідна і вихідна напруги.
Рівняння елементів фільтру мають вигляд
, . (5.37)
Розв’язуючи систему рівнянь (5.35) – (5.37) відносно , отримаємо
; . (5.38)
Рівняння (5.38) лінійне, тоді запишемо його в абсолютних та відносних приростах
, (5.39)
, (5.40)
де , , .
Розглянутий RC-контур не може бути включений послідовно в коло передачі сигналу помилки, так як таке включення не пропустить через систему усталене значення сигналу помилки. Цей контур включають паралельно підсилювачу сигналу помилки.
Визначимо передатну функцію такого фільтру. Зображення за Лапласом рівняння (5.40) має вигляд
, (5.41)
Передатна функція згідно (5.41) буде
. (5.42)
Підставивши отримаємо вираз для АФХ об’єкту
. (5.43)
Цей запис є тотожним виразу (2.71), де
(5.44)
Тоді частотні характеристики об’єкту за вхідною дією будуть визначатися виразами (2.74) – (2.77) з урахуванням позначень (5.44).
5.4. Форсуючий RC-фільтр
Схема диференціюючого RC-контуру, що забезпечує додавання сигналу помилки з похідною цього сигналу, зображена на рис. 5.8. Цей контур може безпосередньо включатися в коло передачі сигналу помилки. Цей контур інколи називають форсуючим. Вважаючи еквівалентним опором, що враховує вплив навантаження, згідно другого закону Кірхгофа маємо:
. (5.45)
Згідно першого закону Кірхгофа струми пов’язані рівнянням
. (5.46)
Рівняння елементів схеми мають вигляд
. (5.47)
Розв’язуючи систему рівнянь (5.45) – (5.47) відносно отримаємо
, (5.48)
де .
Так як , це приводить до ослаблення сигналу, тому форсуючий контур вимагає введення послідовного підсилювача.
Рівняння динаміки у формах абсолютних і відносних приростів для форсуючого контуру у відповідності з (5.48) мають вигляд:
, (5.49)
, (5.50)
де .
Визначимо передатну функцію такого фільтру. Зображення за Лапласом рівняння (5.50) має вигляд
, (5.51)
Передатна функція згідно (5.51) буде
. (5.52)
Підставивши отримаємо вираз для АФХ об’єкту
. (5.53)
Цей запис є тотожним виразу (2.71), де
(5.54)
Тоді частотні характеристики об’єкту за вхідною дією будуть визначатися виразами (2.74) – (2.77) з урахуванням позначень (5.54).
5.4. Інтегруючий RC-фільтр
В цьому фільтрі на відміну від диференціюючого постійний сигнал проходить, бо вихідною є напруга на конденсаторі. Зауважимо, що інтегруючим він буде по відношенню до змінних сигналів, а по відношенню до постійних він виконує функцію повторювача.
На рис. 5.9 зображена диференціююча RC-ланка. Згідно другого закону Кірхгофа для електричних контурів маємо
, , (5.55)
де – падіння напруги на конденсаторі; – падіння напруги на активному опорі; – вхідна і вихідна напруги.
Рівняння елементів фільра мають вигляд
, . (5.56)
Розв’язуючи систему рівнянь (5.55), (5.56) відносно , отримаємо
, . (5.57)
Рівняння (5.57) лінійне, тоді запишемо його в абсолютних та відносних приростах
, (5.58)
, (5.59)
де , , .
Визначимо передатну функцію інтегруючого фільтру. Зображення за Лапласом рівняння (5.59) має вигляд
, (5.60)
Передатна функція згідно (5.60) буде
. (5.61)
Підставивши отримаємо вираз для АФХ об’єкту
. (5.62)
Цей запис є тотожним виразу (2.71), де
(5.63)
Тоді частотні характеристики об’єкту за вхідною дією будуть визначатися виразами (2.74) – (2.77) з урахуванням позначень (5.63).
5.5. RLC-фільтр четвертого порядку
Наведена на рис. 5.10 -ланка складається з двох дроселів з опорами та індуктивностями , та двох конденсаторів . Індуктивності дроселів будемо вважати постійними. Ланка навантажена активним опором і живиться напругою . Для запису рівнянь динаміки скористаємось законами Кірхгофа та рівняннями елементів.
Дана схема містить три вузли і для двох з них запишемо рівняння І-го закону Кірхгофа
(5.64)
де – струми дроселів; – струми конденсаторів; – струм навантаження.
Маємо чотири незалежних контури для яких запишемо рівняння ІІ-го закону Кірхгофа
(5.65)
(5.66)
(5.67)
(5.68)
де – напруги конденсаторів; – напруги на активних опорах котушок; – напруги на індуктивних опорах котушок; – напруга навантаження; – напруга на виході ланки.
Рівняння Кірхгофа доповнимо рівняннями елементів
(5.69)
Підставимо рівняння (5.69) в (5.64)-(5.68)
(5.70)
(5.71)
(5.72)
(5.73)
(5.74)
(5.75)
З рівнянь (5.70), (5.74), (5.75) визначимо змінні та підставимо їх у рівняння (5.71) – (5.73)
(5.76)
(5.77)
(5.78)
Вираз (5.76) для струму другого дроселя підставимо в (5.77), (5.78)
, (5.79)
(5.80)
Підставивши вираз (5.80) для напруги в рівняння (5.79) отримаємо остаточне рівняння динаміки ланки
(5.81)
Згрупувавши подібні члени рівняння (5.81) запишемо у вигляді
(5.82)
де


Так як рівняння (5.82) є лінійним його можна записати в абсолютних приростах
(5.83)
Введемо позначення відносних приростів , і підставимо їх в рівняння (5.83)
(5.84)
де .
Визначимо передатну функцію ланки. Зображення за Лапласом рівняння (5.84) має вигляд
, (5.85)
Передатна функція згідно (5.85) буде
. (5.86)
Підставивши отримаємо вираз для АФХ об’єкту
. (5.87)
Цей запис є тотожним виразу (2.71), де
(5.88)
Тоді частотні характеристики об’єкту за вхідною дією будуть визначатися виразами (2.74) – (2.77) з урахуванням позначень (5.88).
5.6. Рівняння динаміки однофазних трансформаторів
Розглянемо рівняння динаміки однофазного трансформатора, який працює на активно-індуктивне навантаження через ємнісний фільтр.
На рис. 5.11 наведена принципова схема трансформатора з навантаженням, на рис. 5.12, 5.13 – розрахункові схеми електричних контурів, на рис. 5.14 – розрахункова схема маґнетного кола.
Згідно законів Кірхгофа запишемо рівняння електричних контурів
, , (5.89)
, , (5.90)
. (5.91)
Е.р.с. , визначаються за формулами
, , (5.92)
Підставимо (5.92) в (5.89)
, . (5.93)
Визначимо з (5.90) струм конденсатора і підставимо в (5.91)
. (5.94)
Згідно (5.66) визначимо напругу на індуктивності навантаження
. (5.95)
В рівняннях (5.93) - (5.95) використані наступні позначення: – опір, індуктивність і струм навантаження; – ємність і напруга конденсатора; – числа витків обмоток; – струми обмоток; – напруга живлення; – активні опори обмоток; – маґнетні потоки обмоток.
Згідно схеми рис. 5.14 можна записати рівняння стану маґнетного кола
, , (5.96)
, , (5.97)
, , (5.98)
, (5.99)
де – маґнетні потоки розсіяння обмоток; – основний маґнетний потік; – падіння маґнетної напруги в осерді трансформатора; – маґнетні опори розсіяння обмоток.
Підставивши (5.97) в (5.98) визначимо потоки розсіяння
(5.100)
Підставимо (5.100) в (5.96) і визначимо струми обмоток
(5.101)
Підставимо (5.101) в (5.93), (5.94), (5.99)
, , (5.102)
, (5.103)
, (5.104)
де , . Рівняння (5.80) нелінійне за рахунок функції , яка є кривою намаґнечення. Її характер зображений на рис. 5.15. Для того, щоб рівняння (5.80) було лінійним замінимо криву рівнянням прямої, що проходить через початок координат
, . (5.105)
Підставимо (5.105) в (5.104) і визначимо основний маґнетний потік
, , . (5.106)
де . Підставимо (5.106) в (5.102), (5.103), (5.95)
, (5.107)
, (5.108)
, (5.109)
. (5.110)
Згідно схеми рис. 5.11 вхідною величиною є напруга , а вихідною напруга на навантаженні. Остання співпадає з напругою конденсатора . Тому в системі рівнянь (5.107) - (5.110) необхідно виключити проміжні змінні . В результаті ми отримаємо одне рівняння четвертого порядку відносно .
Визначимо з (5.107) і підставимо в (5.108), (5.109)
, (5.111)
, (5.112)
де , , ,
, , ,
, .
З рівняння (5.112) визначимо і підставимо в (5.110)
. (5.113)
Знайдемо зображення за Лапласом рівнянь (5.112), (5.113)
(5.114)
(5.115)
З рівняння (5.114) визначимо , а отриманий результат підставимо в (5.115)
, (5.116)
де , , , , ,
, , , .
Тоді передатна функція згідно (5.116) буде
. (5.117)