РОЗДІЛ 17.
ЕЛЕМЕНТИ КВАНТОВОЇ МЕХАНІКИ
Енергія, маса та імпульс фотона:
;
;
.
Довжина хвилі де Бройля:
,
де імпульс – для нерелятивістської мікрочастинки і  – для релятивістської; – енергія спокою, а – кінетична енергія частинки.
Співвідношення невизначеностей Гейзенберга:
;
.
Середнє значення координати частинки:
,
де – елемент об’єму; – хвильова функція частинки;  – радіус-вектор.
Середнє значення імпульсу частинки в одновимірній системі:
,
де – хвильова функція частинки.
Частинка у нескінченно глибокій потенціальній ямі.
Хвильова функція частинки:
,
де – ширина ями; – номер енергетичного рівня.
Енергія рівнія:
,
де – маса частинки; квантове число.
Коефіцієнт прозорості потенціального бар’єра прямокутної форми:
,
де – енергія частинки; – маса частинки; – висота бар’єра; – ширина бар’єра.
Енергія одновимірного квантового осцилятора:
.
Момент імпульсу електрона.
Повний момент імпульсу електрона із орбітальним квантовим числом :
,
де .
Проекція моменту імпульсу електрона на вісь :
,
де – магнітне квантове число.
Гіромагнітне співвідношення для електрона:
,
де – орбітальний магнітний момент електрона.
Спіновий момент імпульсу електрона.
Повний спіновий момент імпульсу:

де – спінове квантове число.
Проекція повного спінового моменту імпульсу на вісь :
,
де – магнітне спінове число.
Послідовність електронних оболонок атома у порядку зростання енергії:
.
Енергетичні рівні коливального руху молекули:
,
де – коливне квантове число, – власна частота коливань ядер молекул.
Енергетичні рівні обертального руху молекули:
,
де – момент інерції молекули; – обертальне квантове число.
Частоти обертальної смуги:
.
Частоти обертально-коливальної смуги:
,
де – коливальна частота.
Відношення заселеностей та енергетичних рівнів :
,
де та – енергії рівнів та , відповідно.
Задача 1. Знайти довжину хвилі де Бройля для молекули кисню, що рухається зі середньою квадратичною швидкістю при температурі 300 К.
Дано:





 = ?

Розв’язування
Довжину хвилі де Бройля обчислюємо за формулою:
. (1)
Оскільки при Т = 300 К молекули кисню можемо вважати нерелятивістськими частинками, то імпульс окремої молекули:
, (2)
де ; – молярна маса кисню; – число Авогадро.
За умовою задачі молекула кисню рухається зі середньою квадратичною швидкістю, отже:
. (3)
Об’єднавши формули (1)-(3) отримуємо:
.
Задача 2. Вузький пучок моноенергетичних електронів із енергією 26,0 еВ падає на природну грань монокристала під кутом ковзання, що дорівнює , при цьому спостерігається максимальна інтенсивність електронного пучка при куті відбивання (рис. 17.1). Знайти міжплощинну відстань для цього кристала.
Дано:
 еВ





d = ?

Розв’язування
Рис.17. 1
У даній задачі описано випадок дифракції електронів на кристалі. Отже, для того щоб описати цей процес, слід врахувати корпускулярно-хвильовий дуалізм мікрочастинок і розглядати електрони з точки зору їх хвильових властивостей, а саме як хвилі де Бройля.
У загальному випадку умова спостереження дифракційного максимуму задається формулою Вульфа-Брегга. Вона повинна бути справедливою і у випадку дифракції електронів:
, (1)
де  – міжплощинна відстань;  – кут ковзання електронів при падінні на поверхню кристалу;  – порядок інтерференційного максимуму;  – довжина хвилі де Бройля.
Оскільки інтенсивність інтерференційних максимумів вищих порядків є незначною, то можна прийняти .
Довжину хвилі де Бройля розрахуємо за формулою:
, (2)
де – маса електрона; – енергія пучка електронів.
Із формул (1) та (2) одержуємо:
.
Задача 3. Використовуючи співвідношення невизначеностей Гейзенберга, оцінити величину невизначеності швидкості електрона в атомі водню, приймаючи його розмір за 0,10 нм.
Дано:




= ?

Розв’язування
Згідно із співвідношення невизначеностей Гейзенберга для координати та імпульсу
. (1)
Оскільки розмір атома водню вважаємо рівним 0,10 нм, то справедливо припустити, що електрон буде локалізованим у області простору розміром  нм. Згідно (1) імпульс електрона можна визначити не точніше ніж:
. (2)
Вважаючи електрон нерелятивістською частинкою, можна оцінити невизначеність його швидкості, а саме:

, (3)
де – маса електрона. Отже:
.
Задача 4. Частинка перебуває в основному стані у одновимірній потенціальній ямі із нескінченно високими стінками і шириною . Обчислити ймовірність перебування частинки у першій половині потенціальної ями, тобто у проміжку .
Дано:







Розв’язування:
Як відомо (див. теоретичний вступ до цього розділу), хвильова функція частинки у нескінченно глибокій потенціальні ямі, шириною , має вигляд:
. (1)
За допомогою хвильової функції можна визначити густину імовірності знаходження частинки на проміжку , що дорівнює:
. (2)
Імовірність знаходження частинки у першій половині потенціальної ями розраховуємо за формулою:
.
Задача 5. Визначити кутову швидкість молекули , що перебуває на першому збудженому обертальному рівні, якщо відстань між її ядрами  = 189 пм.
Дано:
= 189 пм





Розв’язування
Кутову швидкість молекули можна визначити, якщо знати, наприклад, її момент імпульсу. Загальний вираз для моменту імпульсу:
, (1)
де – момент інерції молекули відносно осі обертання, яка проходить через центр мас молекули; – кутова швидкість.
У випадку молекулярних спектрів накладається додаткова вимога, а саме щодо дискретного характеру :
, (2)
де – обертальне квантове число, яке визначає обертальний енергетичний рівень. Таким чином, із формул (1) та (2) випливає:
.
17.1. Знайти співвідношення між масами фотонів для червоного ( = 700 нм), зеленого ( = 500 пм) і синього ( = 400 пм) світла.
17.2. Знайти масу , імпульс та енергію фотона рентгенівського випромінювання, що відповідає лінії міді ( = 0,154 нм).
17.3. Яку довжину хвилі та частоту повинен мати фотон, щоб його маса дорівнювала масі спокою електрона?
17.4. Знайти довжину хвилі де Бройля для електронів, що мають енергію 1,00 еВ та 1,00 кеВ. Електрони вважати нерелятивістськими частинками.
17.5. Знайти довжину хвилі де Бройля для протонів, що мають енергію 1,00 еВ та 1,00 кеВ.
17.6. Обчислити довжину хвилі де Бройля для кулі масою 10 г, що рухається зі швидкістю 400 м/с.
17.7. Обчислити довжину хвилі де Бройля для електрона і протона, що мають енергію 1,00 МеВ.
17.8. Кінетична енергія електрона дорівнює енергії спокою. Обчислити довжину хвилі де Бройля для такого електрона.
17.9. Знайти довжину хвилі де Бройля для  - частинки, що рухається по колу радіуса 10,0 мм в магнітному полі з індукцією 2,00 мТл.
17.10. Паралельний пучок електронів, що пройшли прискорюючу різницю потенціалів 30,0 В, падає на діафрагму із двома вузькими щілинами, відстань між якими 50,0 мкм. Знайти відстань між сусідніми максимумами дифракційної картини на екрані, якщо він віддалений на  = 100 см від щілини.
17.11. Показати, що правило квантування орбіт атома водню в теорії Бора одержується з вимоги, щоб на коловій орбіті електрона вкладалось ціле число довжин хвиль де Бройля.
17.12. Оцінити за допомогою співвідношення невизначеностей мінімально можливу енергію електрона в атомі водню і відповідну ефективну відстань його від ядра.
17.13. Оцінити за допомогою співвідношення невизначеностей мінімальну кінетичну енергію електрона, локалізованого в області розміром 0,10 нм.
17.14. Частинка масою рухається в одномірному потенціальному полі, енергія якого описується співвідношенням (гармонічний осцилятор). Оцінити за допомогою співвідношення невизначеностей мінімально можливу енергію частинки в такому полі.
17.15. Середній час життя атома у збудженому стані становить ? = 10-8 с. При переході атома в основний стан випромінюється фотон із довжино хвилі ? = 600 нм. Оцінити природну ширину спектральної лінії на основі співвідношення невизначеностей для енергії та часу.
17.16. Хвильова функція мікрочастинки має вигляд: , де  – відстань від силового центра; – константа. Знайти: а) значення коефіцієнта ; б) найбільш імовірну та середню відстані частинки від центра.
17.17. Радіальна функція водневоподібного атома має вигляд: , де – радіус першої борівської орбіти; – порядковий номер атома. Знайти середнє значення відстані електрона від ядра та середнє значення потенціальної енергії.
17.18. Тривимірна хвильова функція деякої частинки має вигляд: . Отримати вирази для: а) коефіцієнту нормування ; б) середнього значення .
17.19. Одновимірна хвильова функція деякої частинки має вигляд: . Отримати вирази для: а) коефіцієнту нормування ; б) середнього значення імпульсу частинки .
17.20. Хвильова функція - електрона у основному стані в атомі водню має вигляд: , де – радіус орбіти електрона. Знайти середнє значення енергії електростатичної взаємодії електрона та ядра.
17.21. Хвильова функція - електрона у основному стані в атомі водню має вигляд: , де – радіус орбіти електрона. Знайти середнє значення сили кулонівської взаємодії електрона та ядра.
17.22. Частинка знаходиться у одновимірній прямокутній нескінченно глибокій потенціальній ямі шириною . Знайти середні значення координати та імпульсу частинки.
17.23. Частинка знаходиться у основному стані у одновимірній прямокутній нескінченно глибокій потенціальній ямі шириною . Визначити імовірність знаходження частинки у лівій половині цієї ями.
17.24. Частинка знаходиться у першому збудженому стані () у одновимірній прямокутній нескінченно глибокій потенціальній ямі шириною . Визначити імовірність знаходження частинки у лівій третині цієї ями.
17.25. Електрон знаходиться у одновимірній прямокутній нескінченно глибокій потенціальній ямі шириною . Знайти співвідношення заселеностей першого та третього енергетичних рівнів для та при температурі .
17.26. Електрон знаходиться у одновимірній прямокутній нескінченно глибокій потенціальній ямі шириною . У скільки разів зросте імовірність знаходження електрона на третьому енергетичному рівні при зміні температури з до ?
17.27. У скільки разів зменшиться відстань між першим та другим енергетичними рівнями частинки у нескінченно глибокій прямокутній потенціальній ямі, якщо ширина ями зросте у 10 разів ?
17.28. Частинка знаходиться у одновимірній прямокутній нескінченно глибокій потенціальній ямі. У скільки разів відрізняються відстані між сусідніми енергетичними рівнями та для та ?
17.29. Довести, що енергетичний спектр вільних електронів у провіднику можна вважати неперервним (тобто його дискретністю можна знехтувати).
17.30. Пучок електронів проходить прискорюючу різницю потенціалів , після чого зустрічає на своєму шляху прямокутний потенціальний бар’єр висотою та шириною . Яку ширину повинен мати бар’єр, щоб половина електронів у пучку змогла протунелювати крізь нього ?
17.31. Пучок протонів проходить прискорюючу різницю потенціалів , після чого зустрічає на своєму шляху прямокутний потенціальний бар’єр висотою та шириною . Яку ширину повинен мати бар’єр, щоб половина протонів у пучку змогла протунелювати крізь нього ?
17.32. Обчислити густину станів (кількість енергетичних рівнів у одиничному інтервалі енергій) для електрона у нескінченно глибокій потенціальній ямі як функцію енергії і знайти значення цієї густини для = 1,0 еВ, якщо ширина ями становить  = 1,00 мм.
17.33. Пучок електронів енергією зустрічає на своєму шляху прямокутний потенціальний бар’єр висотою та шириною . Яка частина електронів у пучку протунелює крізь бар’єр ? У скільки раз зміниться ця частка, якщо бар’єр буде вдвічі товщим ?
17.34. Розглядаючи математичний маятник як гармонічний осцилятор, визначити класичну амплітуду нульових коливань (), та коливань, що відповідають . Довжина маятника  м, маса  г.
17.35. Розглядаючи математичний маятник як гармонічний осцилятор, визначити, якому стану відповідають коливання із амплітудою мм. Довжина маятника  м, маса  г.
17.36. Записати електронну конфігурацію атома калію.
17.37. Користуючись правилами Хунда, записати терм основного стану атома калію.
17.38. Написати набори квантових чисел для електронних станів -, -, - оболонок.
17.39. Обчислити моменти імпульсу та магнітні моменти для електрона в -, -, - станах.
17.40. Використовуючи постулат Бора для квантування орбіт, визначити орбітальний магнітний момент електрона, що обертається на другій орбіті атома водню.
17.41. Використовуючи постулат Бора для квантування орбіт, визначити швидкість електрона, що обертається на першій орбіті атома водню.
17.42. Використовуючи постулат Бора для квантування орбіт, визначити частоту обертання електрона, на першій орбіті атома водню.
17.43. Використовуючи постулат Бора для квантування орбіт, визначити, якому еквівалентному струму відповідає обертання електрона на першій орбіті атома водню.
17.44. Електрон в атомі перейшов із - стану у - стан. У скільки разів зріс його повний орбітальний момент ?
17.45. Визначити момент імпульсу молекули кисню на другому збудженому обертальному рівні. Відстань між ядрами атомів  = 121 пм.
17.46. Знайти відношення заселеностей енергетичних рівнів оптично активної речовини лазера при температурі , якщо при збудженні випромінюється світло із довжиною хвилі  = 0,6943 нм.
17.47. Пучок електронів, прискорений різницею потенціалів , падає під кутом ковзання на поверхню кристалічної ґратки. Стала кристалічної ґратки . Знайти значення першої прискорюючої різниці потенціалів, при якій спостерігатиметься інтерференційний максимум для кута відбивання .
17.48. Пучок електронів з енергією падає на поверхню кристалічної ґратки. Для кута ковзання пучка спостерігається максимальне відбивання. Знайти міжплощинну відстань кристалічної ґратки.