РОЗДІЛ 14.
ТЕПЛОВЕ ВИПРОМІНЮВАННЯ
Енергетична світність (інтегральна випромінювальна здатність) абсолютно чорного тіла ( закон Стефана-Больцмана):
,
де  – температура за шкалою Кельвіна;  – стала Стефана-Больцмана.
Якщо тіло не є абсолютно чорним, тоді:
,
де  – коефіцієнт чорноти, який завжди менший за одиницю.
Закон зміщення Віна (перший закон):
,
де  –  довжина хвилі, при якій спектральна густина енергетичної світності абсолютно чорного тіла є максимальною;  – стала Віна.
Максимальна спектральна густина енергетичної світності абсолютно чорного тіла (другий закон Віна):
,
де  – стала Віна.
Приклади розв’язування задач
Задача 1. Визначити температуру абсолютно чорного тіла, якщо інтегральна випромінювальна здатність тіла при цій температурі .
Дано:




Т = ?

Розв’язування
Виходячи із закону Стефана-Больцмана
,
знаходимо:
.
Підставивши числові значення в кінцеву формулу, отримуємо:
.
Задача 2. Максимум спектральної густини випромінювальної здатності Сонця припадає на довжину хвилі 500 нм. Приймаючи Сонце за абсолютно чорне тіло визначити: 1) його енергетичну світність; 2) масу фотонів, що випромінює Сонце за 1 с.
Дано:
500 нм
 1 с



 = ? = ?

Розв’язування
Визначимо енергетичну світність Сонця за формулою Стефана-Больцмана:
. (1)
Температуру випромінюючої поверхні визначаємо із закону зміщення Віна:
. (2)
Виразивши з (2) температуру і підставивши її в (1) отримаємо:
. (3)
Підставивши в (3) числові значення отримаємо:
.
Масу фотонів, що випромінює Сонце за 1 с, визначимо, застосувавши співвідношення:
, (4)
З іншого боку,
. (5)
З виразів (4) і (5) отримаємо:
, (6)
або
, (7)
де – радіус Сонця.
Підставивши в (7) числові дані, отримаємо:
.
14.1. Визначити температуру печі, якщо відомо, що із отвору в ній площею 6,1 cм2 за 1 с випромінюється 34,7 Дж енергії. Випромінювання вважати близьким до випромінювання абсолютно чорного тіла.
14.2. Яку кількість енергії випромінює Сонце за 1 хв ? Випромінювання Сонця вважати близьким до випромінювання абсолютно чорного тіла. Прийняти, що температура поверхні Сонця становить 5800 К.
14.3. Яка кількість енергії випромінюється за 1 с з 1 см2 поверхні свинцю, що застигає ? Відношення енергетичних світностей свинцю та абсолютно чорного тіла для цієї температури вважати рівним 0,6.
14.4. Потужність випромінювання абсолютно чорного тіла становить 34 кВт. Визначити температуру цього тіла, якщо відомо, що площа його поверхні становить 0,6 м2.
14.5. Розжарена металева поверхня, площа якої 10 см2 за 1 хв випромінює 4·104 Дж енергії. Температура поверхні становить 2500 К. Визначити: 1) енергію випромінювання поверхнею, якщо б вона була абсолютно чорною; 2) визначити відношення енергетичних світностей цієї металевої поверхні та абсолютно чорного тіла при даній температурі.
14.6. Діаметр вольфрамової спіралі в електричній лампі становить 0,3 мм, довжина спіралі 5 см. При включенні лампи в мережу з напругою 127 В через неї тече струм 0,31 А. Визначити температуру спіралі. Вважати, що при встановленні рівноваги вся енергія втрачається в результаті випромінювання. Відношення енергетичних світностей вольфраму та абсолютно чорного тіла для цієї температури вважати 0,31.
14.7. Температура вольфрамової спіралі 25 - ватної електричної лампи дорівнює 2450 К. Відношення енергетичної світності вольфраму до світності абсолютно чорного тіла при даній температурі становить 0,3. Визначити площу випромінюючої поверхні вольфрамової спіралі.
14.8. Визначити сонячну сталу, тобто кількість променистої енергії, що посилає Сонце щосекунди через площу 1 м2, яка перпендикулярна до сонячних променів і знаходиться на такій же відстані від нього як і Земля. Вважати, що температура поверхні Сонця становить 5800 К. Випромінювання Сонця вважати близьким до випромінювання абсолютно чорного тіла.
14.9. Вважаючи, що атмосфера поглинає 10 % променистої енергії, яку надсилає Сонце, визначити потужність, яку отримує від Сонця горизонтальна ділянка Землі площею 0,5 га. Висота Сонця над горизонтом становить 30º. Випромінювання Сонця вважати близьким до випромінювання абсолютно чорного тіла.
14.10. Визначити сонячну сталу, тобто кількість променевої енергії, що потрапляє від Сонця щосекунди на 1 м2 поверхні Марсу, перпендикулярну до сонячних променів. Відстань від Сонця до Марса дорівнює 2278·1011 м. Випромінювання Сонця вважати близьким до випромінювання абсолютно чорного тіла.
14.11. Яку кількість енергії з 1 см2 поверхні за 1 с випромінює абсолютно чорне тіло, якщо відомо, що максимальна спектральна густина його енергетичної світності припадає на довжину хвилі 484 нм?
14.12. Потужність випромінювання абсолютно чорного тіла становить 10 кВт. Визначити площу випромінюючої поверхні тіла, якщо відомо, що довжина хвилі, на яку припадає максимум спектральної густини його енергетичної світності, становить 700 нм.
14.13. В яких ділянках спектру лежать довжини хвиль, які відповідають максимуму спектральної густини енергетичної світності, якщо джерелами світла є: 1) спіраль електричної лампи (Т = 3000 К); 2) поверхня Сонця (Т = 6000 К); 3) атомна бомба, в момент вибуху якої температура становить 1·109 К ? Випромінювання вважати близьким до випромінювання абсолютно чорного тіла.
14.14. При нагріванні абсолютно чорного тіла довжина хвилі, на яку припадає максимум спектральної густини енергетичної світності, зменшилась з 690 нм до 500 нм. У скільки разів при цьому збільшилась енергетична світність тіла?
14.15. На яку довжину хвилі припадає максимум спектральної густини енергетичної світності абсолютно чорного тіла, що має температуру, яка дорівнює температурі 37 ºС?
14.16. Температура абсолютно чорного тіла при нагріванні змінилась від 1000 до 3000 К. У скільки раз при цьому змінилась енергетична світність? На скільки при цьому змінилась довжина хвилі, на котру припадає максимум спектральної густини енергетичної світності? У скільки разів збільшилась його максимальна спектральна густина енергетичної світності?
14.17. Абсолютно чорне тіло мало температуру Т1 = 2900 К. Внаслідок остигання тіла довжина хвилі, на яку припадає максимум спектральної густини енергетичної світності, змінилась на 9 мкм. До якої температури охололо тіло ?
14.18. Поверхня тіла нагріта до 1000 К. Одну половину цієї поверхні нагрівають на 100 К, а друга охолоджується на 100 К. У скільки раз зміниться енергетична світність поверхні цього тіла?
14.19. Яку потужність необхідно підводити до зачорненої металевої кульки радіусом 2 см, щоб підтримувати її температуру на 27 К вищою від температури оточуючого середовища? Температура оточуючого середовища становить 20 ºС. Вважати, що тепло втрачається тільки внаслідок випромінювання.
14.20. Зачорнена кулька остигає від 27 до 20 ºС. На скільки змінилась довжина хвилі, яка відповідає максимуму спектральної густини її енергетичної світності?
14.21. Визначити, на скільки зменшиться маса Сонця за рік внаслідок випромінювання. Приймаючи випромінювання Сонця сталим, визначити, за який час його маса зменшиться вдвоє. Температуру поверхні Сонця прийняти рівною 5800 К.
14.22. Випромінювання Сонця за своїм спектральним складом близьке до випромінювання абсолютно чорного тіла, для якого максимум інтегральної випромінювальної здатності припадає на довжину хвилі 0,48 мкм. Визначити, яку масу щосекунди втрачає Сонце за рахунок випромінювання. Визначити час, за який Сонце втратить 1% своєї маси.
14.23. Тонкостінна вольфрамова куля, товщина стінки якої 1 мм, нагріта до температури 2400 К і охолоджується внаслідок теплового випромінювання у вакуум. Визначити температуру кулі через 10 хв, а також наскільки зміниться довжина хвилі, що відповідає максимуму його інтегральної випромінювальної здатності.
14.24. Дано два абсолютно чорних джерела теплового випромінювання. Температура одного з них 2500 К. Визначити температуру другого джерела, якщо довжина хвилі, що відповідає максимуму його інтегральної випромінювальної здатності, на 0,50 мкм більша від довжини хвилі, яка відповідає максимуму випромінюючої здатності першого джерела.
14.25. Енергетична світність абсолютно чорного тіла 3 Вт/см2. Визначити довжину хвилі, що відповідає максимуму інтегральної випромінювальної здатності цього тіла.
14.26. Визначити температуру, при якій енергетична світність абсолютно чорного тіла становить 10 кВт/м2.
14.27. Потік енергії, котрий випромінюється із отвору плавильної печі, становить 64 Вт. Визначити температуру печі, якщо площа отвору 8 см2.
14.28. Визначити енергію, що випромінюється за 1 хв з отвору площею отвору 8 см2 плавильної печі, якщо її температура 1200 К.
14.29. Температура верхніх шарів зірки Сіріус становить 1000 К. Визначити потік енергії, що випромінюється з площі 1 км2 цієї зірки. Зірку вважати абсолютно чорним тілом.
14.30. Визначити відносне збільшення  у відсотках енергетичної світності абсолютно чорного тіла при збільшенні його температури на 1%.
14.31. У скільки раз необхідно збільшити температуру абсолютно чорного тіла, щоб інтегральна випромінювальна здатність зросла у два рази?
14.32. Прийнявши коефіцієнт чорноти вугілля , при температурі 600 К, визначити: 1) енергетичну світність вугілля; 2) енергію, що випромінюється з поверхні площею 5 см2 за час 10 хв.
14.33. З поверхні сажі, площею 2 см2 при температурі 400 К за 5 хв, випромінюється 83 Дж енергії. Визначити коефіцієнт чорноти сажі.
14.34. Муфельна піч споживає потужність 1 кВт. Температура її внутрішньої поверхні, при відкритому отворі площею 25 см2, становить 1200 К. Вважаючи, що отвір печі випромінює як абсолютно чорне тіло, визначити потужність, що розсіюється стінками печі.
14.35. Прийнявши, що Земля випромінює як сіре тіло з температурою 280 К, визначити коефіцієнт чорноти , якщо інтегральна випромінювальна здатність її поверхні 325 кДж/м2·год.
14.36. Кулька, радіус якої 10 см, при постійній температурі випромінює за секунду 1 кДж енергії. Визначити температуру кульки, якщо вважати її сірим тілом з коефіцієнтом чорноти .
14.37. На яку довжину хвилі припадає максимум енергетичної світності абсолютно чорного тіла при температурі 0 ºС?
14.38. Визначити температуру абсолютно чорного тіла, при якій максимум енергетичної світності припадає на: 1) червону межу видимого спектру (750 нм); 2) фіолетову (380 нм).
14.39. Максимум спектральної густини енергетичної світності яскравої зірки припадає на довжину хвилі 580 нм. Приймаючи, що зірка випромінює як абсолютно чорне тіло, визначити температуру поверхні зірки.
14.40. Внаслідок зміни температури абсолютно чорного тіла максимум спектральної густини енергетичної світності змінився з 2,4 мкм на 0,8 мкм. У скільки раз змінилась енергетична світність тіла та максимальна спектральна густина енергетичної світності?
14.41. При збільшенні температури абсолютно чорного тіла у два рази довжина хвилі, на яку припадає максимум спектральної густини світності, зменшилась на 400 нм. Визначити початкову та кінцеву температури.
14.42. Максимальна спектральна густина світності абсолютно чорного тіла становить . На яку довжину хвилі вона припадає?