2. Шар и сфера.
2.1. Шар и шаровая поверхность.
EMBED Equation.3 Шаровой или сферической поверхностью называется геометрическое место точек пространства, удаленных от данной точки О (центра) на заданное расстояние R (радиус). Все пространство по отношению к данной шаровой поверхности разбивается на внутреннюю область (куда можно присоединить и точки самой поверхности) и внешнюю. Первая из этих областей называется шаром. Итак, шар — геометрическое место всех точек, удаленных от заданной точки О (центра) на расстояние, не превышающее данной величины R (радиуса). Шаровая поверхность является границей, отделяющей шар от окружающего пространства.
Шаровую поверхность и шар можно получить также, вращая окружность (круг) вокруг одного из диаметров.
Рассмотрим окружность с центром О и радиусом R (рис. 1), лежащую в плоскости Я. Будем вращать ее вокруг диаметра АВ. Тогда каждая из точек окружности, например М, в свою очередь опишет при вращении окружность, имеющую своим центром точку М0—проекцию вращающейся точки М на ось вращения АВ. Плоскость этой окружности перпендикулярна к оси вращения. Радиус ОМ, ведущий из центра исходной окружности в точку М, будет сохранять свою величину во все время вращения, и потому точка М все время будет находиться на сферической поверхности с центром О и радиусом R. Шаровая поверхность может быть получена вращением окружности вокруг любого из ее диаметров.
Сам шар как тело получается вращением круга; ясно, что для получения всего шара достаточно вращать полукруг около ограничивающего его диаметра.
2.2. Взаимное расположение шара и плоскости.
EMBED Equation.3 Исследуем вопрос о взаимном расположении шара и плоскости. Для этого, имея некоторый шар и плоскость EMBED Equation.3 , опустим из центра шара перпендикуляр на плоскость. Если основание этого перпендикуляра М0 окажется вне шара (рис. 2), то остальные точки плоскости и подавно будут лежать вне шара, так как они еще больше удалены от центра, чем основание перпендикуляра. В этом случае плоскость не имеет общих точек с шаром, она его не пересекает. Если основание перпендикуляра окажется на шаровой поверхности (рис. 3), то остальные точки плоскости, как и в предыдущем случае, будут лежать вне шара. Плоскость будет иметь одну общую точку с
поверхностью; такая плоскость называется касательной к шару. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к касательной плоскости.
EMBED Equation.3 Действительно, если плоскость имеет с поверхностью шара единственную общую течку, то эта точка ближайшая к центру шара по сравнению с остальными точками плоскости и потому служит основанием перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость.
EMBED Equation.3 Если, наконец, основание перпендикуляра М0 окажется внутри шара (рис. 4), то плоскость будет пересекать поверхность шара, так как часть ее окажется внутри шара, а часть — вне. Исследуем линию пересечения такой плоскости с шаровой поверхностью. Пусть расстояние ее от центра шара равно d, d<R. Тогда оказывается, что линия пересечения плоскости с поверхностью шара является окружностью с центром в точке М0 и радиусом, равным EMBED Equation.3 . Для доказательства проведем через М0 произвольный луч М0М, лежащий в секущей плоскости. Выходя из внутренней области шара во внешнюю, он пересечет поверхность шара в некоторой точке М. Рассмотрим треугольник ОМ0М с прямым углом при вершине М0. Катет М0М по теореме Пифагора будет равен EMBED Equation.3 . Впрочем, постоянство длины отрезка независимо от направления луча М0М в данной плоскости видно и без применения теоремы Пифагора (пользуемся равенством прямоугольных треугольников, имеющих общие катеты и равные гипотенузы). Теперь видно, что все точки пересечения плоскости EMBED Equation.3 , с поверхностью шара лежат на одной окружности с центром М0 и радиусом, равным EMBED Equation.3 . Напротив, любая точка этой окружности удалена от центра шара на расстояние, равное EMBED Equation.3 , и потому лежит на поверхности шара (равно как и в плоскости EMBED Equation.3 ) и, значит, принадлежит рассматриваемой линии пересечения. Из этого видно, что линия пересечения - полная окружность, а не какая-либо часть ее.
Итак, если длина перпендикуляра, опущенного из центра О шара радиуса R на данную плоскость, равна d, то:
при d>R плоскость не пересекает шара;
при d = R плоскость касается шара в одной точке, радиус,проведенный в точку касания, перпендикулярен к плоскости;
при d<R плоскость пересекает шар по окружности, центром которой служит основание перпендикуляра, опущенного из
центра шара на плоскость, а радиус равен EMBED Equation.3 .
В частности, плоскость, проходящая через центр шара, пересекает его по окружности максимально возможного радиуса, равного радиусу шара R. Такие сечения шара плоскостями, проходящими через его центр, называются большими кругами шара.
Для наглядности вышеизложенного материала я предлагаю решить две небольшие задачи.
Задача 1. Два сечения шара радиуса 10 см параллельными плоскостями имеют радиусы, равные 6 еж и 8 см. Найти расстояние между секущими плоскостями.
Решение. Находим расстояние каждой из параллельных плоскостей до центра шара:
EMBED Equation.3
в зависимости от того, лежит ли центр шара между плоскостями или нет, получаем два различных ответа к задаче:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Задача 2. Расстояние между центрами двух шаров равно d; радиусы их R1 и R2. Найти радиус окружности, по которой они пересекаются.
EMBED Equation.3 Решение. Искомый радиус служит высотой треугольника OMO1 (рис. 5). Площадь S треугольника ОМО2 находится по трем сторонам 001 = d, R1 R2 и искомый радиус равен r=2S/d. Прямая линия также может занимать по отношению к шару три существенно различных положения. Именно, она может пересечь поверхность шара в двух различных точках, не пересекать ее или иметь с ней одну общую точку. В последнем случае она будет называться касательной к шару.
2.3. Принцип Кавальери. Нахождение объёма шара с помощью принципа Кавальери.
В Европе XVII-ХVIII веков и, прежде всего, в экономически развитых государствах, укреплялся новый общественный строй - капитализм. Составной частью этого процесса была техническая революция - переход от мануфактурной промышленности к фабричной и, как следствие, серия изобретений, среди которых - создание паровой машины. Стремительное развитие математики в эту эпоху было обусловлено также усовершенствованием машин для предприятий, изобретением огнестрельного оружия и книгопечатания, постройкой судов для океанского плавания. Возникла необходимость теоретического и научного изучения движения, изменения вообще.
Открытия в астрономии, связанные с именами Н. Коперника и И. Кеплера, позволили по-новому взглянуть на место человека во Вселенной и его умение рациональным образом объяснить астрономические явления. Законы небесной механики дали возможность дополнить законы Земли.
И. Кеплер практически всю свою жизнь посвятил изучению, развитию и пропаганде гелиоцентрической системы Коперника. Анализируя огромный материал астрономических наблюдений, он в 1609-1619 гг. открыл три закона движения планет, носящие его имя, среди которых закон, связанный с площадью сектора.
Задача вычисления секториальных площадей требовала умения пользоваться бесконечно малыми величинами. Этих знаний недоставало и для решения других задач практического характера. Круг, в представлении Кеплера, состоял из бесконечно большого числа треугольников с общей вершиной в центре, а шар - из бесконечно большого числа утончающихся пирамид с вершинами в его центре. Книга ученого «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) произвела большое впечатление на читателей, так как в ней был описан доступный метод определения объема 93 различных тел вращения (бочек). Каждому из них он дал оригинальное название: лимон, груша, чалма и т. п. Кеплер заменял неизвестный объем известным путем деления данного тела на сколь угодно малые части и образования из них нового тела (быть может, путем деформации), объем которого можно найти. Доказательства были нестрогими, и это вызывало много споров у математиков. Как видим, Кеплер получил новый результат весьма простым приемом. «Стереометрия винных бочек» - первая работа того времени, вводящая в геометрию бесконечно малые величины и принципы интегрального исчисления, хотя, как говорил сам ученый во введении к этой книге, поводом и целью написания труда первоначально явился частный и практический вопрос об измерении объема винных бочек с помощью одного промера их поперечной длины. Интерес математиков сосредотачивался главным образом на общих принципах определения объемов тел вращения с помощью бесконечно малых величин.
Среди таких математиков был итальянский монах Бонавентура Кавальери (1598-1647). Он занимал кафедру математики в Болонском университете. В переписке с астрономом и математиком Г. Галилеем они обсуждали разнообразные механические и математические проблемы, и в частности метод «неделимых». Галилей собирался, но так и не написал книгу об этом методе, зато у Кавальери в 1635 г. вышла книга «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых частей непрерывных величин». При вычислении площадей многоугольников бывает полезно преобразовывать фигуры, не меняя их площадей, например, разрезать на части и составлять новые (так называемые равносоставленные фигуры). Так можно преобразовать друг в друга треугольники с равными основаниями и высотами. Можно ли аналогичным образом преобразовывать криволинейные фигуры? Кавальери представляет их себе состоящими из бесконечно тонких параллельных плоских слоев - «неделимых» или «нитей» и утверждает, что площадь не меняется при сдвигах этих слоев друг относительно друга. Иначе, принцип Кавальери состоит в том, что если пересечь фигуру семейством всех прямых, параллельных заданной, то длины пересечений полностью определят площадь фигуры. В частности, если у двух фигур эти длины совпадают, то они равновелики. Строгого обоснования своего принципа Кавальери не дал, но рассмотрел его многочисленные применения. Например, на основе этого принципа легко получается равновеликость треугольников с равными основаниями и высотами.
Одно из самых удивительных применений принципа Кавальери принадлежит французскому математику Ж. Робервалю (1602-1675), который нашел площадь сегмента, ограниченного одной аркой циклоиды.
Еще более эффективен принцип Кавальери при нахождении объемов тел. Он состоит в том, что объем тела определяется площадями его пересечений «всеми плоскостями», параллельными некоторой заданной.
Однако интегральное исчисление содержит общие методы для вычисления площадей и объемов, причем там, где применение принципа Кавальери требовало нестандартных построений, к успеху приводят стандартные вычисления, и постепенно принцип Кавальери отошел в область истории. Но поскольку по принципу Кавальери легко вычисляются все «школьные» объемы и площади, неоднократно предлагалось принять принцип Кавальери в школьной геометрии за аксиому.
Видный советский ученый, историк математики, профессор Д. Д. Мордухай-Болтовский (1876—1952), которому принадлежит самый совершенный русский перевод «Начал» Евклида с обстоятельными комментариями, дал интересный вывод формулы объема шара на основе принципа Кавальери.
Вот это доказательство.
Поместим между двумя параллельными плоскостями полусферу АВС и цилиндр A'B'C'D' (рис. 6) с основанием того же радиуса R, что и шар, и с высотой, равной радиусу, с входящим в него конусом C'D'O', который имеет своим основанием верхнее основание цилиндра, а вершиной — центр нижнего основания.
EMBED Equation.3 На основании принципа Кавальери мы вправе сделать заключение, что объем шара равен объему тела, получаемого вырезыванием конуса из цилиндра. В самом деле, легко видеть, что круг ab, полученный в сечении сферы плоскостью EMBED Equation.3 , равновелик с кольцом a'c'd'b', получаемым в сечении вышеуказанного тела той же самой плоскостью. Действительно, на основании теоремы Пифагора в полусфере
EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 , (2.3.1)
и, следовательно, площадь сечения ab равна
EMBED Equation.3 ; (2.3.2)
с другой стороны, площадь круга а'b'
EMBED Equation.3 (2.3.3)
а так как, очевидно, радиус круга c'd' равен k, то площадь круга c'd'
EMBED Equation.3 (2.3.4)
Следовательно, площадь кольца a'c'd'b' равна
EMBED Equation.3 (2.3.5)
Замечая далее, что объем цилиндра равен EMBED Equation.3 , а объем конуса EMBED Equation.3 , мы получаем для объема полусферы величину EMBED Equation.3 , а для объема всей сферы
EMBED Equation.3 (2.3.6)
2.4. Интегральное исчисление. Понятие интеграла.
Мы с вами познакомились с принципом Кавальери, который довольно близок к другому методу нахождения объёмов тел – методу интегрирования. Этот метод основывается, как уже можно было догадаться, на интегральном исчислении.
Интегральное исчисление возникло из потребности создать общий метод разыскания площадей, объемов и центров тяжести.
В зародышевой форме такой метод применялся еще Архимедом. Систематическое развитие он получил в 17-м веке в работах Кавальери, Торричелли, Ферма, Паскаля и других ученых. В 1659 г. Барроу установил связь между задачей о разыскании площади и задачей о разыскании касательной. Ньютон и Лейбниц в 70-х годах 17-го века отвлекли эту связь от упомянутых частных геометрических задач. Тем самым была установлена связь между интегральным и дифференциальным исчислением.
Эта связь была использована Ньютоном, Лейбницем и их учениками для развития техники интегрирования. Своего нынешнего состояния методы интегрирования в основном достигли в работах Л. Эйлера. Труды М. В. Остроградского и П. Л. Чебышева завершили развитие этих методов.
С моей точки зрения будет полезно ввести понятие интеграла, так как для рассмотрения такого вопроса, как объём тела, не только шара или сферы, очень часто используется интеграл.
Понятие об интеграле.
Пусть линия MN (рис.7) дана уравнением
EMBED Equation.3 ,
и надо найти площадь «криволинейной трапеции» aABb.
EMBED Equation.3 Разделим отрезок ab на n частей EMBED Equation.3 (равных или неравных) и построим ступенчатую фигуру, показанную штриховкой на рис.7. Её площадь равна
EMBED Equation.3 (2.4.1)
Если ввести обозначения
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (2.4.2)
то формула 1 имеет вид EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (2.4.3)
Искомая площадь есть предел суммы (3) при бесконечно большём n. Лейбниц ввел для этого предела обозначение
EMBED Equation.3 (2.4.4)
в котором EMBED Equation.3 (курсивное s) — начальная буква слова summa (сумма), а выражение уdx указывает типичную форму отдельных слагаемых.
Выражение EMBED Equation.3 Лейбниц стал называть интегралом — от латинского слова integralis — целостный») Фурье усовершенствовал обозначение Лейбница, придав ему вид
EMBED Equation.3 (2.4.5)
Здесь явно указаны начальное и конечное значения x. Теперь понятно, что интеграл используется для того, чтобы освободить нас от некоторых громоздких вычислений (порой, как в данном примере, весьма и весьма однообразных, а также требующих огромного внимания, т.к. даже малейшая неточность может повлечь за собой существенные расхождения с правильным ответом), а так же по ряду других причин, углубляться в которые сейчас нет никакого смысла.
2.5. Вычисление объёмов тел с помощью интеграла.
Рассмотрим способ вычисления объемов тел, основанный на понятии интеграла, которое известно из курса алгебры и начал анализа.
EMBED Equation.3 Пусть тело Т, объем которого нужно вычислить, заключено между двумя параллельными плоскостями EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 (рис. 8). Введем систему координат так, чтобы ось Ох была перпендикулярна к плоскостям EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , и обозначим буквами а и Ь абсциссы точек пересечения оси Ох с этими плоскостями (а<b). Будем считать, что тело таково, что его сечение Ф(х) плоскостью, проходящей через точку с абсциссой х и перпендикулярной к оси Ох, является либо кругом, либо многоугольником для любого EMBED Equation.3 (при х = а и х = b сечение может вырождаться в точку, как, например, (при х=а на рисунке 8). Обозначим площадь фигуры Ф(х) через S(х) и предположим, что S(х) — непрерывная функция на числовом отрезке [а; b]. Разобьем числовой отрезок [а;b] на п равных отрезков точками EMBED Equation.3 и через точки с EMBED Equation.3 абсциссами EMBED Equation.3 проведем плоскости,
перпендикулярные к оси Ох (рис. 9). Эти плоскости разбивают тело Т на п тел: EMBED Equation.3 . Если сечение EMBED Equation.3 — круг, то объем тела EMBED Equation.3 (заштрихованного на рисунке 9) приближенно равен объему цилиндра с основанием EMBED Equation.3 и высотой EMBED Equation.3 . Если EMBED Equation.3 — многоугольник, то объем тела EMBED Equation.3 приближенно равен объему прямой призмы с основанием EMBED Equation.3 и высотой EMBED Equation.3 . И в том и в другом случае объем тела EMBED Equation.3 приближенно равен EMBED Equation.3 , а объем V всего тела T можно приближенно вычислить по формуле
EMBED Equation.3 (2.5.1)
Приближенное значение EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 объема тела Т тем точнее, чем больше п и, следовательно, меньше EMBED Equation.3 . Примем без доказательства, что EMBED Equation.3 равен объему тела, т.е. EMBED Equation.3 . С другой стороны,
сумма Vn является интегральной суммой для непрерывной функции S(х) на числовом отрезке [а;b], поэтому EMBED Equation.3 .
Таким образом, мы получили формулу для вычисления объема
тела с помощью интеграла:
EMBED Equation.3 . (2.5.2)
Назовем ее основной формулой для вычисления объемов тел.
2.6. Объём шара.
После столь длительных подготовок, мы, основываясь на теоретических знаниях изложенных выше, можем приступить к доказательству теоремы о вычислении объёма шара с помощью определённого интеграла.
Теорема. Объём шара радиуса R равен EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 Доказательство. Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом (рис. 10). Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х — абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим:
EMBED Equation.3 . (2.6.1)
Так как EMBED Equation.3 , то
EMBED Equation.3 . (2.6.2)
Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т. е. Для всех х, удовлетворяющих условию EMBED Equation.3 . Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , получим
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 (2.6.3)
Теорема доказана.
2.7. Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью (рис. 11). Всякая плоскость, пересекающая шар, разбивает его на два сегмента. Объем шарового сегмента находится при помощи тех же рассуждений из рис. 11, стоит лишь веять не все тело («цилиндр без конуса»), а его часть, отсеченную плоскостью, параллельной основанию. Рассмотрим, например, шаровой сегмент, лежащий выше секущей плоскости, проведенной на высоте х от плоскости основания полушара, т.е. на расстоянии EMBED Equation.3 от верхней точки полушара. Величина h называется стрелкой сегмента. Искомый объем будет равен разности объемов цилиндра радиуса R с высотой h и усеченного конуса; так как радиус малого основания конуса равен EMBED Equation.3 , то получаем для объема сегмента
EMBED Equation.3 . (2.7.1)
Раскрывая скобки и упрощая выражение, приведем его к виду
EMBED Equation.3 . (2.7.2)
Эта формула выведена для сегмента, стрелка которого не превосходит радиуса шара. Она остается верна и для сегмента c любой стрелкой EMBED Equation.3 . Пусть сегмент со стрелкой EMBED Equation.3 - дополнительный к сегменту со стрелкой EMBED Equation.3 . Вычислим его объём как разность объёмов шара и сегмента со стрелкой h:
EMBED Equation.3 . (2.7.3)
Заменим здесь h через 2R-h1:
EMBED Equation.3 . (2.7.4)
Раскрывая скобки и производя упрощения, получим
EMBED Equation.3 , (2.7.5)
т.е. такую же формулу, что и раньше.
Интересен вывод формулы объёма шарового сегмента с помощью определённого интеграла.
EMBED Equation.3 Если радиус шара равен R, а высота сегмента равна h ( на рисунке 12 h=AB), то V шарового сегмента вычисляется по формуле
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (2.7.6)
EMBED Equation.3 Действительно, проведём ось Ox перпендикулярно к плоскости EMBED Equation.3 (рис. 12). Тогда площадь S(x) произвольного сечения шарового сегмента плоскостью, перпендикулярной к оси Ox, выражается формулой (1) при EMBED Equation.3 . Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел при EMBED Equation.3 , получим
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (2.7.7)
EMBED Equation.3 Как видите, вычисление объёмов тел с помощью интеграла даёт большой выигрыш во времени.
EMBED Equation.3 2.8. Шаровой слой. Объём шарового слоя.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями(рис. 13). Объём шарового слоя можно найти как разность объёмов двух шаровых сегментов, и запоминать отдельную формулу для его вычисления нет надобности.
2.9. Шаровой сектор. Объём шарового сектора.
Рассмотрим конус вращения с вершиной в центре шара (рис. 14). Часть шара, лежащая внутри такого конуса, называется шаровым сектором. Шаровой сектор разлагается на два тела: шаровой сегмент высоты h и конус высоты R-h. Шаровая поверхность пересекается с конусом по окружности. Ее радиус равен
EMBED Equation.3 . (2.8.1)
Плоскость этой окружности и разбивает сектор на две указанные части. Для объёма сектора находим, пользуясь формулами, выражающими объёмы сегмента и конуса:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Если EMBED Equation.3 - угол между осью и образующей конуса, то
EMBED Equation.3 (2.8.3)
и формула для объёма сектора примет вид
EMBED Equation.3 . (2.8.4)
Предлагается решить пару интересных задач на изложенный выше материал.
Задача 1. Найти объём сегмента, отсекаемого от шара радиуса R гранью вписанного в шар куба (при её продолжении).
Решение. Диагональ куба, вписанного в шар, является диаметром шара. Отсюда имеем для ребра куба EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 (рис. 15). Стрелка сегмента, объём которого мы должны определить, равна
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
и по формуле для объёма сегмента находим
EMBED Equation.3 .
Ответ: Vсегм= EMBED Equation.3 .
Задача 2. Найти объем шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду с ребром основания, равным а, и плоским углом при вершине, равным а (рис. 16).
EMBED Equation.3 Решение. В этой, как и в других аналогичных задачах, полезно использовать общее замечание, относящееся к вычислению радиуса шара, вписанного в выпуклый многогранник (т. е. касающегося каждой из граней). Представим себе, что в центре шара мы поместим вершину ряда пирамид, основаниями которых будут грани многогранника. Радиус шара будет служить высотой каждой из этих пирамид. Тогда объем многогранника V можно вычислить как сумму объемов указанных пирамид; объем каждой из них будет равен одной трети произведения ее высоты (т. е. радиуса вписанного в многогранник шара) на площадь ее основания (т. е. на площадь соответствующей грани многогранника). Сумма объемов пирамид будет равна одной трети произведения радиуса вписанного шара на полную поверхность многогранника: EMBED Equation.3 . В нашем случае площадь основания пирамиды (рис. 16)
EMBED Equation.3 ;
площадь одной из боковых граней
EMBED Equation.3 ;
полная площадь поверхности пирамиды
EMBED Equation.3 .
Высота пирамиды MM0, как катет треугольника MM0K, равна
EMBED Equation.3 .
Объём пирамиды
EMBED Equation.3 .
Для радиуса вписанного шара находим
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .
Ответ: EMBED Equation.3 .
2.10. Площадь поверхности шара.
Здесь даётся очень простой, хотя и не совсем строгий вывод формулы для площади сферической поверхности; по своей идее он очень близок к методам интегрального исчисления. Итак, пусть дан некоторый шар радиуса R. Выделим на его поверхности какую-либо малую область (рис. 17) и рассмотрим пирамиду или конус с вершиной в центре шара О, имеющие эту область своим основанием; строго говоря, мы лишь условно говорим о конусе или пирамиде, так как основание не EMBED Equation.3 плоское, а сферическое. Но при малых размерах основания по сравнению с радиусом шара оно будет весьма мало отличаться от плоского (так, на пример, при измерении не очень большого земельного участка пренебрегают тем, что он лежит не на плоскости, а на сфере). Тогда, обозначая через EMBED Equation.3 площадь этого участка—основание «пирамиды», найдем ее объем как произведение одной трети высоты на площадь основания (высотой служит радиус шара):
EMBED Equation.3 . (2.10.1)
Если теперь всю поверхность шара разложить на очень большое число N таких малых областей EMBED Equation.3 , тем самым объем шара—на N объемов «пирамид», имеющих эти области своими основаниями, то весь объем представится суммой
EMBED Equation.3 , (2.10.2)
где последняя сумма равна полной поверхности шара:
EMBED Equation.3 . (2.10.3)
Итак, объем шара равен одной трети произведения его радиуса на площадь поверхности. Отсюда для площади поверхности имеем формулу
EMBED Equation.3 , (1.10.4) или EMBED Equation.3 . (2.10.5)
Последний результат формулируется так:
Площадь поверхности шара равна учетверенной площади его большого круга.
2.11. Площадь поверхности сектора шара.
Приведенный вывод пригоден и для площади поверхности сектора шара (имеем в виду только основание, т. е. Сферическую поверхность, или «шапочки»; см. рис. 14). И в этом случае объем сектора равен одной трети произведения радиуса шара на площадь его сферического основания:
EMBED Equation.3 , (2.11.1)
откуда находим для площади шапочки формулу
EMBED Equation.3 . (2.11.2)
2.12. Площадь поверхности шарового пояса.
Шаровым поясом (см. рис. 13) называют сферическую поверхность шарового слоя. Чтобы вычислить площадь поверхности шарового пояса, находим разность поверхностей двух сферических шапочек:
EMBED Equation.3 , (2.12.1)
или
EMBED Equation.3 , (2.12.2)
где h—высота слоя. Итак, площадь поверхности шарового пояса для данного шара зависит только от высоты соответствующего слоя, но не от его положения на шаре.
Как и при изучении предыдущего материала, я хочу показать одну задачу на данную тему.
Задача. Боковая поверхность конуса, описанного вокруг шара, имеет площадь, равную полуторной площади поверхности шара. Найти высоту конуса, если
радиус шара равен EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3
Решение. Введем для удобства угол а между высотой и образующей конуса (рис. 18). Найдем для высоты, радиуса основания и образующей конуса выражения
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Площадь боковой поверхности конуса равна
EMBED Equation.3 .
По условию задачи имеем уравнение
EMBED Equation.3 ,
откуда для EMBED Equation.3 получается квадратное уравнение
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ;
решая его, имеем для EMBED Equation.3 два значения:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
которым отвечают два условия поставленной задачи:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Ответ: EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
3.Задачи.
3.1 Задачи на поверхности.
Задача №1.
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a, а боковое ребро равно 2a. Найдите радиусы вписанной и описанной сфер.
Решение:
SO – высота пирамиды; SO=h.
EMBED Equation.3 Пусть O – центр основания пирамиды, M – середина BC, AM – высота в EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 .
Центры обеих сфер лежат на прямой SO, SO EMBED Equation.3 плоскости ABC. Найдём R – радиус описанной сферы. Продолжим SO до пересечения с описанной сферой в точке D. SD – диаметр шара, EMBED Equation.3 . Из подобия треугольников EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Проведём отрезок SM.
Из EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 , поэтому из EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Найдём радиус r вписанной сферы.
Пусть Q – центр вписанного шара, тогда в EMBED Equation.3 QM – биссектриса EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 .
По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3
Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача №2.
В правильной четырёхугольной пирамиде радиусы вписанной и описанной сфер равны 2 см и 5 см. Найдите сторону основания и высоту пирамиды.
Решение:
EMBED Equation.3 Продолжим высоту пирамиды PH до пересечения со сферой в точке Q. PQ – диаметр, центр описанной сферы лежит на высоте PH, или на её продолжении за точку H. Соединим отрезком точку A с точкой H. Рассмотрим сечение плоскостью APQ.
EMBED Equation.3 как опирающийся на диаметр, EMBED Equation.3
Пусть a – сторона основания, тогда EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 Тогда EMBED Equation.3 .
Проведём EMBED Equation.3 , отрезок PL. EMBED Equation.3 , плоскость EMBED Equation.3 плоскости EMBED Equation.3 . Пусть O – центр вписанной сферы, EMBED Equation.3 - биссектриса EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 .
Пусть EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
Из EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 Решим систему:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Разделим обе части на EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3
Ответ: EMBED Equation.3 см; 8 см или 6 см, EMBED Equation.3 см.
EMBED Equation.3 3.2 Задачи на объёмы тел.
Задача №3
В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник с диагональю 10 см. Какое боковое ребро составляет с основанием угол EMBED Equation.3 . Найдите площадь поверхности и объём шара.
Решение:
EMBED Equation.3 Проведём высоту пирамиды MF; проведём отрезки
FA, FB, FC, FD.
EMBED Equation.3 , так как они прямоугольные, MF – общий катет, EMBED Equation.3 - по условию. Таким образом, FA=FC=FB=FD, точка F равноудалена от вершин основания, то есть является центром описанной около основания окружности. Нарисуем сечение пирамиды и шара плоскостью AMC. Точка O – центр шара, EMBED Equation.3 . По теореме синусов в EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 , где R – радиус шара.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Площадь поверхности шара:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (см2).
Объём шара:
EMBED Equation.3 (см3).
Ответ: EMBED Equation.3 .
Задача №4
Цистерна имеет форму цилиндра ,к основаниям которой присоединены равные шаровые сегменты. Радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота сегмента равна 0,5 м. Какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны равнялась 50 м3?
Дано: EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 - шаровые сегменты.
Решение:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Ответ: EMBED Equation.3 м.
4. Заключение.
Итак, при прочтении и изучении данного материала вы, надеюсь, узнали о шаре и сфере несколько больше чем ранее. Проделан немалый путь: вы ознакомились с понятиями шара и сферы, увидели доказательства важных теорем, а также пронаблюдали решения некоторых интересных задач. Автору реферата будет очень приятно если эти знания смогут вам помочь в дальнейшей деятельности. При написании этой работы я узнал весьма интересные сведения: более широкое понятие шара и сферы, принцип Кавальери. Также мои знания укрепились в области работы с интегральным исчислением. Несомненно, были трудности при подборе и изучении некоторых задач. При освещении данной проблемы мне очень помогли следующие книги: Гильберт Д. Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия: Пер. с нем. – 3-е изд. – М.: Наука, 1981.- 344 с., Энциклопедия элементарной математики кн. IV, V. /Под ред. В. И.Битюукова, И. Е, Морозовой, М.: Наука, 1966.- 624 с., Александров.А.Д. и др.Геометрия для 10-11 классов6 Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики./А.Д. Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик. - 3-е изд., перераб.-М.: Просвещение, 1992.- 464с.
5. Литература.
Адамар Ж. Элементарная геометрия. – Ч.2.: Стереометрия : Пособие – 3-е изд. – М.: Учпедгиз, 1958.- 760 с.
АбрамовА.М, Виленкин Н.Я, ДорофеевГ.В, и др Избранные вопросы маиематики10 кл.: Факультативный курс./Под ред. ФирсоваВ.В/--М. : Просвещение 1980.
Александров.А.Д. и др.Геометрия для 10-11 классов6 Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики./А.Д. Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик. - 3-е изд., перераб.-М.: Просвещение, 1992.- 464с.
Атанасян Л.С. Геометрия: учебник для 10-11 классов средней школы.-М: Просвещение, 1992.- 208.
Гильберт Д. Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия: Пер. с нем. – 3-е изд. – М.: Наука, 1981.- 344 с.
Глаголев Н. А. Проективная геометрия: Учеб. Пособие. – 2 –ое изд. испр. и доп. – М.: высш. школа, 1963. – 344 с.
Давидов А. Начала тригонометрии: 3-е изд., 1885 г.
Клайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ / Под ред. И с предсл. В. И. Аршинова, Ю. В. Сачкова. – М.: Мир, 1988. – 295 с., ил.
Перепелкин Д. И. Курс элементарной геометрии. Ч II. Геометрия в пространстве: учеб. для пед. инст-ов. –М. Л.: гос. изд-во техн-теоретич. литер. 1949 г. – 333 с.
Трайнин Я. А. Основания геометрии: Пособие для пед. институтов /Под ред. Ю. И. Сорокина. – М.: гос. учеб. под-ое изд-во мин. просв. РСФСР 1961.-326 с.
Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике.-М.:Просвещение, 1995.-240 с.:
Энциклопедия элементарной математики кн. IV, V. /Под ред. В. И.Битюукова, И. Е, Морозовой, М.: Наука, 1966.- 624 с.
