1. Бэта-функции 6
Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (1.1)
сходятся при EMBED Equation.3 .Полагая EMBED Equation.3 =1 – t получим:
EMBED Equation.3 = - EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
т.e. аргумент EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 входят в EMBED Equation.3 симетрично. Принимая во внимание тождество
EMBED Equation.3
по формуле интегрирования почестям имеем
EMBED Equation.3
Откуда
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (1.2)
7
При целом b = n последовательно применяя(1.2)
Получим
EMBED Equation.3 (1.3)
при целых EMBED Equation.3 = m, EMBED Equation.3 = n,имеем
EMBED Equation.3
но B(1,1) = 1,следовательно:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Положим в (1.1) EMBED Equation.3 .Так как график функции EMBED Equation.3 симметрична относительно прямой EMBED Equation.3 ,то
EMBED Equation.3
8
и в результате подстановки EMBED Equation.3 ,получаем
EMBED Equation.3
полагая в(1.1) EMBED Equation.3 ,откуда EMBED Equation.3 ,получим
EMBED Equation.3 (1.4)
разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до EMBED Equation.3 и применение ко второму интегралу подстановки EMBED Equation.3 ,получим
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
2. Гамма-функция 9
Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода
?(a) = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (2.1)
сходящийся при EMBED Equation.3 0.Положим EMBED Equation.3 =ty,t > 0 ,имеем
?(a) = EMBED Equation.3
и после замены EMBED Equation.3 , через EMBED Equation.3 и t через 1+t ,получим
EMBED Equation.3
Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до EMBED Equation.3 , имеем:
EMBED Equation.3
или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем:
EMBED Equation.3
10
откуда
EMBED Equation.3 (2.2)
заменяя в (2,1) EMBED Equation.3 ,на EMBED Equation.3 и интегрируем по частям
EMBED Equation.3
получаем рекурентною формулу
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (2.3)
EMBED Equation.3
так как
EMBED Equation.3
но при целом EMBED Equation.3 имеем
EMBED Equation.3 (2.4)
то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При n=1 в (2.4) имеем
EMBED Equation.3
3. Производная гамма функции 11
Интеграл
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
сходится при каждом EMBED Equation.3 ,поскольку EMBED Equation.3 ,и интеграл EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 сходится.
В области EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 - произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как EMBED Equation.3 и можна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях EMBED Equation.3 является и весь интеграл EMBED Equation.3 так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом EMBED Equation.3 .Легко видеть что интеграл сходится по EMBED Equation.3 в любой области EMBED Equation.3 где EMBED Equation.3 произвольно.Действительно для всех указаных значений EMBED Equation.3 и для всех EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,и так как EMBED Equation.3 сходится, то выполнены условия признака Веерштрасса. Таким образом , в области EMBED Equation.3 интеграл EMBED Equation.3 cходится равномерно. EMBED Equation.3
Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при EMBED Equation.3 .Докажем дифференцируемость этой функции при EMBED Equation.3 .Заметим что функция EMBED Equation.3 непрерывна при EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , и покажем ,что интеграл :
EMBED Equation.3
12
сходится равномерно на каждом сегменте EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Выберем число EMBED Equation.3 так , чтобы EMBED Equation.3 ; тогда EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 .Поэтому существует число EMBED Equation.3 такое , что EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 .Но тогда на EMBED Equation.3 справедливо неравенство
EMBED Equation.3
и так как интеграл EMBED Equation.3 сходится, то интеграл EMBED Equation.3 сходится равномерно относительно EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 . Аналогично для EMBED Equation.3 существует такое число EMBED Equation.3 , что для всех EMBED Equation.3 выполняется неравенство EMBED Equation.3 . При таких EMBED Equation.3 и всех EMBED Equation.3 получим EMBED Equation.3 , откуда в силу признака сравнения следует , что интеграл EMBED Equation.3 сходится равномерно относительно EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 . Наконец , интеграл
EMBED Equation.3
в котором подынтегральная функция непрерывна в области
EMBED Equation.3 , очевидно, сходится равномерно относительно EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 . Таким образом , на EMBED Equation.3 интеграл
EMBED Equation.3
13
сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом EMBED Equation.3 и справедливо равенство
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Относительно интеграла EMBED Equation.3 можна повторить теже рассуждения и заключить, что
EMBED Equation.3
По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема при EMBED Equation.3 и для ее я EMBED Equation.3 -ой производной справедливо равенство
EMBED Equation.3
Изучим теперь поведение EMBED Equation.3 - функции и построим єскиз ее графика .
Из выражения для второй производной EMBED Equation.3 -функции видно, что EMBED Equation.3 для всех EMBED Equation.3 . Следовательно, EMBED Equation.3 возрастает. Поскольку EMBED Equation.3 , то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 , т. е. Монотонно убывает на EMBED Equation.3 и монотонно возрастает на EMBED Equation.3 . Далее , поскольку EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 . При EMBED Equation.3 из формулы EMBED Equation.3 следует , что EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 .
14
Равенство EMBED Equation.3 , справедливое при EMBED Equation.3 , можно использовать при распространении EMBED Equation.3 - функции на отрицательное значение EMBED Equation.3 .
Положим для EMBED Equation.3 , что EMBED Equation.3 . Правая часть этого равенства определена для EMBED Equation.3 из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция EMBED Equation.3 принимает на (-1,0) отрицательные значения и при EMBED Equation.3 , а также при EMBED Equation.3 функция EMBED Equation.3 .
Определив таким образом EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 , мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением EMBED Equation.3 окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . Продолжая этот процесс, определим функцию EMBED Equation.3 , имеющею разрывы в целочисленных точках EMBED Equation.3 (см. рис.1)
Отметим еще раз, что интеграл
EMBED Equation.3
определяет Г-функцию только при положительных значениях EMBED Equation.3 , продолжение на отрицательные значения EMBED Equation.3 осуществлено нами формально с помощью формулы приведения EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
15
(рис.1)
4. Вычисление некоторых интегралов. 16
Формула Стирлинга
Применим гамма функцию к вычислению интеграла:
EMBED Equation.3
где m > -1,n > -1.Полагая , что EMBED Equation.3 ,имеем
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
и на основании (2.2) имеем
EMBED Equation.3 (3.1)
В интеграле
EMBED Equation.3
Где k > -1,n > 0,достаточно положить EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
17
Интеграл
EMBED Equation.3
Где s > 0,разложить в ряд
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
где EMBED Equation.3 дзетта функция Римана
Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)
EMBED Equation.3
связанные неравенством
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Разлагая, EMBED Equation.3 в ряд имеем
EMBED Equation.3
18
EMBED Equation.3
Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию
EMBED Equation.3 (3.2)
Непрерывна на интервале (-1, EMBED Equation.3 ) монотонно возрастает от EMBED Equation.3 до EMBED Equation.3 при изменении EMBED Equation.3 от EMBED Equation.3 до EMBED Equation.3 и обращаются в 0 при u = 0.Так как
EMBED Equation.3
то EMBED Equation.3 при u > 0 и при u < 0 , далее имеем
EMBED Equation.3
И так производная непрерывна и положительна во всем интервале EMBED Equation.3 ,удовлетворяет условию
19
EMBED Equation.3
Из предыдущего следует, что существует обратная функция, EMBED Equation.3 определенная на интервале EMBED Equation.3 непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,
Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (3.3)
Формулу Стирлинга выведем из равенства
EMBED Equation.3
полагая EMBED Equation.3 ,имеем
EMBED Equation.3
Положим далее EMBED Equation.3 введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям u = -1при EMBED Equation.3 ,и EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 .Замечая что(см.3.2)
EMBED Equation.3
20
имеем
EMBED Equation.3 ,
полагая на конец , EMBED Equation.3 ,получим
EMBED Equation.3
или
EMBED Equation.3
в пределе при EMBED Equation.3 т.е. при EMBED Equation.3 (см3.3)
EMBED Equation.3
откуда вытекает формула Стирлинга
EMBED Equation.3
которую можно взять в виде
21
EMBED Equation.3 (3.4)
где EMBED Equation.3 ,при EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
для достаточно больших EMBED Equation.3 полагают
EMBED Equation.3 (3.5)
вычисление же производится при помощи логарифмов
EMBED Equation.3
если EMBED Equation.3 целое положительное число, то EMBED Equation.3 и (3.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n
EMBED Equation.3
приведем без вывода более точную формулу
EMBED Equation.3
где в скобках стоит не сходящийся ряд.
Міністерство освіти і науки України
Запорізький державний університет
ДО ЗАХИСТУ ДОПУЩЕНИЙ
Зав. каф. Математичного аналізу
д. т. н. проф. ____ С.Ф. Шишканова
_________________________ 2002р.
ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА ДО КУРСОВОГО ПРОЕКТУ
ГАМА ФУНКЦІЇ
Розробив
Ст..гр.. 8221-2
Садигов Р.А.
Керівник
Ст. викладач
Кудря В.І.
Запоріжжя 2002.
Содержание
Задание на курсовую работу ...................................2
Реферат ...................................4
введение ...................................5
Бета функции……………………………………………..............6
Гамма функции. ...................................9
Производная гамма функции ..................................11
Вычисление интегралов формула Стирлинга............................16
Примеры вычеслений ..................................22
вывод ..................................24
Список литературы……………………………………………..............25
Реферат
Курсовая работа: 24 ст., 5 источников, 1 рис.
Обьект иследований: гамма и ее приложения.
В работе идет речь о представлении бета и гамма функций с помощью интегралов Эйлера соответствено первого и второго рода. И о их применении для вычисления интегралов.
Ключевые слова:
ГАММА И БЕТА ФУНКЦИЯ, ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА, ПРОИЗВОДНАЯ, ПРЕДЕЛ.
Введение
Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.
Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.
Бета функции представимы интегралом Эйлера первого рода:
EMBED Equation.3
гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:
EMBED Equation.3
Вывод
Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.
Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.
Список литературы
1. Специальные функции и их приложения:
Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953
2. Математический анализ часть 2:
Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987
3. Сборник задач по математическому анализу:
Демидович Б.П.,М.,Наука,1966
4. Интегралы и ряды специальные функции:
Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983
5. Специальные функции:
Кузнецов , М.,”Высшая школа”,1965
