Министерство науки и образования Украины
Днепропетровский Национальный Университет


Радиофизический факультет
Кафедра физики СВЧ

Реферат по курсу
электродинамики:
“Система уравнений Максвелла в сплошной среде.
Граничные условия”

Выполнил:
Студент
группы РЭ–01-1 А. Л. Бузмаков

Проверил:
Доцент
Кафедры оптоэлектроники
Физического ф-та: В. Д. Гладуш


Днепропетровск 2003
Содержание
Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной форме.
Граничные условия.
Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики.
Пример.
Приложение.
Формула Остроградского-Гаусса.
Формула Стокса.
Список используемой литературы.













1. Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной форме
Система уравнений, состоящая из уравнений Максвелла для электромагнитного поля и уравнений Ньютона для частиц, представляет собой единую систему уравнений, описывающую все явления, обусловленные электромагнитным взаимодействием (без учёта релятивистских и квантовых эффектов). Поэтому, строго говоря, их необходимо решать совместно в задачах электродинамики. Однако в такой наиболее общей постановке решать задачи о взаимодействии электромагнитного поля с веществом чрезвычайно трудно. Сложность проблемы заключается в том, что вещество состоит из громадного количества частиц, движение которых каждой в отдельности невозможно описать. С такой проблемой сталкиваются в классической механике при попытках описать механическое движение газов, жидкостей и твёрдых тел. Чтобы обойти эту трудность физикам приходилось строить определённые модели механических систем: модель абсолютно твёрдого тела, модель сплошной среды и др. При изучении взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем также приходится вводить некоторые модели. Одной из таких широко употребляемых, является модель сплошной среды, состоящая из электрических диполей (диэлектрик). Эта модель электрического диполя играет очень важную роль в физике, так как атомы и молекулы представляют собой системы заряженных частиц, которые в целом нейтральны, но могут обладать отличным от нуля дипольным моментом и поэтому создавать электрическое поле.
Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Эта теория объяснила все известные в то время экспериментальные факты и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось впоследствии. Основным следствием теории Максвелла был вывод о существовании электромагнитных волн, распространяющихся со скоростью света.
Основу теории образуют уравнения Максвелла. В учении об электромагнетизме эти уравнения играют такую же роль, как законы Ньютона в механике или основные законы (начала) в термодинамике. Ниже приведена полная система уравнений Максвелла классической электродинамики в сплошной среде.
Первую пару уравнений Максвелла образуют уравнения:
EMBED Equation.3 (1)
EMBED Equation.3 (2)
Здесь вектор EMBED Equation.3 - вектор напряжённости электрического поля, EMBED Equation.3 - вектор индукции магнитного поля.
Первое из этих уравнений связывает значение EMBED Equation.3 с изменениями вектора EMBED Equation.3 во времени и является по существу выражением закона электромагнитной индукции. Оно показывает, что источником вихревого поля вектора EMBED Equation.3 является меняющееся со временем вихревое магнитное поле. Второе уравнение указывает на отсутствие источников магнитного поля, т.е. магнитных зарядов, как в вакууме, так и в намагниченном веществе.
Вторую пару уравнений Максвелла образуют уравнения:
EMBED Equation.3 (3)
EMBED Equation.3 (4)
Где EMBED Equation.3 - вектор электрического смещения, EMBED Equation.3 - напряжённость магнитного поля, EMBED Equation.3 - намагниченность вещества, EMBED Equation.3 - поляризованность, EMBED Equation.3 - вектор плотности тока, EMBED Equation.3 - объёмная плотность заряда.
Первое уравнение устанавливает связь между токами проводимости и токами смещения, и порождаемым ими магнитным полем. Второе показывает, что источниками вектора EMBED Equation.3 служат сторонние заряды.
Вышеперечисленные уравнения представляют собой дифференциальную форму уравнений Максвелла. Можно отметить, что в первую пару уравнений входят только основные характеристики поля - EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . Во второй паре фигурируют только вспомогательные величины EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .
Можно отметить, что вид уравнений (2) и (4) не зависит от наличия среды, в то время как векторы EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , а также величины EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , входящие в уравнения (3) и (4), зависят от свойств вещества и условий, в которых оно находится. Любое макроскопическое тело, рассматриваемое как сплошная среда, состоит из заряженных частиц – электронов и ядер, обладающих также и магнитными моментами, и поэтому взаимодействующих с электромагнитным полем, являясь в то же время и его источниками. Таким образом, величины EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 следует определять, исходя из электрических и магнитных свойств вещества.
Выводя формулу (1), Максвелл предположил, что изменяющегося со временем магнитное поле обусловливает появление в пространстве поля EMBED Equation.3 , независимо от присутствия в пространстве проволочного контура. Наличие контура лишь позволяет обнаружить по возникновению в нем индукционного тока существование в соответствующих точках пространства электрического поля.
Рассмотрим случай электромагнитной индукции, когда проволочный контур, в котором индуцируется ток, неподвижен, а изменения магнитного потока обусловлены изменениями магнитного поля. Возникновение индукционного тока свидетельствует о том, что изменения магнитного поля вызывают появление в контуре сторонних сил, действующих на носители тока. Эти сторонние силы не связаны ни с химическими, ни с тепловыми процессами в проводе; они также не могут быть магнитными силами, потому что такие силы над зарядами работы не совершают. Остаётся заключить, что индукционный ток обусловлен возникающим в проводе электрическим полем. Обозначим напряжённость этого поля EMBED Equation.3 (это обозначение является вспомогательным так же как и EMBED Equation.3 ). Электродвижущая сила равна циркуляции вектора EMBED Equation.3 по данному контуру:
EMBED Equation.3 (1.1)
Подстановка в формулу EMBED Equation.3 выражения (1.1) для EMBED Equation.3 и выражения EMBED Equation.3 для EMBED Equation.3 приводит к соотношению
EMBED Equation.3
(интеграл в правой части берётся по произвольной поверхности, опирающейся на контур). Поскольку контур и поверхность неподвижны, операции дифференцирования по времени и по поверхности можно поменять местами:
EMBED Equation.3 (1.2)
В связи с тем, что вектор EMBED Equation.3 зависит, вообще говоря, как от времени, так и от координат, то можно написать под знаком интеграла символ частной производной по времени (интеграл EMBED Equation.3 является функцией только времени).
Левую часть равенства (1.2) преобразуем по теореме Стокса. В результате получится:
EMBED Equation.3 .
Ввиду произвольности выбора поверхности интегрирования должно выполняться равенство
EMBED Equation.3 .
Ротор поля EMBED Equation.3 в каждой точке пространства равен взятой с обратным знаком производной по времени от вектора EMBED Equation.3 .
Это поле EMBED Equation.3 , порождающееся изменением магнитного поля, существенно отличается от порождаемого электрическими зарядами электрического поля EMBED Equation.3 . Электростатическое поле потенциально, его линии начинаются и заканчиваются на зарядах. Ротор вектора EMBED Equation.3 в любой
точке равен нулю:
EMBED Equation.3 =0.
Согласно (1.2) ротор вектора EMBED Equation.3 отличен от нуля. Следовательно, поле EMBED Equation.3 так же, как и магнитное является вихревым. Линии напряжённости EMBED Equation.3 замкнуты.
Таким образом, электрическое поле может быть как потенциальным ( EMBED Equation.3 ) так и вихревым ( EMBED Equation.3 ). В общем случае электрическое поле слагается из этих двух полей. Сложив вместе EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , получим следующее уравнение:
EMBED Equation.3 . (1.3)
Существование взаимосвязи между электрическим и магнитным полями служит причиной того, что раздельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет лишь относительный смысл. Действительно, электростатическое поле создаётся системой неподвижных зарядов в одной системе координат, однако они могут двигаться относительно другой инерциальной системы отсчёта и тогда они будут во второй системе подвижными, следовательно, будут создавать магнитное поле. Таким образом, поле, которое относительно некоторой системы отсчёта оказывается «чисто» электрическим или «чисто» магнитным, относительно других систем отсчёта будет представлять собой совокупность электрического и магнитных полей, образующих единое электромагнитное поле.

Выводя формулу (3), Максвелл пересмотрел уравнения для ротора вектора EMBED Equation.3 для случая стационарного (не изменяющегося со временем) электромагнитного поля, где ротор вектора EMBED Equation.3 равен в каждой точке плотности тока проводимости:
EMBED Equation.3 , (3.1)
где вектор EMBED Equation.3 связан с плотностью заряда в той же точке уравнением непрерывности:
EMBED Equation.3 (3.2)
Электромагнитное поле может быть стационарным лишь при условии, что плотность заряда EMBED Equation.3 и плотность тока EMBED Equation.3 не зависят от времени. В этом случае согласно (3.2) дивергенция EMBED Equation.3 равна нулю.
Поэтому можно выяснить, является ли справедливым уравнение (3.2) справедливым в случае изменяющихся со временем полей. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое током, текущим при зарядке конденсатора от источника постоянного напряжения U (рис. 1).
EMBED PBrush
EMBED PBrush
Этот ток непостоянен во времени (в момент, когда напряжение на конденсаторе становится равным U, ток прекращается). Линии тока проводимости терпят разрыв в промежутке между обкладками конденсатора.
Возьмём круговой контур Г, охватывающий провод, по которому течёт ток к конденсатору, и проинтегрируем соотношение (3.1) по пересекающеё провод поверхности S1, ограниченной контуром:
EMBED Equation.3 .
Преобразовав левую часть по теореме Стокса, получим циркуляцию вектора EMBED Equation.3 по контуру Г:
EMBED Equation.3 (3.3)
(I – сила тока заряжающего конденсатор). Проделав такие же вычисления для поверхности S2, придём к явно неверному соотношению:
EMBED Equation.3 (3.4)
Полученный результат указывает на то, что в случае изменяющихся со временем полей уравнение (3.1) перестаёт быть справедливым. Напрашивается вывод, что в этом уравнении отсутствует слагаемое, зависящее от произвольных полей во времени. Для стационарных полей это слагаемое обращается в нуль.
На неправомерность уравнения (3.1) в случае нестационарных полей указывает также, следующие соображения. Возьмём дивергенцию от обеих частей соотношения (3.1):
EMBED Equation.3
Дивергенция ротора должна быть обязательно равна нулю. Таки образом, можно прийти к выводу, что дивергенция вектора EMBED Equation.3 также должна быть всегда равной нулю. Однако этот вывод
противоречит уравнению непрерывности, где EMBED Equation.3 отлична от нуля.
Чтобы согласовать уравнения (3.1) и (3.2), Максвелл ввел в правую часть уравнения (3.1) дополнительное слагаемое. Естественно, что это слагаемое должно иметь размерность плотности тока. Максвелл назвал его плотностью тока смещения. Таким образом, согласно Максвеллу уравнение (3.1) должно иметь вид:
EMBED Equation.3 (3.5)
Сумму тока проводимости и тока смещения принято называть полным током. Плотность полного тока равна:
EMBED Equation.3 (3.6)
Если положить дивергенцию тока смещения равной дивергенции тока проводимости, взятой с обратным знаком,
EMBED Equation.3 (3.7)
то дивергенция правой части уравнения (3.5), так же как и дивергенция левой части, всегда будет равна нулю.
Заменив в (3.7) EMBED Equation.3 согласно (3.2) через EMBED Equation.3 , получим следующее выражение для дивергенции тока смещения:
EMBED Equation.3 . (3.8)
Чтобы связать ток смещения с величинами, характеризующими изменение электрического поля со временем, воспользуемся соотношением:
EMBED Equation.3
Продифференцировав это соотношение по времени, получим:
EMBED Equation.3
Теперь поменяем в левой части порядок дифференцирования по времени и по координа -там. В результате придём к следующему выражения для производной EMBED Equation.3 по EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 .
Подстановка этого выражения в формулу (3.8) даёт:
EMBED Equation.3 .
Отсюда
EMBED Equation.3 (3.9)
Подставив выражение (3.9) в формулу (3.6), придём к уравнению
EMBED Equation.3 .
Каждое из векторных уравнений (1) и (3) эквивалентно трем скалярным уравнениям, связывающим компоненты векторов, стоящих в левой и правой частях равенств. Воспользовавшись правилом раскрытия дифференциальных операторов, можно записать их в следующем виде:
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 (5)
EMBED Equation.3 (6)
для первой пары уравнений, и:
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 (7)
EMBED Equation.3 (8)
для второй.
Всего получилось 8 уравнений, в которых входят 12 функций (по три компоненты векторов EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .) Поскольку число уравнений меньше числа известных функций, уравнений (1) - (4) недостаточно для нахождения полей по заданным распределениям зарядов и токов. Чтобы осуществить расчёт полей, нужно дополнить уравнения Максвелла уравнениями, связывающими EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 с EMBED Equation.3 , а также EMBED Equation.3 с EMBED Equation.3 . Эти уравнения имеют вид.
EMBED Equation.3 (9)
EMBED Equation.3 (10)
EMBED Equation.3 (11)
Совокупность уравнений (1) – (11) образуют основу электродинамики покоящихся сред.
Уравнения:
EMBED Equation.3 (12)
EMBED Equation.3 (13)(первая пара) и
EMBED Equation.3 (14)
EMBED Equation.3 (15)
(вторая пара) представляют собой уравнения Максвелла в интегральной форме.
Уравнение (12) получается путём интегрирования соотношения (1) по произвольной поверхности S с последующим преобразованием левой части по теореме Стокса в интеграл по контуру Г, ограничивающему поверхность S. Уравнение (14) получается таким же способом из соотношения (3). Уравнения (13) и (15) получаются из соотношений (2) и (4) путём интегрирования по произвольному объёму V с последующим преобразованием левой части по теореме Остроградского-Гаусса в интеграл по замкнутой поверхности S, ограничивающей объём V.
2. Граничные условия

При решении задач электродинамики, учитывается, что все макроскопические тела ограничены поверхностями. При переходе через эти поверхности физические свойства макроскопических тел изменяются скачком и поэтому также скачком могут изменяться электромагнитные поля, создаваемые этими телами. Другими словами векторные функции EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 являются кусочно-непрерывными функциями координат, т.е. они непрерывны вместе со своими производными внутри каждой однородной области, но могут претерпевать разрывы на границах раздела двух сред. В связи с этим представляется удобным решать уравнения Максвелла (1) - (4) в каждой области, ограниченной некоторой поверхностью раздела отдельно, а затем полученные решения объединять с помощью граничных условий.
При нахождении граничных условий удобно исходить из интегральной формы уравнений аксвелла. Согласно уравнению (4) и теореме Остроградского-Гаусса:
EMBED Equation.3 , (16)
где Q – полный заряд внутри объёма интегрирования.
Рассмотрим бесконечно малый объём в виде цилиндра с высотой h и площадью основания S, расположенный в средах 1 и 2 (рис. 2).
EMBED PBrush
Соотношение (16) в этом случае можно записать виде:

EMBED Equation.3 (17)
здесь EMBED Equation.3 - нормаль к границе раздела двух сред, направленная из среды 2 в среду 1. Знак «минус» во втором слагаемом обусловлен тем, что внешняя нормаль EMBED Equation.3 поверхности интегрирования в среде 2 направлена противоположно нормали EMBED Equation.3 в среде 1. Пусть основание цилиндра стремится к границе раздела двух сред. Так как площадь боковой стремится к нулю, то EMBED Equation.3 , и поэтому (17) приобретёт вид:
EMBED Equation.3 (18)
где EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 - значения нормальных составляющих вектора EMBED Equation.3 по разные стороны поверхности раздела; EMBED Equation.3 - поверхностная плотность зарядов, избыточных по отношению к связанным зарядам самого вещества. Если поверхность раздела не заряжена, то в формуле (18) необходимо положить EMBED Equation.3 =0. Пользоваться понятием поверхностной плотности удобно тогда, когда избыточные (сторонние) заряды расположены в очень тонком слое вещества d, а поле рассматривается на расстояниях от поверхности r>>d. Тогда из определения объёмной плотности заряда EMBED Equation.3 следует:
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 d = EMBED Equation.3 .
Если учесть, что EMBED Equation.3 , а EMBED Equation.3 - поверхностная плотность поляризационных зарядов, то формулу (18) можно записать в виде:
EMBED Equation.3
где EMBED Equation.3 , а величина EMBED Equation.3 , которая входит в граничное условие (18), есть поверхностная плотность зарядов, избыточных по отношению к связанным зарядам самого вещества.
Используя уравнение (2) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничное условие для вектора EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 (19)
EMBED PBrush
Выражения (18) и (19) – граничные условия для нормальных составляющих векторов EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . Чтобы получить условия для тангенциальных составляющих можно использовать уравнения (1) и (3). Умножим уравнение (3) скалярно на положительную нормаль EMBED Equation.3 к поверхности S, ограниченной контуром L, имеющим вид прямоугольника (рис. 3).

Используя теорему Стокса, получим:
EMBED Equation.3
Перепишем это уравнение в виде:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (20)
Здесь EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 - значения вектора EMBED Equation.3 соответственно в средах 1 и 2, EMBED Equation.3 - единичный вектор, касательный к поверхности раздела, EMBED Equation.3 - нормаль к поверхности раздела, направленная из среды 2 в среду 1.
Пусть теперь EMBED Equation.3 при малом, но фиксированном l. Тогда EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 и соотношение (20) примет вид:
EMBED Equation.3
и после сокращения на l имеем:
EMBED Equation.3
здесь EMBED Equation.3 . Вектор EMBED Equation.3 , как следует из рисунка 2, можно записать как в виде EMBED Equation.3 . Тогда
предыдущее выражение можно записать, как
EMBED Equation.3 .
Поскольку эта формула справедлива для любой ориентации поверхности , а следовательно, и
вектора EMBED Equation.3 , то имеем
EMBED Equation.3 (21)
В граничном условии (21) присутствует поверхностная плотность тока, избыточная по отношению к токам намагничивания. Если токи отсутствуют, то следует положить EMBED Equation.3 =0. Учитывая, что EMBED Equation.3 , а EMBED Equation.3 есть поверхностная плотность тока намагничивания, запишем формулу (21) в виде:
EMBED Equation.3
где EMBED Equation.3 .
Используя уравнение (1) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничные условия для вектора EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 (22)
Таким образом, уравнения Максвелла (1) - (4) должны быть дополнены граничными условиями (18), (19), (21) и (22). Эти условия означают непрерывность тангенциальных составляющих вектора EMBED Equation.3 (22) и нормальной составляющей вектора EMBED Equation.3 (19) при переходе через границу раздела двух сред. Нормальная составляющая вектора EMBED Equation.3 при переходе через границу раздела испытывает скачок, тангенциальная составляющая вектора EMBED Equation.3 , если имеются поверхностные токи (21).
Ещё одно граничное условие можно получить, используя уравнение непрерывности ( EMBED Equation.3 0) и уравнение (4), из которых следует:
EMBED Equation.3
Так как граничное условие (19) является следствием уравнения (2), то по аналогии находим:
EMBED Equation.3 (23)
Если же на поверхности раздела нет зарядов, поверхностная плотность которых зависит от времени, то из (18) и (23) следует непрерывность нормальных составляющих плотности тока:
EMBED Equation.3 .
Итак, граничные условия на поверхности раздела двух сред имеют вид:
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
(24)
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
где EMBED Equation.3 - нормаль к границе раздела, направленная из среды 2 в среду 1, и должны выполняться в любой момент времени и в каждой точке поверхности раздела.
3. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики
Так как на практике почти всегда приходится решать уравнения Максвелла (1) – (4) в кусочно-непрерывных средах, то граничные условия (24) следует рассматривать как неотъёмлемую часть уравнений Максвелла (1) – (4).
В случае стационарных электрических и магнитных полей ( EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 ) система уравнений Максвелла (1) – (4) распадается на систему
уравнений электростатики:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 (25)
и уравнений магнитостатики:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , (26)
а граничные условия остаются те же.
4. Пример
В качестве примера решения электростатических задач можно вычислить электрическое поле, создаваемое диэлектрическим шаром радиуса R, находящемся в однородном электрическом поле EMBED Equation.3 . Уравнения электростатики в диэлектрике (25) при EMBED Equation.3 =0 имеют вид:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 (27)
Из этих уравнений следует, сто потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению
EMBED Equation.3 (28)
причём EMBED Equation.3 = - EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 . В однородном диэлектрике EMBED Equation.3 =const , поэтому уравнение (27) переходит в обычное уравнение Лапласа EMBED Equation.3 =0.
Граничное условия (24), выражающее непрерывность вектора индукции, записывается следующим образом:
EMBED Equation.3 при r=R (29)
Здесь EMBED Equation.3 – решение уравнения вне сферы, а EMBED Equation.3 – внутри сферы. Вместо граничного условия непрерывности тангенциальных составляющих электрического поля можно использовать эквивалентное ему условие непрерывности потенциала
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (30)

Это условие можно получить, рассматривая интеграл EMBED Equation.3 по контуру, изображенному на рис. 2. Воспользовавшись теоремой Стокса и уравнением EMBED Equation.3 , находим
EMBED Equation.3
Так как интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то это значит, что функция EMBED Equation.3 непрерывна, откуда и следует условие (30). Из (30) очевидно так же, что
EMBED Equation.3
где элемент EMBED Equation.3 направлен касательно к границе раздела. Из этого равенства следует, что тангенциальные компоненты вектора EMBED Equation.3 также непрерывны.
Для решения поставленной задачи используем сферическую систему координат, полярная ось которой (ось z) совпадает с направлением напряжённости однородного внешнего электрического поля EMBED Equation.3 .
Поскольку на достаточно большом удалении от диэлектрического шара электрическое поле не искажается наличием этого шара, то потенциал EMBED Equation.3 должен удовлетворять условию
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 .
Из соображений симметрии ясно, что потенциал не должен зависеть от азимутального угла, поэтому решение уравнения Лапласа запишем в виде разложения по полиномам Лежандра EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Здесь потенциал нормирован так, чтобы EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 . Так как EMBED Equation.3 , то из условия на бесконечности находим EMBED Equation.3 .
Воспользуемся теперь граничными условиями (29) и (30):
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра, получаем
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =0 при (l=0),
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 при (l=1),
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 при (l>1).
Из этих уравнений находим
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Все остальные коэффициенты равны нуля, если EMBED Equation.3 .
Таким образом, решение задачи имеет вид:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (30)
EMBED Equation.3
Используя формулу EMBED Equation.3 , вычислим вектор поляризации диэлектрической сферы
EMBED Equation.3
С помощью вектора поляризации формулы (30) можно записать в виде:
EMBED Equation.3 (31)
EMBED Equation.3 (32)
где EMBED Equation.3 - объём сферы.
Первые два слагаемых в (31) и (32) представляют собой потенциал однородного внешнего поля, создаваемого внешними источниками. Вторые – это потенциал электрического поля, создаваемого электрическим шаром, поляризованным внешним полем. Вне сферы – это потенциал диполя с дипольным моментом EMBED Equation.3 . Внутри сферы поляризованный шар создаёт однородное электрическое поле с напряжённостью
EMBED Equation.3 (33)
Полная напряжённость внутри шара
EMBED Equation.3 (34)
Таким образом, электрическое поле внутри шара не зависят от радиуса шара и ослаблено на значение поля EMBED Equation.3 , которое называется деполяризующим полем. Возникновение деполяризующего поля есть частный случай явления экранировки внешнего поля связанными или свободными зарядами.
5. Приложение.

1. Формула Остроградского – Гаусса.
Пусть f (x, y, z) - некоторая функция , а S - замкнутая поверхность, ограничивающая объём V. На отрезке 1-2 (рис. 4), параллельном оси X, f - является функцией одного аргумента x. Интегрируя вдоль этого отрезка получим:
EMBED Equation.3
где EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 - значения функции f на концах рассматриваемого промежутка.
Построим теперь бесконечно узкий цилиндр, одной из образующих которого является отрезок 1 2. Пусть d? - площадь поперечного сечения его (величина положительная). Умножая предыдущее соотношение на d?. Так как d?dx есть элементарный объём dV, заштрихованный на рисунке, то в результате получится:
EMBED PBrush
EMBED Equation.3 ,
где dV – часть объёма V, вырезаемого из него поверхность цилиндра. Пусть dS1 и dS2 эле -ментарные площадки, вырезаемые тем же цилиндром на поверхности S, а EMBED Equation.3 1 и EMBED Equation.3 2 –
единичные нормали к ним, проведенные наружу от поверхности S. Тогда:

d? = d EMBED Equation.3 2 EMBED Equation.3 2х = - d EMBED Equation.3 1 EMBED Equation.3 1х,

а поэтому: EMBED Equation.3
или короче: EMBED Equation.3 где поверхностный интеграл распространён на сумму площадок dS1 и dS2. Весь объём V можно разделить на элементарные цилиндры рассматриваемого вида и написать для каждого из них такие же соотношения. Суммируя эти соотношения, получим:
EMBED Equation.3 (35)
Интеграл справа распространён по всему объёму V, справа – по поверхности S, ограничивающей этот объём. Аналогичные соотношения можно написать для осей Y и Z.
Возьмём теперь произвольный вектор EMBED Equation.3 и применим к его компонентам соотношение (35). Получим:
EMBED Equation.3
и аналогично для компонент Ay и Az . Складывая эти соотношения, найдём:
EMBED Equation.3
или:
EMBED Equation.3
Эту формулу Остроградского – Гаусса можно также записать в виде:
EMBED Equation.3
Смысл её заключается в том, что полный поток вектора EMBED Equation.3 через некоторую поверхность S равен суммарной алгебраической мощности источников, порождающих векторное поле.
Если объём V бесконечно мал, то величина div EMBED Equation.3 внутри него может считаться постоянной. Вынося её за знак интеграла и переходя к пределу V> 0, получим:
EMBED Equation.3
Предельный переход надо понимать в том смысле, что область V должна стягиваться в точку, т.е. размеры этой области должны беспредельно уменьшаться по всем направлениям. Эти рассуждения показывают, что величина, стоящая в правой части вышеуказанной формулы, не зависит от формы поверхности S, стягиваемой в точку. Поэтому это выражение можно принять за исходную формулировку дивергенции. Такое определение обладает преимуществом, потому что оно инвариантно, т.е. никак не связано с выбором координат.

2. Формула Стокса.
По определению ротор (вихрь) некоторого вектора EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 (36)
Зная ротор вектора EMBED Equation.3 в каждой точке некоторой (не обязательно плоской) поверхности S, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру EMBED Equation.3 , ограничивающему S, (контур также может быть не плоским). Для этого разобъём поверхность на очень малые элементы EMBED Equation.3 . Ввиду их малости эти элементы можно считать плоскими. Поэтому в соответствии с (36) циркуляция вектора EMBED Equation.3 по контуру, ограничивающему EMBED Equation.3 , может быть представлена в виде.
EMBED Equation.3 (37)
где EMBED Equation.3 - положительная нормаль к элементу поверхности EMBED Equation.3 .
Зная, что циркуляция по некоторому контуру равна сумме циркуляций по контурам, содержащиеся в данном, можно просуммировать выражение (37) по всем EMBED Equation.3 , и тогда получим циркуляцию вектора EMBED Equation.3 по контуру EMBED Equation.3 , ограничивающему S:
EMBED PBrush
EMBED Equation.3 .
Осуществив предельный переход, при котором все EMBED Equation.3 стремиться к нулю (число их при этом неограниченно растёт, придём к формуле:
EMBED Equation.3 (38)
Соотношение (38) носит название теоремы Стокса. Смысл её состоит в том, что циркуляция вектора EMBED Equation.3 по произвольному контуру EMBED Equation.3 равна потоку вектора EMBED Equation.3 через произвольную поверхность S , ограниченную данным контуром.








6. Список использованной литературы
Федорченко А. М. Классическая электродинамика. – К.: Вища школа, 1988. – 280 с.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. Электричество. – М.: Наука, 1983. – 688 с.
Савельев И. В. Курс обшей физики. 3 том. – М.: Наука, 1988. – 496 с.