Министерство образования и науки РФ
Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО
Всероссийский заочный финансово-экономический институт


КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
экономико-математические методы и прикладные модели
Вариант № 9

Студент:
факультет учетно-статистический,
специальность бухгалтерский учет,
анализ и аудит,
вечерняя группа, 3 курс
№ личного дела
Преподаватель: Арланцева Елена Руслановна

Калуга – 2009 г.
Содержание
Задача 1…………..
Задача 2…………..
Задача 3………….
Задача 4……………







Задача 1
При производстве двух видов продукции используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса задан в таблице.
Таблица 1
Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден. ед., второго вида – 3 ден. ед..
Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от её реализации.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к её элементам и получить решение графическим методом. Что произойдёт, если решить задачу на минимум и почему?
Решение
Имея данные о прибыли от реализации каждого вида продукции, преобразуем Таблицу 1 в Таблицу 2.
Таблицу 2
Составим экономико-математическую модель задачи.
Пусть х1 и х2 - количество товара 1-го и 2-го видов, необходимые для получения максимальной прибыли. Тогда экономико-математическая модель будет иметь вид:
F(X)= 2x1 +3x2 > max, при ограничениях в количестве ресурсов.
X = (x1;x2) – вектор, при котором F(X) > max и выполняются ограничения
EMBED Equation.3
х1 ? 0, х2 ? 0.
Для получения решения графическим методом строим прямые:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

Область допустимых решений: заштрихованная плоскость.
Строим прямую: EMBED Equation.3
И вектор EMBED Equation.3 (2;3)
Максимум ищем в точке области допустимых решений наиболее удаленной от прямой EMBED Equation.3 по направлению вектора EMBED Equation.3 . Он достигается либо в точке А, либо в точке В. Найдем их координаты:
Теперь найдем значение целевой функции в каждой точке:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Таким образом, максимум функции достигается в точке В.
Для того, чтобы получить максимум прибыли 14 ден.ед. необходимо произвести 4 ед. продукции первого вида и 3 ед. продукции второго вида.
Если решать задачу на минимум, то необходимо найти такое решение, при котором предприятие получит наименьшую функцию. Минимум функции необходимо искать в точке области допустимых решений самой близкой к прямой EMBED Equation.3 по направлению вектора EMBED Equation.3 . Очевидно, что он достигается либо в точке О (0; 0). Тогда полученная прибыль будет равна 0.
Значит, для того, чтобы получить минимально возможную прибыль (в данном случае вообще не получить ее) необходимо не производить продукцию.





Задача 2
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Требуется:
Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I вида на 100ед. и уменьшении на 150ед. запасов сырья II вида;
оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 10ед., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3ед.

Решение.
1) Пусть необходимо изготовить EMBED Equation.3 единиц изделия А, EMBED Equation.3 единиц изделия Б, EMBED Equation.3 единиц изделия В и EMBED Equation.3 единиц изделия Г. Прямая оптимизационная задача на максимум прибыли имеет вид:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3

Оптимальный план выпуска продукции будем искать с помощью настройки «Поиск решения» MS Excel. Сначала занесем исходные данные:


Теперь будем искать оптимальное решение с помощью настройки «Поиск решения»:

В результате будет получена следующая таблица:

Таким образом, чтобы получить максимум выручки в размере 9000 ден.ед. необходимо изготовить 0 единиц изделии А и Б, 400 единиц изделий В и 550 единиц изделий Г.
2) Строим двойственную задачу в виде:
EMBED Equation.3 , где
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Запишем двойственную задачу:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Найдем решение двойственной задачи с помощью теорем двойственности. Проверим выполнение системы неравенств прямой задачи:
EMBED Equation.3
Так как третье неравенство выполняется как строгое, то EMBED Equation.3
Так как EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , то получаем систему уравнений:
EMBED Equation.3
Решение системы: EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
3) В двойственной задаче EMBED Equation.3 , так как III вид ресурсов является избыточным и не расходуется полностью на производство продукции.
4) а) Наиболее дефицитным является I вид ресурсов, так как его двойственная оценка ( EMBED Equation.3 ) является наибольшей.
б) При увеличении запасов сырья I вида на 100ед. и уменьшении на 150ед. запасов сырья II вида увеличение выручки составит:
EMBED Equation.3 ден.ед.
И она составит: EMBED Equation.3 ден.ед.
Определим изменение плана выпуска из системы уравнений:
EMBED Equation.3
То есть оптимальный план выпуска будет иметь вид:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
в) оценим целесообразность включения в план изделия Д ценой 10ед., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3ед.
Затраты на изготовление единицы изделия Д составят:
EMBED Equation.3
Так как затраты на производство изделия превышают его стоимость ( EMBED Equation.3 ), то включение в план изделия Д нецелесообразно.

Задача 3
Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки аij (i=1, 2, 3; j=1, 2, 3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.
Требуется:
Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
Решение.
Для решения задачи используем табличный процессор EXCEL.
1. Матрица коэффициентов прямых затрат A является квадратной матрицей порядка n=3. Вычислим матрицу коэффициентов полных затрат EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 — единичная матрица порядка n=3. С помощью встроенной функции EXCEL «МОБР» получим:
Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат B неотрицательны, следовательно матрица коэффициентов прямых затрат A продуктивна.
2. Вычисляем вектор валовой продукции X по формуле EMBED Equation.3 . С помощью встроенной функции EXCEL «МУМНОЖ» получим:
Распределение продукции между предприятиями (внутреннее потребление) определяется из соотношения EMBED Equation.3 . Получим:
Заполняем схему баланса производства и распределения продукции предприятий холдинга:







Задача 4
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице:
Требуется:
1) Проверить наличие аномальных наблюдений.
2) Построить линейную модель EMBED Equation.DSMT4 , параметры которой оценить МНК ( EMBED Equation.DSMT4 - расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3) Построить адаптивную модель Брауна Пункт 3 выполняют только студенты специальности 060400
EMBED Equation.DSMT4 с параметром сглаживания ?= 0,4 и ?= 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания ?.
4) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
5) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
6) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
7) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).
Решение.
Построим ряд первых разностей, используя формулу:
EMBED Equation.3
График первых разностей приблизительно стационарен и имеет вид:

Аномальных наблюдений во временном ряду нет.
Построим линейную модель вида EMBED Equation.3
Параметры EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 можно найти методом наименьших квадратов из системы нормальных уравнений:
EMBED Equation.3
А также с использованием настройки MS Excel «Анализ данных». Для этого занесем исходные данные в таблицу:

Затем используем пункт Регрессия настройки «Анализ данных»

В результате будет получена следующая таблица:

Средствами MS Excel получена следующая линейная модель: EMBED Equation.3
Построим график эмпирического и смоделированного рядов:

Оценим адекватность построенной модели также используя MS Excel. Для нахождения необходимых показателей построим таблицу:


Оценку адекватности проведем по следующим показателям:
Условие случайности отклонений от тренда. Рассчитаем критическое число поворотных точек по формуле:
EMBED Equation.3
Так как для данной модели EMBED Equation.3 , то условие выполнено.
Условие наличия (отсутствия) автокорреляции в отклонениях.
Рассчитаем статистику Дарбина-Уотсона (d – статистику) по формуле:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Критические значения статистики: EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . Так как EMBED Equation.3 , то условие выполнено.
Условие соответствия ряда остатков нормальному закону распределения. Рассчитаем RS – критерий:
EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Так как EMBED Equation.3 , то условие выполнено.
Таким образом, построенная модель адекватна.
Оценим точность построенной модели на основе относительной ошибки аппроксимации, рассчитанной по формуле:
EMBED Equation.3
Так как EMBED Equation.3 , то построенная модель обладает хорошим уровнем точности.
5) Построим адаптивную модель Брауна. Расчетное значение показателя в момент времени t определяется по формуле:
EMBED Equation.3 , где
k – количество шагов прогнозирования (обычно k=1)
Это значение сравнивается с фактическим уровнем и полученная ошибка прогноза:
EMBED Equation.3
используется для корректировки модели. Корректировка параметров осуществляется по формулам:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
а) Примем EMBED Equation.3 , тогда EMBED Equation.3 . В качестве начальных параметров модели возьмем, исчисленные в линейной модели: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Расчет проведем с помощью MS Excel:

В результате получим следующую таблицу:
Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по модели:

В результате получим таблицу:
EMBED Equation.3 %
б) Примем EMBED Equation.3 , тогда EMBED Equation.3 . В качестве начальных параметров модели возьмем, исчисленные в линейной модели: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Получим следующую таблицу:
Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по модели:
EMBED Equation.3 %
Таким образом, лучшей является модель Брауна с параметром EMBED Equation.3 .
Оценим адекватность построенной модели также используя MS Excel. Для нахождения необходимых показателей построим таблицу:


Оценку адекватности проведем по следующим показателям:
Условие случайности отклонений от тренда. Рассчитаем критическое число поворотных точек по формуле:
EMBED Equation.3
Так как для данной модели EMBED Equation.3 , то условие выполнено.
Условие наличия (отсутствия) автокорреляции в отклонениях.
Рассчитаем статистику Дарбина-Уотсона (d – статистику) по формуле:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Критические значения статистики: EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . Так как EMBED Equation.3 , то условие выполнено.
Условие соответствия ряда остатков нормальному закону распределения. Рассчитаем RS – критерий:
EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Так как EMBED Equation.3 , то условие выполнено.
Таким образом, построенная модель адекватна.
Строим прогноз по построенным моделям:
Линейная модель.
Точечный прогноз на следу ющие две недели имеет вид:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Критерий Стьюдента (при доверительной вероятности EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 ) равен: EMBED Equation.3
Найдем предельную ошибку для первой недели:
EMBED Equation.3
Для второй недели:
EMBED Equation.3
Строим доверительный интервал на первую неделю:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Строим доверительный интервал на вторую неделю:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Адаптивная модель Брауна.
Точечный прогноз на следующие две недели имеет вид:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Критерий Стьюдента (при доверительной вероятности EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 ) равен: EMBED Equation.3
Найдем предельную ошибку для первой недели:
EMBED Equation.3
Для второй недели:
EMBED Equation.3
Строим доверительный интервал на первую неделю:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Строим доверительный интервал на вторую неделю:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
8) Построим на графике исходный ряд данных, а также построенные линейную модель и адаптивную модель Брауна, а также прогноз по обоим моделям: