Задача 1
Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
Финансовый консультант фирмы «АВС» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25 000 долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».
Анализируются акции «Дикси – Е» и «Дикси – В». Цены на акции: «Дикси – Е» - 5 долл. за акцию; «Дикси – В» - 3 долл. за акцию.
Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук.
По оценкам «АВС», прибыль от инвестиций в эти акции в следующем году составит: «Дикси – Е» - 1,1 долл.; «Дикси – В» - 0,9 долл.
Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?
Решение:
Для решения задачи приведем все вышеперечисленные величины в таблицу:
2) Математическая формализация задачи.
Пусть: X1 – количество акций «Дикси-Е»,
X2 – количество акций «Дикси-В».
Тогда стоимость акций будет задаваться целевой функцией:
EMBED Equation.3
Экономико-математическая модель задачи имеет вид:
EMBED Equation.3
Ограничения по необходимому максимуму количества акций:
EMBED Equation.3
3) Для получения решения графическим методом строим прямые:
EMBED Equation.3
Построим прямые ограничения (Рис. 1):
EMBED Equation.3 (5000; 8333,3)
EMBED Equation.3 (3500; 2500)
EMBED Equation.3 (5000; 0)
EMBED Equation.3 (0; 5000)
и линию уровня:
EMBED Equation.3 (0; 0); (4500; -5500)

Построим векто-градиент EMBED Equation.3 перпендикулярный линии уровня EMBED Equation.3 , При перемещении линии уровня в направлении вектора-Градиента получаем точку С, это и есть точка максимума, найдем ее координаты – оптимальное решение.
5х1 +3 х2 = 25 000 5х1 +3 х2 = 25 000 30000 – 5 х2 + 3 х2 = 25000
х1 + х2 = 6000; х1 = 6000 – х2; х1 = 6000 – х2;
- 2 х2 = -5000 х2 = 2500
х1 = 6000 – х2; х1 = 3500.
Точка С (3500;2500)
Значение целевой функции в точке С (2500; 3500) равно:
EMBED Equation.3
Ответ: чтобы обеспечить оптимальную прибыль от инвестиций необходимо купить: акций Дикси- Е - 3500 шт. и акций Дикси- В - 2500 шт., при этом прибыль от двух видов купленных акций составит – 6100 долл..
Если решать задачу на min то надо двигаться по линии вектора-градиента в обратном направлении линии уровня и иксы поменяют друг с другом свои значения.










Задача 2
Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования
На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.
Требуется:
Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 45 кг, а II – уменьшить на 9 кг;
оценить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 11 ед., на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6 кг соответствующего вида сырья.
Решение:
1) Сформулируем экономико-математическую модель исходной задачи на максимум выручки от реализации готовой продукции.
Обозначим переменные:
Пусть х1 – число единиц продукции A;
х2 – число единиц продукции Б;
х3 – число единиц продукции В.
Число ограничений исходной задачи линейного программирования соответствует числу используемых для изготовления изделий типов сырья и равно 3. Зная цены изделий, нормы расхода сырья на их изготовление и запасы сырья, формулируем математическую модель исходной задачи линейного программирования:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Оптимальный план выпуска продукции будем искать с помощью настройки «Поиск решения» MS Excel. Сначала занесем исходные данные:


Теперь будем искать оптимальное решение с помощью настройки «Поиск решения»:

В результате будет получена следующая таблица:

Рисунок 3
Использование надстройки «Поиск решение» программного средства позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий x1 =0; x2 =8; x3 =20. Целевая функция имеет максимальное для данных условий задачи значение f(x) = 400.
Таким образом, чтобы получить максимум выручки в размере 400 ден. ед. необходимо изготовить 8 единиц продукции Б и 20 единиц продукции В, а продукция вида А убыточна (x1 =0) ее можно не производить.
2) Сформулируем двойственную задачу и найдем ее оптимальный план.
Обозначим переменные:
Пусть y1 – цена единицы ресурса продукции A;
y2 – цена единицы ресурса продукции Б;
y3 – цена единицы ресурса продукции В.
Математическая модель двойственной задачи имеет вид:
g(y1, y2, y3)= 360y1 + 192y2 + 180y3 > min
EMBED Equation.3
Найдем решение двойственной задачи с помощью теоремы двойственности. Проверим выполнение системы неравенств прямой задачи:
EMBED Equation.3
Для нахождения оценок (у1,у2,у3) используем вторую теорему двойственности EMBED Equation.3 . Так как третье ограничение выполняется как строгое неравенство, то у3 =0. Так как х2 ? 0 и х3 ? 0,то получаем систему уравнений:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Двойственная задача имеет оптимальное решение у* = ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ).
Сырье первого типа имеет цену EMBED Equation.3 , сырье второго типа имеет цену EMBED Equation.3 , сырье третьего типа имеет цену 0.
Проверим выполнение первой теоремы двойственности:
f(x*) = 0+10·8+16·20 = 400
g(y*) = 360 EMBED Equation.3 + 192 EMBED Equation.3 + 0 = 400 EMBED Equation.3 f(x*) = g(y*)
3) В прямой задаче х1=0, так как при достаточно высоких затратах производство продукции I приносит небольшую прибыль.
В двойственной задаче у3=0, так как III вид сырья является избыточным и не расходуется полностью на производство продукции.
4) а) Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане.
Так как цена третьего сырья у3=0, то сырье третьего типа не дефицитно.
Дефицитное сырье первого и второго типа, так как в оптимальном плане исходной задачи используется полностью. Сырье второго типа более дефицитно (у2 = EMBED Equation.3 ), чем сырье первого типа (у1 = EMBED Equation.3 ).
б) Определим, как изменится общая стоимость продукции:
Увеличение запасов сырья I типа на одну единицу приведет к росту прибыли на EMBED Equation.3 единиц.
Уменьшение сырья II типа на одну единицу приведет к уменьшению прибыли на EMBED Equation.3 единиц.
I – возрастает на 45
II – уменьшается на 9
По теореме об оценках EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Таким образом, общая прибыль уменьшится на 5 единиц и составит 400 – 5 = 395 ед.
Определим, как изменится план выпуска продукции, если запас сырья I вида увеличить на 45 кг., а II – уменьшить на 9 кг:
Предположим, что изменения производятся в пределах устойчивости двойственных оценок, т. е. не меняется структура оптимального плана.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Так как х1 = 0, а третье ограничение выполняется как строгое неравенство, то определим изменение плана выпуска из системы уравнений:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
То есть оптимальный план выпуска будет иметь вид:
х1=0 х2=14,5 х3=15,625
f(x*) = EMBED Equation.3 395 (ден.ед)
в) оценим целесообразность включения в план изделия Г вида ценой 11ед., если нормы затрат сырья 9, 4 и 6 кг.
Вычислим величину EMBED Equation.3
Затраты на изготовление единицы изделия Г составят:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
-2,3 < 0, т.е. затраты на производство изделия Г меньше его цены, следовательно, включать изделие Г в план производства выгодно, так как оно принесет дополнительную прибыль.


Задача 3
Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий
Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вила, третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки аij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов уi вектора конечной продукции Y.
Требуется:
Проверить продуктивность технологической матрицы А = (аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Решение:
1) Составим матрицу А коэффициентов прямых затрат.
EMBED Equation.3 По условию задачи:
0,3 0,4 0,1
А = 0,1 0,2 0,4
0,3 0,4 0,1
200
Составим вектор столбец конечной продукции: Y = 300
200
Модель Леонтьева в матричной форме имеет вид:
X = A·X+Y, где
А – матрица коэффициентов прямых материальных затрат;
Х – вектор столбец валовой продукции по соответствующим отраслям;
Y – вектор столбец конечной продукции.
Находим матрицу (Е – А):
1 0 0 0,3 0,4 0,1 0,7 -0,4 -0,1
(Е – А) = 0 1 0 – 0,1 0,2 0,4 = -0,1 0,8 -0,4
0 0 1 0,3 0,4 0,1 -0,3 -0,4 0,9
Используя формулу EMBED Equation.3 , находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью MS Excel:



В результате получаем:
2,000 1,429 0,857
EMBED Equation.3 = 0,750 2,143 1,036
1,000 1,429 1,857
Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат В неотрицательны, следовательно, матрица А продуктивна.
Найдем вектор Х величин валовой продукции по отраслям используя формулу Х = BY, где
В – матрица коэффициентов полных материальных затрат;
Y – вектор столбец конечной продукции.

Получаем:
2,000 1,429 0,857 200 1000
Х =BY = 0,750 2,143 1,036 * 300 = 1000
1,000 1,429 1,857 200 1000
Приступаем к заполнению таблицы:
Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой, вытекающей из формулы EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3
Для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на величину Х1= 1000; элементы второго столбца матрицы А умножить на Х2 = 1000; элементы третьего столбца матрицы А умножить на Х3= 1000.
Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) найдем как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.
Четвертый квадрант состоит из одного показателя и служит для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта.





Задача 4
Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице
Требуется:
Проверить наличие аномальных наблюдений.
Построить линейную модель Y(t)=a0 +a1 t, параметры которой оценить МНК (Y(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
Построить адаптивную модель Брауна Y(t)=a0 +a1k с параметром сглаживания ?=0,4 и ?=0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.
Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).
Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза при доверительной вероятности p=70%).
Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах.
Решение:
Проверяем наличие аномальных наблюдений методом Ирвина:
EMBED Equation.3 , где среднеквадратическое отклонение рассчитываем, используя следующие формулы:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Построим следующий ряд, используя MS Excel:

В результате получаем следующую таблицу:

Анамальных наблюдений во временном ряду нет, так как расчетные значения ? t меньше табличного ? t < 1,6 .
2) Построим линейную модель вида Yр(t) = a0 + a1t по методу наименьших квадратов. Коэффициенты а0 и а1 линейной модели найдем из решения нормальной системы уравнений:
EMBED Equation.3
Известно, что EMBED Equation.3
Построим следующую таблицу, используя MS Excel:

Таким образом, получаем следующие данные:

Уравнение регрессии зависимости Yt от tt имеет вид: Y(t) = 10,31 + 1,85t
Также, для получения коэффициентов регрессии можно использовать настройку MS Excel «Анализ данных». Для этого занесем исходные данные в таблицу:

Затем, используя пункт Регрессия настройки - «Анализ данных» оцениваем параметры модели.




Результат регрессионного анализа представлен ниже:

Таким образом, средствами MS Excel получены коэффициенты уравнения регрессии а0 = 10,31, а1 = 1,85, стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.
Уравнение регрессии зависимости Yt от tt имеет вид: Y(t) = 10,31 + 1,85t



4) Оценим адекватность построенной модели используя MS Excel. Для нахождения необходимых показателей построим таблицу:


?t = 0, значит модель адекватна.
В нашем примере общее число поворотных точек 6.
Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 имеет вид:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
6 > 2
Неравенство выполняется, следовательно, критерий случайности ряда остатков выполнен.
Условие наличия (отсутствия) автокорреляции можно проверить по критерию Дарбина-Уотсона в основе которого лежит расчетная формула:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
d/ = 4 – 2,03 = 1,97
Критические значения статистики: d1kp=1,08 и d2kp=1,36;
d и d/ > 1,36 поэтому уровни остатков не зависимы
Условие соответствия ряда остатков нормальному закону распределения проведен по RS - критерию:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 1,27
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (2,7;3,7), т.е. 3,03 EMBED Equation.3 (2,7;3,7), значит модель адекватна.
5) Оценим точность построенной модели на основе относительной ошибки аппроксимации, рассчитанной по формуле:
EMBED Equation.3
Ошибка не превышает 15%, значит, точность модели считается приемлемой.

6) Строим прогноз по построенным моделям:
Точечный прогноз получается путем подстановки в модель значений времени t, соответствующих периоду упреждения k: t = n+k. Так, в случае трендовой модели в виде полинома первой степени - линейной модели роста - экстраполяция на k шагов вперед имеет вид:
EMBED Equation.3
Точечный прогноз на следующие две недели имеет вид:
Yn+1=10,31+1,85(9+1)=28,81
Yn+2=10,30+1,85(9+2)= 30,66
Учитывая, что модель плохой точности будем прогнозировать с небольшой вероятностью Р=0,7
Доверительный интервал:
Критерий Стьюдента (при доверительной вероятности р = 0,7; ? = n-2= 9-2=7), равен: t= 1,119
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Интервальный прогноз равен U10 = 28,81 ± 1,88
U11= 30,66 ± 1,99
7) Представим графически результаты моделирования и прогнозирования для этого составим таблицу:




Список литературы
1. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде Excel / Практикум: Учебное пособие для вузов. – М.: ЗАО, 2000. – 136 с.
2. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учеб. пособие. – М.: Вузовский учебник, 2007. – 365 с.
3. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. – 391 с.