Задача 1. Вариант 5 Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области Даны следующие исходные данные: Y-цена квартиры, тыс. руб. X3 (общая площадь квартиры) X5 (этаж квартиры) X6(площадь кухни)
115 70,4 9 7
85 82,8 5 10
69 64,5 6 10
57 55,1 1 9
184,6 83,9 1 9
56 32,2 2 7
85 65 12 8,3
265 169,5 10 16,5
60,65 74 11 12,1
130 87 6 6
46 44 2 10
115 60 2 7
70,96 65,7 5 12,5
39,5 42 7 11
78,9 49,3 14 13,6
60 64,5 11 12
100 93,8 1 9
51 64 6 12
157 98 2 11
123,5 107,5 12 12,3
55,2 48 9 12
95,5 80 6 12,5
57,6 63,9 5 11,4
64,5 58,1 10 10,6
92 83 9 6,5
100 73,4 2 7
81 45,5 3 6,3
65 32 5 6,6
110 65,2 10 9,6
42,1 40,3 13 10,8
135 72 12 10
39,6 36 5 8,6
57 61,6 8 10
80 35,5 4 8,5
61 58,1 10 10,6
69,6 83 4 12
250 152 15 13,3
64,5 64,5 12 8,6
125 54 8 9
152,3 89 7 13
Рассчитайте матрицу парных коэффициентов корреляции; оцените статистическую значимость коэффициентов корреляции. Постройте поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора. Рассчитайте параметры линейной парной регрессии для каждого фактора Х.. Оцените качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера. Выберите лучшую модель. Для выбранной модели осуществите прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора составит 80% от его максимального значения. Представьте графически: фактические и модельные значения, точки прогноза. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), постройте модель формирования цены квартиры за счёт значимых факторов. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии. Оцените качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, ? - и ? - коэффициентов. Решение: При решении данной задачи расчеты и построение графиков и диаграмм будем вести с использованием настройки Excel Анализ данных. 1. Рассчитаем матрицу парных коэффициентов корреляции и оценим статистическую значимость коэффициентов корреляции. Чтобы рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции скопируем таблицу с исходными данными в Excel. Далее воспользуемся инструментом Корреляция, входящим в настойку Анализ данных. В диалоговом окне Корреляция в поле Входной интервал вводим диапазон ячеек, содержащих исходные данные. Так как мы выделили и заголовки столбцов, то устанавливаем флажок Метки в первой строке. Получили следующие результаты: Таблица 1.1. Матрица парных коэффициентов корреляции:
Y-цена квартиры, тыс. руб. X3 (общая площадь квартиры) X5 (этаж квартиры) X6(площадь кухни)
Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная Y, т.е. цена квартиры имеет более тесную связь с Х3 (общая площадь квартиры). Коэффициент корреляции равен 0,845.Это означает, что на 84,5 зависимая переменная Y (цена квартиры) зависит от показателя Х4 общая площадь квартиры. Также зависимая переменная Y (цена квартиры) имеет среднюю связь с Х6 (площадь кухни) и слабую связь с Х5 (этаж квартиры). Статистическая значимость коэффициентов корреляции определим с помощью t-критерия Стьюдента. Табличное значение сравниваем с расчетными значениями. Для каждого коэффициента r(Y, Xj) вычислим t-статистику по формуле t = и занесем результаты расчетов в корреляционную таблицу:
Y-цена квартиры, тыс. руб. X3 (общая площадь квартиры) X5 (этаж квартиры) X6(площадь кухни) Критерий Стьюдента
Вычислим табличное значение с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР. tтабл.= 2,024 при доверительной вероятности равной 0,95 и степенью свободы (n-2) Статистическим значимым является фактор Х3. 2. Построим поле корреляции результативного признака (стоимости квартиры) и наиболее тесно связанного с ним фактора (жилой площади квартиры). Для этого воспользуемся инструментом построения точечной диаграммы программы Excel. В результате получаем поле корреляции цены квартиры, тыс. долл. и жилой площади квартиры, кв.м. (рисунок 1.1.)
Рисунок 1.1. 3. Рассчитаем параметры линейной парной регрессии для каждого фактора Х. Для расчета параметров линейной парной регрессии воспользуемся инструментом Регрессия, входящим в настойку Анализ данных. В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y вводим адрес диапазона ячеек, которые представляет зависимую переменную, т.е. стоимость квартир. В поле Входной интервал Х вводим адрес диапазона, который содержит значения независимых переменных. Выполним поочередно вычисления параметры парной регрессии для каждого фактора. Для Х3 получили следующие данные, представленные в таблице 1.2: Таблица 1.2 Регрессионная статистика
X3 (общая площадь квартиры) 1,542594 0,158007 9,762849 6,62E-12
Уравнение регрессии зависимости цены квартиры от общей площади квартиры имеет вид: Y3=-13,109+1,542*X3 Для Х5 получили следующие данные, представленные в таблице 1.3: Таблица 1.3 Регрессионная статистика
Уравнение регрессии зависимости цены квартиры от этажа квартиры имеет вид: Y5=80,343+1,888*X5 Для Х6 получили следующие данные, представленные в таблице 1.4: Таблица 1.4 Регрессионная статистика
Уравнение регрессии зависимости цены квартиры от площади кухни имеет вид: Y6=33,373+5,993*X6 4. Оценим качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера. Установим, какая модель является лучшей. Коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации мы получили в результате расчетов, проведенных в пункте 3. А) Коэффициент детерминации определяет, какая доля вариации признака У учтена в модели и обусловлена влиянием не него фактора Х. Чем больше значение коэффициента детерминации, тем теснее связь между признаками в построенной математической модели Из таблиц 1.2, 1.3, 1.4 видно, что наибольшее значение коэффициента детерминации имеет фактор X3 (0,715). Исходя из данного критерия наиболее адекватной является модель уравнения регрессии зависимости цены квартиры от общей площади квартиры (Х3) Б) Средняя ошибка аппроксимации: Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассмотрим остатки модели Еi = Yi – YТi, содержащиеся в столбце Остатки итогов программы РЕГРЕССИЯ (таблица «вывод остатка»). Дополним таблицу столбцом относительных погрешностей, которые вычислим по формуле Еотн.i = 100 с помощью функции ABS. Выполнение расчетов для модели (3): Наблюдение Предсказанное Y-цена квартиры, тыс. руб. Остатки Относительный остаток
