ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Контрольная работа
По дисциплине « Экономико-Математические методы
и прикладные модели»
Вариант №6
Исполнитель:
Специальность:
Группа:
№ зачетной книжки
Руководитель:
Владирир,2009 г.
Задача №1. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
Финансовый консультант фирмы «АВС» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25000$) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».
Анализируются акции «Дикси –Е» и «Дикси –В». Цены на акции: «Дикси –Е» - 5$ за акцию; «Дикси –В» - 3$ за акцию.
Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук.
По оценкам «АВС» прибыль от инвестиций в эти две акции в следующем году составит: «Дикси –Е» - 1,1$; «Дикси –В» - 0,9$.
Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?
Решение
Пусть х1 – количество акций «Дикси-Е», а х2 – количество акций «Дикси-В».
Согласно условию:
5*x1 + 3*x2 25000 – клиент хочет вложить не более 25000$.
x1 +x2 6000–максимальное количество акций обоих типов 6000 шт.
x1 5000 , x2 5000 –максимальное количество акций одного типа 5000 шт.
1,1* x1+0,9* x2 –прибыль от владения акциями
Таким образом, экономико-математическая модель имеет вид.
F(x) =1,1* x1+0,9* x2 > mах
При следующих ограничениях:
5*x1 + 3*x2 25000 - I
x1 +x2 6000- II
x1 5000 – III
x2 ? 5000 IV
x1 ? 0 V
x2 ? 0 VI
Этап 1. Определим множество решений первого неравенства. Оно состоит из решений уравнения и строгого неравенства. Решением уравнения служат точки прямой 5x1 +3 x2 = 25000 .
Данной прямой принадлежат точки: при х1 = 0; х2 = 8333.33 т.е. точка с координатами (0;8333.33) и при х2 = 0; х1 = 5000 т.е. точка с координатами (5000; 0)
Построим прямую по двум точкам (0;8333.33) и (5000; 0). На графике обозначим эту прямую цифрой I.
Множество решений строгого неравенства есть одна из полуплоскостей, на которую делит плоскость построенная прямая. В качестве контрольной точки возьмем начало координат 0 < 25000. Неравенство выполняется. Значит областью допустимых решений (ОДР) неравенства является нижняя полуплоскость.
Аналогичным образом определим ОДР других неравенств.
Прямой x1 +x2 = 6000 принадлежат точки х1 = 0 х2 = 6000 (0; 6000) и х2 = 0 х1 = 6000 (6000; 0)
Построим прямую по двум точкам (0;6000) и (6000; 0). На рисунке обозначим эту прямую цифрой II. Множество решений неравенства нижняя полуплоскость, т.к. 0 < 6000 (неравенство выполняется). Значит областью допустимых решений (ОДР) неравенства является нижняя.
Прямая x1 =5000 параллельна оси ОУ. На рисунке обозначим эту прямую цифрой III. Множество решений неравенства левая полуплоскость.
Прямая x2 =5000 параллельна оси ОХ. На рисунке обозначим эту прямую цифрой IV. Множество решений неравенства нижняя полуплоскость.
x1 ? 0 V и x2 ? 0 VI Означает, что решение системы неравенств находится в первой координатной четверти.
Заштрихуем общую область для всех неравенств, обозначим вершины буквами АВСДО. Так как ОДР ограниченна, то функция имеет максимум и минимум.
Найдем координаты этих точек:
Точка А с координатами (0;5000) т.е. А(0;5000)
Точка В находится на пересечении прямых II и IV следовательно для нахождения ее координат запишем систему уравнений:
x1 + x2 = 6000
x2 = 5000
Решая эту систему уравнений находим координаты точки В
х2=5000
x1=1000
В(1000;5000)
Точка C находится на пересечении прямых I и II следовательно для нахождения ее координат запишем систему уравнений:
5*x1 + 3*x2 25000 - I
x1 +x2 6000- II
Решая эту систему уравнений находим координаты точки C
3*х1+3х2=18000
5х1+3х2=25000
3х1+3х2-5х1-3х2=18000-25000=-7000
-2х1=-7000
х1=3500
х2=6000-3500=2500
C(3500;2500)
Координаты точки Д находятся на пересечении прямой II с осью координат входящей в ОДЗ, а именно (5000;0)
Д (5000;0)
Находим значения целевой функции в этих точках
F(A) = 1,1*0+0,9*5000=4500
F(B) = 1,1*1000+0,9*5000=5600
F(C) =1,1*3500+0,9*2500=6100
F(Д) = 1,1*5000+0,9*0=5500
Этап 2.
Приравниваем целевую функцию постоянной величине «а»:
1,1x1 +0,9x2 = а
это уравнение – множество точек, в которых F(x) принимает значения равное «а», получим семейство параллельных прямых каждая из которых называется линией уровня.
Пусть а = 0.
Вычислим координаты двух точек G (3600;-4400), О (0;0), построим прямую ОG.
Этап 3.
Для определения направления движения к оптимальному плану построим вектор – градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции, т.е. С (С1;С2); С(1,1;0,9).
Построим вектор, соединив точки (1,1; 0,9 ) с началом координат.
При максимизации целевой функции необходимо передвигать линию уровня в направлении вектора градиента, а при минимизации в противоположном. Последняя точка ОДЗ, которую пересечет линия уровня и будет точкой максимума (или соответственно минимума).


Рис. 1. Графическое решение типовой задачи оптимизации
Таким образом, мах F=F(С)=6100. Максимальная прибыль будет получена при покупке 3500 шт. акций «Дикси-Е», и 2500 шт. акций «Дикси-В».
При минимизации функции получаем, что минимальная прибыль составляет 0, при отказе от покупки акций.
Задача №2. Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.
Для изготовления трех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Таблица 1
Исходные данные
Тип сырья
Нормы расхода сырья на одно изделие

Запасы
сырья


А
Б
В



I
II
III

18
6
5

15
4
3

12
8
3

360
192
180

Цена изделия
9
10
16


Требуется:
Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 45кг, а II - уменьшить на 9кг;
оценить целесообразность включения в план изделия "Г" ценой 11ед., на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6кг соответствующего вида сырья.
Решение
1. Постановка экономической задачи
Обозначим через х1 –количество изделий А,
х2 –количество изделий Б,
х3 –количество изделий В.
Ограничение 1: запас сырья I типа не более 360:
18*х1 +15*х2 +12*х3360
Ограничение 2: запас сырья II типа не более 192:
6*х1 +4*х2 +8*х3192
Ограничение 3: запас сырья III типа не более 180:
5*х1 +3*х2 +3*х3180
Ограничение 4: количество изделий не может быть отрицательным:
xi. 0,
Целевая функция : максимум выручки:
9*х1+10*х2+16*х3(мах.

Описание компьютерной информационной технологии получения оптимального решения

Рис. 2. Формулы расчета

Рис. 3. Поиск решения и результаты расчета
Получен оптимальный план:
х1=0
х2=8
х3=20
Сформулируем двойственную задачу и найдем ее оптимальный план.
18у1 + 6у2 + 5у3 9
15у1 + 4у2 + 8у3 10
12у1 +8у2 + 3у3 16
уj ? 0 j=1,3
F*=360*у1+192*у2+180*у3> min
Проверим как удовлетворяет система функциональных ограничений оптимальным планом Х* (0,74,32)
0*18 + 8*15 + 20*12=360 = 360
0*6 + 8*4 + 20*8 =192=192
0*5 + 8*3 + 20*3 =84<180
По второй теореме двойственности, так как третье неравенство выполняется как строгое неравенство, то у3=0. Так как х2 ? 0 и х3 ? 0, то берем второе и третье неравенства:
15у1 + 4у2 + 8*0= 10
12у1 +8у2 + 3*0 = 16
2*15у1+2*4у2=2*10
12у1+8у2=16
30у1+8у2-12у1-8у2=20-16
18у1=4
у1=4/18=0,222
у2=(10-15*0,22)/4=1,67
F*=360*0,222+192*1,67+180*0=400
Так как мах F= min F*, то согласно первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.
3. Нулевые значения переменных в оптимальном плате означают, что продукция данных видов (А) не выпускается.
4.Увеличение запасов сырья I-ого типа увеличит максимальную выручку на 0,22 у.д.е., увеличение запасов сырья II-ого типа увеличит максимальную выручку на 1,67 у.д.е, увеличение зап