ЭКОНОМЕТРИКА
Половников Виктор Антонович
Кафедра Экономико-математических методов и моделей, 211.
Консультации:
- вторник 12-18
- пятница 10-14
Литература:
Экономико-математические методы и прикладные модели. Под ред.Федосеева.
Методы анализа экономических процессов.
Особенности и структура временных рядов
Методы предварительного анализа временных рядов
Сглаживание временных рядов
Показатели динамики экономических процессов
Особенности и структура временных рядов.
В настоящее время наиболее актуальным является не сравнение предприятий между собой по какой-то группе показателей, а сопоставление одного показателя по одному предприятию за ряд последовательных периодов времени. Информационной базой для такого анализа служат динамические и (или) временные ряды.
Последовательность наблюдения одного явления или показателя, упорядоченного в зависимости от последовательно возрастающих или убывающих значений другого признака, называют динамическим рядом. Например, зависимость прибыли банка от объема депозитных вкладов.
Если в качестве признака, по которому производится упорядочивание, берется время, то такие ряды называю временными рядами.
Временные ряды классифицируют на интервальные и моментные. Если уровни (или наблюдения) временного ряда характеризуют процесс за какой-то период времени, то такие ряды называют интервальными. Если же уровни временных рядов характеризуют процесс на какой-то определенный момент времени, то такие ряды называют моментные.
Основной характеристикой временного ряда является его длина. Под длиной временного ряда обычно понимается период времени, прошедший от первого наблюдения до последнего. Иногда под длиной временного ряда также понимают количество наблюдений в ряду.
Особенности временных рядов.
Предположим, что у нас есть данные y1,y2...y10. Прибыль успешно работающего банка за 10 последовательных месяцев. И есть данные по прибыли 10 банков за 1 месяц - х1, х2, … ,х10. В первом случае уровне зависят друг от друга, во втором нет.
Во временных рядах последовательные наблюдения, как правило, зависят друг от друга, а в простых статистических последовательностях такая зависимость не наблюдается.
Информационная ценность уровней временного ряда уменьшается по мере их удаления от текущего момента времени.
Точность характеристик временного ряда зависит от числа наблюдений во временном ряду, но эта зависимость не является прямо пропорциональной.
Структура временных рядов.
В общем случае временной ряд можно разделить на составляющие его компоненты:
Основная компонента это тренд. (u)
Следующая компонента – сезонная. (s)
Циклическая компонента
Нерегулярная (случайная) компонента. (e)
Под трендом понимается устойчивое систематическое изменение процесса в течении продолжительного периода времени. На финансовых рынках различают тренд трех видов:
Возрастающий (бычий) тренд
Ниспадающий (медвежий) тренд
Боковой тренд (колебания происходят вокруг какого то среднего значения)
Для определения направленности используют слово тенденция. Это более общая характеристика, чем тренд. Тенденция среднего текущего значения является трендом.
Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах экономических проессов часто наблюдаются более или менее регулярные колебания. Если такие колебания носят строго периодический характер и завершаются в течение одного года, то их называют сезонными колебаниями. Основной причиной, вызывающей сезонные колебания, является изменение природно-климатических условий в течение года. Сезонность также вызывают праздники, а также так называемые календарные эффекты, т.е. окончания кварталов, полугодий и т.д.
Сезонность оказывает негативное воздействие на экономические процессы, т.к. она приводит к аритмии производственных процессов.
Циклические колебания. Если период колебания составляет несколько лет, либо период колебания меньше года, то говорят о присутствии в процессе циклической компоненты. Для анализа процессов длительных колебаний нужны исходные данные за 100 лет и более.
Случайная компонента образуется из-за воздействия на экономический процесс случайных субъективных факторов. Если из исходного временного ряда правильно выделены систематические компоненты, то оставшаяся часть временного ряда и представляет собой случайные или нерегулярные компоненты. Временной ряд, составленный из значений случайной компоненты должен соответствовать ряду гипотез:
Его математическое ожидание должно приблизительно равняться нулю
Значения остаточной компоненты должны быть независимы друг от друга.
Совокупность значений остаточной компоненты должна подчиняться нормальному закону распределения.
Между компонентами временного ряда могут быть следующие виды взаимосвязей:
y1=u1+s1+e1 (аддитивная модель)
y1=u1*s1*e1 (Мультипликативная модель), для экономических процессов y1=u1*s1+e1
Методы предварительного анализа временных рядов.
Анализ временных рядов целесообразно начинать с выявления, и если необходимо, то и устранения аномальных, т.е. нехарактерных для данного процесса наблюдений. Причинами возникновения аномальных наблюдений могут быть ошибки первого и второго рода.
К ошибкам первого рода относят ошибки, возникающие при сборе и передаче информации, при агрегировании и дезагрегировании экономических показателей и по другим техническим причинам. Аномальные наблюдения, возникающие из-за ошибок первого рода, подлежат устранению.
К ошибкам второго рода относя ошибки, возникающие из-за воздействия на процесс факторов, имеющих объективный характер, но проявляющих свои экстремальные воздействия крайне редко. Аномальные явления, возникающие из-за ошибок второго рода, устранению не подлежат.
Таким образом, процедура устранения аномальных наблюдений складывается из трех задач:
Обнаружение аномальных наблюдений
Выявление причины их возникновения
Устранение аномальных явлений
Для обнаружения аномальных явлений можно использовать метод Ювлена.
Sy – среднеквадратическое отклонение.
Расчетное значение лямбда сравнивается с табличными значениями. Если расчетное значение будет больше табличного, следовательно, данное наблюдение является аномальным.
Выявление причин. Чисто экономический анализ, математических средств нет.
Аномальное явление можно устранить путем его замены на среднее значение соседних с ним уровней ряда.
После устранения аномальных наблюдений ряд исследуется на наличие тенденций характеристик ряда, и в первую очередь, на наличии тенденции в среднем текущем значении, т.е. на наличие тренда.
Метод Фостера-Стьюарта. Используется для определения наличия тренда и тенденции в дисперсии временного ряда. Предположим, что имеется временной ряд, состоящий из наблюдений y:
Производится сравнение каждого уровня временного ряда со всеми предшествующими ему уровнями временного ряда. При этом фиксируется величина U.
Анализируя формулу для вычисления значений S и D можно отметить , что величина 0<=S<=n-1 Величина S=0, когда все уровни ряда равны между собой. Дисперсия такого ряда равна нулю. S=n-1 когда ряд является либо монотонно возрастающим, либо монотонно убывающим. Дисперсия такого ряда равна большой величине. Таким образом величина S характеризует наличие или отсутствие тенденции в дисперсии временного ряда.
Для величин S и D вычисляем значение статистики t критерия Стьюдента.Мю – это математическое ожидание величины S, определенное для ряда, в котором уровни расположены случайным образом. Сигма – среднеквадратическое отклонение величин соответственно S и D.
Расчетное значение величин ts и td сравниваются с табличным значением критерию Стьюдента, которое зависит от вероятности (достоверности) с которой определяется наличие тенденции и числа степеней свободы. В данном случае число степеней свободы равно n-1. Если расчетное значение ts больше табличного, то тенденция в дисперсии временного ряда присутствует, и если меньше, то отсутствует. Если td больше табличного значения, то тренд есть, если меньше, то тренда нет.
Пример:
S=7
D=-3
Мю=3,858, Сигма1=1,288, Сигма2=1,964
Ts=2,44
Td=1,53
Tтабл = 1,383
Ts больше табличного, значит тенденция присутствует. Тренд тоже есть.
Сглаживание временных рядов.
Сглаживание временных рядов проводится по следующим причинам:
В ряде случаев при графическом изображении временного ряда тренд прослеживается недостаточно отчетливо. Поэтому ряд сглаживают, на график наносят сглаженные значения и, как правило, тенденция проявляется более четко.
Некоторые методы анализа и прогнозирования требуют в качестве предварительного условия сглаживание временного ряда.
Методы сглаживания в настоящее время применяются для непосредственного прогнозирования экономических показателей.
Существующие методы сглаживания делят на две группы:
Сглаживание с использованием кривой, проведенной относительно фактических значений ряда так, чтобы эта кривая отображала тенденцию, присущую ряду и одновременно освобождала его от мелких незначительных колебаний. Такие кривые называют еще кривыми роста, и они используются главным образом для прогнозирования экономических показателей.
Методы механического сглаживания. При использовании этих методов производится сглаживание каждого отдельного уровня ряда с использованием фактических значений соседних с ним уровней.
Значительную группу методов механического сглаживания составляют методы, основанные на использовании полиномов различного порядка. Поэтому при использовании таких методов первоочередной задачей является подбор наиболее подходящего полинома для сглаживаемого ряда.
Полином первого порядка yi=a0+a1t
Второго порядка yi=a0+a1t+a2t2
Эта задача решается либо графически, либо аналитическим способом. В качестве аналитического способа применяют метод конечных разностей.
Использование этого метода предполагает предварительное выполнение следующих условий:
Исходные временной ряд должен состоять только из двух компонент – тренда и случайной компоненты.
Тренд должен быть гладким. (его можно описать с использованием Полиного какого-либо порядка)
Математическое ожидание случайной компоненты должно быть равно 0, дисперсия ее должна быть постоянной величиной и она должна подчиняться нормальному закону распределения.
Описание метода:
Вычисляются разности первого, второго и более высоких порядков по следующим соотношениям: Ut=Yt-Yt-1
Для каждого разностного ряда вычисляется дисперсия.
Производится последовательное сравнение дисперсий между собой. Процедура сравнения дисперсий продолжается до тех пор, пока две последовательные дисперсии не будут приблизительно равны между собой. Предположим что приблизительно равны дисперсии k-того и k-1 ряда. В этом случае в качестве наилучшего выбирается полином k-1 порядка.
Пример:
Метод простой скользящий средней. Используется для сглаживания тех временных рядов, для которых в качестве наилучшего выбран полином первого порядка.
Алгоритм:
Определяется интервал сглаживания, т.е. число входящих в него уровней m. m<n. Число m определяют по следующим правилам:
Если нужно сгладить мелкие беспорядочные колебания, то значение m по возможности увеличивают, если же нужно сгладить циклически повторяющиеся колебания, то m уменьшают.
В качестве m рекомендуется брать нечетные числа.
Вычисляются средние значения уровней, входящих в интервал сглаживания.Y с чертой – среднее значение уровней, входящих в интервал сглаживания, которое одновременно является сглаженным значением уровня, находящегося в середине интервала сглаживания. P=(m-1)/2
Производится сдвиг интервала сглаживания на одну точку вправо. Вычисляется среднее сглаженное значение для момента t+1, затем снова производится сдвиг вычисления и т.д.
В результате такой итерационной процедуры получаем n-(m-1) сглаженных уровней ряда, т.е. не сглаживаются (теряются) p первых и p последних уровней исходного временного ряда, что является существенным недостатком данного метода.
Метод взвешенной скользящей средней.
Он применяется для сглаживания тех временных рядов, для которых в качестве наилучшего выбран полином второго, третьего или более высоких порядков. Алгоритм метода практически такой же, как и алгоритм метода простой скользящей средней. Различие состоит только в том, что каждому уровню, входящему в интервал сглаживания, предается определенный весовой коэффициент. Значение этого коэффициента зависит от порядка выбранного полинома, от интервала сглаживания и от местоположения уровня в интервале сглаживания.
Если в качестве наилучшего выбран второй или третий порядок полинома и m=5, то весовые коэффициенты будут следующие: 1/35 (-3, 12, 17, 12, -3).
Коэффициенты симметричны относительно центрального члена и сумма коэффициентов с учетом общего множителя равна единице.
Недостаток этого метода такой же, как и у метода простой скользящей средней – не сглаживается (теряется) p первых и p последних уровней исходного временного ряда.
Коэффициенты рассчитываются по методу наименьших квадратов.
Кроме того, существуют методы, при использовании которого потерь уровней не происходит.
Метод экспоненциального сглаживания.
Особенность его заключается в том, что в процедуре сглаживания каждого уровня ряда участвуют фактические значения только предшествующих ему уровней ряда, которые берутся с определенным весом. Этот вес уменьшается по мере удаления уровней от момента сглаживания.
Сглаживание осуществляется по следующей формуле:
Альфа – параметр сглаживания, может изменятся в пределах (0-1).
Для коротких временных рядов 0,6-0,3
Для длинных – 0,3-0,1
и т.д.
Т.о. чем дальше уровень от момента времени t , тем у него весовой коэффициент меньше, и уменьшение уровня происходит по экспоненциальному закону.
Общая формула метода экспоненциального сглаживания:
j – число периодов отставания от момента сглаживания.
В качестве Sо рекомендуется брать в случае длинных рядов первое наблюдение ряда, и в случае коротких рядов – среднее значение нескольких первых уровней ряда.
Показатели динамики экономических процессов.
Показатели роста и прироста для суммарных временных рядов.
Предположим, что имеется m частных временных рядов, каждый частный ряд имеет номер j. Сумма частных временных рядов составляет новый ряд.
Цепной темп роста равен средневзвешенной арифметической из значений уровней частных рядов на данный момент времени. В качестве весов используются значения временных рядов на предшествующий момент времени.
В данной формуле цепные темпы роста частных рядов можно заменить их средним значением.
В полученной формуле в качестве весов также используются уровни предшествующих периодов частных временных рядов, поэтому вес уровней, имеющих больший средний темп роста с течением времени будет возрастать. Следует также отметить, что цепной темп роста суммарного ряда (Ро t) на каждом шаге будет изменятся даже если цепные темпы роста частных рядов будут оставаться неизменными.
Аналогичным образом можно показать, что средний темп роста суммарного ряда также равен взвешенной степенной средней из средних темпов роста частных рядов.
Таким образом, задавая различные значения средним темпам роста частных рядов, можно определить средний темп роста суммарного ряда за интересующий период времени. Кроме того можно определить и значения самого обобщенного показателя на тот или иной момент времени.
Автокорреляция.
Коэффициент парной корреляции характеризует тесноту связи между двумя линейными явлениями. Изменяется от +1 до -1.
В большей части временных рядов экономических процессов существует взаимосвязь между уровнями одного и того же ряда. Эту связь удобно представить в виде корреляционной зависимости между исходным временным рядом и этим же рядом, но сдвинутым относительно исходного на Тау моментов времени. Величину Тау называют сдвигом.
Предположим, что Тау=1, тогда сдвинутый временной ряд расположится относительно исходного следующим образом:
Если вычислить коэффициент парной корреляции между двумя такими рядами, то он будет характеризовать взаимосвязь между соседними уровнями одного и того же ряда.
Если Тау=2, тогда сдвинуты ряд расположится относительно исходного соответствующим образом и коэффициент парной корреляции будет характеризовать взаимосвязь между уровнями ряда, расположенными через одно значение.
Совокупность коэффициентов автокорреляции (r), вычисленных при различных значениях Тау, называют автокорреляционной функцией. Ее удобно представить в виде графика.
Такой график называют корреограммой.
Упрощенная формула вычисления коэффициента автокорреляции имеет вид:
Показатели устойчивости и колеблемости временных рядов.
Показатели устойчивости и колеблемости временных рядов могут рассматриваться в двух аспектах:
Устойчивость относительно основной тенденции процесса, или устойчивость относительно тренда
Устойчивость направленности изменений уровней ряда.
В первом случае устойчивость рассматривают как величину, обратную колеблемости. Колеблемость Vy=Sy’/y ср. Sy’ – среднее квадратическое отклонение относительно линии тренда.
n-p – число степеней свободы. N – число уровней в исходном ряду, p – число задействованных параметров (зависит от формулы тренда – уравнение первого, второго и т.д. порядка).
Коэффициент устойчивости: Wy=(1-Vy)100%
Чем ближе к 1, тем более устойчивый процесс.
Устойчивость во втором смысле характеризует уровни ряда как процесс их направленного изменения. С этой точки зрения полной устойчивостью направленного изменения уровней временного ряда следует считать такие изменения, при которых каждый следующий уровень будет либо выше всех предшествующих ему уровней (устойчивый рост), либо ниже (устойчивое снижение). Всякое отступление от такой строго ранжированной последовательности изменения уровней ряда будет свидетельствовать о неполной устойчивости изменения уровней ряда. Такую устойчивость можно измерять с использованием коэффициента ранговой корреляции, предложенного Спирманом:
Дельта – разность между номером уровня и присвоенном ему рангом. Чем ближе значение коэффициента ранговой корреляции к 1, тем более устойчивым считается изменение данного процесса.
R= 1-6*36/990=0,78 – ряд устойчивый. (>0,6)
Кривые роста.
Характеристики кривых роста
Методы вычисления параметров кривых роста
Критерии точности и адекватности экономико-математических моделей.
Прогнозирование экономических показателей с использованием кривых роста.
Характеристики кривых роста
Группа кривых роста:
Полиномы (многочлены)
Экспоненциальные кривые
S-образные кривые
Полиномы:
Полиномы первого порядка:
Yt=ao+a1t
Ut=Yt-Yt-1=a1
Скорость постоянная.
Полином второго порядка:
Yt=ao+a1t+ a2t2
Прирост Ut= Yt-Yt-1= a1- a2t+2a2t
Анализируя формулу для вычисления приростов можно отметить 2 особенности:
Вычислением прироста полином более высокого порядка можно привести к полиному более низкого порядка.
В правых частях формул для вычисления приростов отсутствует значение самой функции, т.е. приросты зависят только от времени. С экономической точки зрения это означает следующее: если дальнейшее развитие исследуемого процесса не зависит от уже достигнутого им уровня, то хорошее описание такого процесса можно получить с использованием полинома какого либо порядка.
Экспоненциальные кривые:
Их использование в отличие от полиномов наоборот предполагает, что дальнейшее развитие процесса зависит от уже достигнутого уровня.
Простая экспонента:
Y=abt
logYt=log a + t log b= a’ + b’t
Для процессов, соответствующих простой экспоненте, отношение прироста к ординате (или к функции) для каждого момента времени постоянно и равно параметру b.
Модифицированная экспонента.
Y=k+abt
K – асимптота, или предел насыщения, к которому стремится экспонента.
Для процессов, следующих по модифицированной экспоненте последовательное отношение приростов является постоянной величиной и равно параметру b.
S-образные кривые:
Кривая Гомпертца
log (Ut/Yt) – линейно изменяется. (логарифм отношения прироста к функции)
Логистическая кривая.
Для логистической кривой изменяется логарифм отношения прироста к квадрату функции.
Все S-образные кривые имеют точку перегиба, до которой приросты положительны, после – отрицательны. Для логистической кривой нижняя и верхняя ветвь ее графического изображения симметричны относительно точки перегиба.
Вычисление параметров кривых роста.
Производится с помощью метода наименьших квадратов.
Q необходимо минимизировать.
Для этого берем частные производные по параметру a и b, приравниваем к нулю и вычисляем.
Это не подлинные параметры, а их оценки. Эти оценки обладают тремя свойствами:
Несмещенности
Состоятельности
Эффективности
Несмещенность означает, что математическое ожидание оценок параметра равно их истинному значению.
Состоятельность означает, что дисперсия оценок параметров стремиться к нулю при t стремящемся к бесконечности.
Эффективность означает, что оценки, вычисленные по методу наименьших квадратов имеют минимальную дисперсию по сравнению с оценками, полученными любым другим способом.
Поэтому при вычислении параметров уравнений кривых роста в первую очередь стараются использовать метод наименьших квадратов.
Метод наименьших квадратов можно использовать для вычисления параметров тех функций, в которых функция линейна относительно параметра.
Оценка параметров полинома второго порядка.
Поскольку функция линейна относительно параметра, можно применить метод наименьших квадратов, взяв три производных по трем параметрам и решив систему из трех уравнений.
Вычисление параметров простой экспоненты:
Т.к. свойство линейности относительно параметров не выполняется, то исходные уравнения путем различных преобразований стараются привести к линейному виду. Перевод уравнения из нелинейного в линейное называется линеализацией.
В данном случае процедура линеализации заключается в логарифмировании.
После решения системы уравнений, осуществляется потенцирование (обратный переход).
Вычисление параметров кривых, имеющих асимптоту.
Различают два случая:
Значение асимптоты известно заранее и остается определить только оставшиеся два параметра. В таких случаях исходное уроавнение линеализуют и для вычисления оставшихся параметров используют метод наименьших квадратов.
Значение асимптоты неизвестно, его нужно вычислять наряду с другими параметрами. В этом случае применение метода наименьших квадратов не всегда возможно и параметры вычисляют либо специальными методами, индивидуальными для каждого уравнения, либо использую приближенные методы, например метод средних. Частными случаями метода средних являются метод трех сумм и метод трех точек. При их использовании исходный временной ряд делят на три равных периода, для каждого периода по специальному алгоритму составляют уравнение, в результате получают систему из трех уравнений с тремя переменными, решение которой и позволяет получить оценки всех параметров.
Критерии точности и адекватности экономико-математических моделей.
Для оценивания качества экономико-математических моделей используются критерии точности.
Стандартная ошибка отклонения.
Стандартная ошибка отклонения:
Модель, для которой она будет минимальна, считается более точной.
Коэффициент стабильности.
Модель, для которой он минимален, также является более точной.
Оба эти показателя можно использовать только для сравнения нескольких моделей.
Средняя ошибка аппроксимации:
Может быть использована для анализа точности одной модели.
Для экономических показателей модель считается точной, если средняя ошибка аппроксимации менее 5%.
Модель считается приемлемой, если средняя ошибка аппроксимации менее 15%
Использование критериев точности для оценивания качества моделей имеет существенные недостатки:
Для любого экономического процесса (временного ряда) можно подобрать такую модель, для которой ошибки или коэффициенты точности будут практически равны нулю, но, как правило, такие модели не соответствуют экономическому содержанию исследуемого процесса.
В значительном числе случаев критерии точности дают противоречивые оценки.
Поэтому в настоящее время для оценивания качества моделей наряду с критериями точности используют так называемые критерии адекватности. Суть критериев адекватности заключается в проверке соответствия временного ряда, состоящего из значений остаточной компоненты, ряду статистических гипотез, таких как:
Проверка, являются ли случайными величинами последовательные значения остаточной компоненты.
Проверка равенства математического ожидания остаточной компоненты нулю.
Проверка независимости последовательных значений остаточной компоненты между собой.
Проверка подчиненности значений остаточной компоненты нормальному закону распределения.
В случае выполнения всех перечисленных гипотез модель считается адекватной процессу.
Проверка случайности.
Это можно сделать с помощью метода поворотных точек.
Точка считается поворотной, если она одновременно либо больше, либо меньше соседних с ней точек.
Для нашего ряда поворотные точки: 2, 3, 4, 6, 7, 9
P=6 количество поворотных точек.
Расчетное значение поворотных точек сравнивается со следующим выражением:
Если расчетное значение больше числа, вычисленному по этой формуле, то гипотеза по случайному значению остаточной компоненты принимается и модель считается адекватной процессу по данному критерию.
Проверка равенства математического ожидания нулю.
Используется Т-критерий Стьюдента.
St – среднеквадратическое отклонение.
Расчетное значение Т-критерия сравнивается с табличным значением. В свою очередь табличное значение выбирается с числом степеней свободы n-1 и с заданной достоверностью.
Если расчетное значение Т-критерия меньше табличного, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания остаточной компоненты принимается и модель считается адекватной процессу по данному критерию.
Проверка независимости последовательны значений остаточной компоненты.
Осуществляется с использованием критерия Дарбина-Уотса.
Расчетное значение сравнивается с двумя табличными, D1 нижнее и D2 верхнее. При таком сравнении возможны 4 варианта:
Расчетное значение меньше D1. В этом случае гипотеза отклоняется и модель считается неадекватной процессу.
D>D2 , D<2 При этом варианте гипотеза принимается и модель считается адекватной процессу по данному критерию.
D1<D<D2 Здесь окончательного вывода по данной гипотезе сделать нельзя, требуется использование других дополнительных критериев. В качестве дополнительного критерия может быть использовано распределение коэффициента автокорреляции при Тау равном 1:Если R(1) меньше табличного, то гипотеза принимается, и модель считается адекватной процессу по данному критерию.
D>2 свидетельствует о том, что между последовательными значениями остаточной компоненты существует обратная зависимость. Вычисляется величина D’=4-D. Значение D’ сравнивается с табличными D1 и D2 по тем же правилам, что и D.
Проверка нормальности распределения остаточных компонентов.
Может быть осуществлена с использованием R/S критерия. R – размах вариации, S – среднеквадратическое отклонение остаточной компоненты.
Расчетное значение критерия также сравнивается с двумя табличными, нижним и верхним. Если расчетное значение попадает внутрь интервала между табличными значениями, то гипотеза о нормальном распределении остаточной компоненты принимается.
Прогнозирование с использованием кривых роста.
Эта процедура называется экстраполяцией, т.е. продление на будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом.
Прогнозирование с использованием линейной модели называется линейной экстраполяцией. Экстраполируемые значения получают путем подстановки в выбранные уравнения кривой роста значений времени t, входящих в период упреждения.
Прогнозные оценки, полученные подобным образом, называют точечными оценками, т.к. для каждого момента времени в период упреждения получается одно единственное значение показателя.
Поскольку экономические процессы в большинстве своем являются стохастическими, то вероятность того, что в заданный момент времени показатель будет иметь значение, определенной точечным прогнозом практически равна нулю. Поэтому в дополнение к точечному прогнозу определяют границы возможного изменения прогнозируемого показателя. Их еще называют доверительными интервалами. Ширина доверительных интервалов зависит от степени колеблемости исследуемого процесса, от периода упреждения, от количества наблюдений в исходном временном ряду и других факторов.
Рассмотрим, как осуществляется точечный прогноз и расчет доверительных интервалов при линейной экстраполяции.
Sпр среднеквадратическое отклонение прогнозируемого показателя.
Sy – среднеквадратическое отклонение от линии тренда.
Таким образом ширина доверительных интервалов зависит от числа уровней в исходном временном ряду. Чем больше n, тем уже доверительный интервал. От периода упреждения l. Чем больше l , тем шире доверительный интервал. От вероятности, с которой определяется ширина доверительных интервалов. От степени колеблемости фактических значений относительно линии тренда. От вида уравнения, используемого для прогнозирования, т.е. от числа параметров в уравнении и их соотношения между собой.
Прогноз, получаемый с использованием любой математической модели, является условным. В данном случае условием применения кривых роста для прогнозирования является сохранение тенденции наблюдавшейся в прошлом в периоде прогнозирования.
Многофакторные модели.
Классификация многофакторных моделей
Основные этапы построения модели множественной регрессии
Использование многофакторных моделей для анализа и прогнозирования исследуемого объекта.
Классификация многофакторных моделей.
Классификацию можно проводить по различным критериям. По критерию сложности и направленности взаимосвязей между переменными многофакторные модели можно разделить на два класса:
Регрессионные модели
Уравнения парной регрессии
Уравнения множественной регрессии
Структурные уравнения
Системы взаимозависимых (одновременных) уравнений
Рекурсивные системы
Уравнения парной регрессии
Их использование предполагает, что исследуемый показатель зависит только от одного фактора. Его называют решающим фактором. Y=f(Xt)
Зависимость между показателем и фактором может быть самая разнообразная.
Парная линейная регрессионная модель:
Коэффициент парной корреляции Ryx1 , Ryx2
Из двух факторов выбирается тот, у которого коэффициент парной корреляции больше по модулю.
Для вычисления параметров линейного уравнения парной регрессии используется метод наименьших квадратов.
Далее вычисляем расчетные значения Y. Потом считается остаточные значения E.
Потом определяется точность по рассмотренным критериям.
И осуществляется прогноз. Прогноз по уравнению парной регрессии осуществляется путем подстановки в уравнение прогнозных оценок значений фактора, определенных для каждого момента времени в период упреждения. Прогнозные оценки фактора Х получают вне модели парной регрессии. Ими могут быть директивные задания, экспертные оценки и их можно вычислять с помощью других методов и моделей. Например, для фактора можно вычислить средний абсолютный прирост Uх. И дальше получить прогнозные оценки.
Вычисляется доверительный интервал.
Уравнения множественной регрессии.
Использование модели множественной регрессии предполагает, что исследуемый показатель Y является функцией нескольких факторов. Для построения модели множественной регрессии необходимо использовать m+1 временной ряд (или m+1 выборок).
Структурные уравнения.
Экономические системы настолько сложны, что их адекватное описание с использованием только одного показателя практически ничего не дает. Поэтому в последнее время получили распространение структурные уравнения, в которых одновременно анализируются несколько взаимозависимых между собой показателей, отображающих работу системы. Такие внутренние показатели называют еще эндогенными переменными. Считается, что эндогенные переменные зависят от одних и тех же внешних факторов, которые называют экзогенными переменными.
Если зависимость между эндогенными переменными, а также между эндогенными и экзогенными переменными линейная, то в этом случае модель отображающая такие зависимости будет иметь вид:
Y1=a11X1+a12X2+...a1mXm+b12Y2+b13Y3+....+b1nYn
Y2=a21X1+a22X2+...+a2mXm+b11Y1+b23Y3+...
В данной системе каждая эндогенная переменная зависит от всех экзогенных переменных (Х) и от всех эндогенных переменных, исключая саму себя. Такие системы называют системами взаимозависимых или одновременных уравнений.
В качестве примера можно рассмотреть модель динамики цены и заработной платы.
Y1=b11Y2+a11X1
Y2=b21Y1+a12Х2+а22Х3
Y1 – темп изменения месячной зарплаты
Y2 – темп изменения цен
X1 – изменение безработных
X3 – темп изменения цен на импорт сырья
Система одновременных уравнений позволяет увидеть влияние любой экзогенной переменной на любую эндогенную. В качестве экзогенных факторов рекомендуется брать такие переменные, которые могут регулироваться. Определять параметры такой системы необходимо для всех уравнений одновременно, с тем, чтобы не получились противоречивые результаты.
Простой метод наименьших квадратов здесь применить нельзя.
Параметры системы одновременных уравнений определяют с использованием косвенного метода наименьших квадратов, двух- и трехшагового метода наименьших квадратов и других методов.
Составление и определение параметров системы одновременных уравнений является довольно сложной задачей. При решении практических задач такие системы стараются упростить. Один из способов такого упрощения заключается в следующем:
Все эндогенные переменные (Y) упорядочивают в зависимости от количества их связей друг с другом, т.е. на первом месте располагается эндогенная переменная Y1, которая зависит только от экзогенных переменных. На втором месте располагается Y2, которая также зависит от всех экзогенных переменных и от уже определенной экзогенной переменной Y1.
В результате получается новая система уравнений.
Y1=a11X1+a12X2+...a1mXm
Y2=a21X1+a22X2+...+a2mXm+b11Y1
……
Ее называют системой рекурсивных уравнений.
Параметры для такой системы можно вычислять отдельно для каждого уравнения, последовательно, начиная с первого уравнения. И для вычисления параметров каждого уравнения можно использовать метод наименьших квадратов.
Примером такой системы может служить модель производительности труда и фонда отдачи.
Y1=a11X1+a12X2+a13X3
Y2=b21Y1+a21X1+a23X2+a33X3
Y1 – производительность труда
Y2 – фонд отдачи
X1 – фондовооруженность труда
X2 – энерговооруженность труда
X3 – квалификация рабочих.
Основные этапы построения модели множественной регрессии
Определение цели исследования, показателей и факторов.
Сбор и анализ информации
Построение математической модели
Исследование модели с использованием критериев точности и адекватности.
Требования, предъявляемые к факторам:
В модель должны включаться только наиболее значимые факторы, причем их количество не должно превосходить n/3-n/4. n – число наблюдений
В модель не должны включатся линейно зависимые между собой факторы, поскольку такие факторы отображают одну и ту же сторону исследуемого объекта.
В модель нельзя включать качественные факторы(которые нельзя определить численно).
В модель нельзя одновременно включать синтетические факторы и их составные части.
Сбор и анализ информации.
Если в качестве информации используются временные ряды, то к ним предъявляется ряд требований:
Они должны быть все одинаковой длины
Наблюдения во временных рядах должны относится к одному и тому же периоду времени
В рядах не должно быть пропущенных значений.
Наблюдения одного и того же ряда должны быть однородны или сопоставимы друг с другом (рассчитаны по одной и той же методике).
Анализ временных рядов проводят примерно такой же, как и при построении кривых роста, т.е. определяются аномальные наблюдения, наличие тренда и т.д.
В дополнение к такому анализу рассчитывают корреляционную матрицу, которая состоит из коэффициентов парной корреляции, вычисленных для всех переменных, включенных в модель.
Построение модели
Выбор формы зависимости.
Построение модели с определения вида функциональной взаимозависимости между исследуемым показателем Y и влияющими факторами.
Наиболее часто применяют линейную модель Y=a0+a1X1+...+amXm
И степенную модель Y=а0*Х1а1*…*Хmam
Если между показателем и факторами существует линейная взаимосвязь, а модель взята нелинейная, то в этом случае ошибка будет больше, чем если бы зависимость между показателем и факторами была нелинейная, а модель выбрана линейная.
Поэтому нелинейную модель выбирают только в том случае, если есть практически 100% уверенность в наличии нелинейной зависимости.
Вычисление параметров модели.
Практически для всех видов функциональных зависимостей многофакторных моделей можно использовать для вычисления параметров метод наименьших квадратов.
Выбор наиболее влияющих факторов.
Для этой цели используют методы пошаговой регрессии. Из этих методов базовыми являются два.
Метод последовательного включения факторов
Метод последовательного исключения факторов.
Метод последовательного включения факторов.
Суть метода состоит в том, что в модель в определенном порядке последовательно включаются факторы до тех пор, пока она не будет соответствовать заранее определенному критерию качества:
Рассчитываются коэффициенты частной корреляции между исследуемым показателем и каждым из факторов. Все факторы упорядочиваются, ранжируются по мере уменьшения значения коэффициента частной корреляции.
Вычисляются параметры уравнения множественной регрессии Y с включением в модель уже отобранных факторов. На первой итерации включается только X1.
Для построенного уравнения вычисляется коэффициент множественной корреляции по формуле:rj-коэффициент парной корреляции Y и XB – коэффициент регрессии в стандартизованном масштабеaj – коэффициент регрессии в уравнении регрессииСигма j – среднеквадратическое отклонение j-того фактораСигма 0 - среднеквадратическое отклонение Y
Для коэффициента множественной регрессии вычисляется значение Т-статистики критерия Стьюдента. m – количество уже включенных факторов. Если расчетное значение меньше табличного, то переходим к пункту 2.Если tрасч>t табл, то модель считается уже существенной и включение факторов в нее на этом завершается.
Метод последовательного исключения факторов.
Первоначально строится модель, в которую включаются все факторы, отобранные на первом этапе. Для коэффициента регрессии каждого фактора также вычисляется значение статистики Т-критерия Стьюдента. Из вычисленных критериев отбирается наименьший по модулю и сравнивается с табличным значением. Если этот критерий будет меньше табличного, то соответствующий фактор из модели исключается. Затем рассчитывается новая модель, которая на один фактор будет меньше, снова вычисляются T-критерии для каждого коэффициента, выбирают наименьшим, сравнивают с табличным и так до тех пор, пока наименьшее значение не будет превосходить табличное.
Мультиколлинеарность.
Мультиколлинеарность означает наличие в модели линейно зависимых между собой факторов. Мультиколлинеарность отрицательно влияет на построенную модель, поскольку она искажает экономическую интерпретацию параметров модели и приводит к вычислительным погрешностям.
Проблема мультиколлинеарности состоит в решении следующей задачи:
Определение области мультиколлинеарности. Есть ли линейно зависимые между собой факторы и какие это факторы.
Определение степени мультиколлинеарности
Устранение мультиколлинеарности.
Наиболее простой способ решения этих задач заключается в использовании корреляционной матрицы.
Если в такой матрице есть коэффициенты корреляции между факторами, по модулю большие чем 0,8, то это означает, что в модели есть мультиколлинеарность и какие из факторов являются линейно зависимыми между собой.
Устранение мультиколлинеарности осуществляется путем удаления из модели одного из линейно зависимых факторов. Рекомендуется из модели устранять тот из линейно зависимых факторов, у которого коэффициент парной корреляции с показателем Y по модулю меньше.
Исследование модели на точность и адекватность.
Оценивание качества многофакторной модели можно проводить с использованием тех же критериев точности и адекватности, которые били рассмотрены при оценивании качества моделей кривых роста. В добавление к ним для оценивания качества многофакторной модели рекомендуется использовать также коэффициент множественной детерминации:
Он показывает долю колеблемости исследуемого показателя Y, обусловленную факторами, включенными в модель. Чем ближе к 1, тем более качественной считается построенная модель.
Кроме того для оценивания качества многофакторной модели можно использовать статистику Ф-критерия Фишера.
n – число наблюдений
m – число факторов, включенных в модель
Табличное значение этого критерия определяют с заданной вероятностью и числом степеней свободы n-m-1 и m.
Если расчетное значение больше табличного, то модель считается значимой и наоборот.
Многофакторная модель может быть неадекватна исследуемому процессу по двум обстоятельствам:
Неправильно выбран вид функциональной зависимости между показателем и влияющими факторами.
В модель не включены один или несколько значительно влияющих факторов.
Для устранения неадекватности по последней причине в модель либо нужно ввести такие переменные, если по этим переменным имеется соответствующая информация, либо, если такой информации нет, то в модель в качестве фактора вводится время. Время, согласно теореме Фриша и Воу как бы принимает на себя влияние на показатель отсутствующих в ней факторов.
Использование многофакторных моделей для анализа и прогнозирования экономических объектов.
Экономическая интерпретация параметров многофакторной модели зависит от вида модели.
Линейная модель.
Уравнения линейной регрессионной модели показывают, как в среднем изменяется исследуемый показатель в связи с изменением факторов, включенных в модель. Коэффициенты линейного уравнения показывают степень влияния каждого фактора на исследуемый показатель при условии, что остальные факторы, входящие в модель, остаются без изменения.
Y=0,5X1-1,3X2+2,0X3-2,4X4
Необходимо отметить, что значения коэффициентов регрессии в уравнении зависят от единиц измерения и соответствующего фактора, и исследуемого показателя. Кроме того эти коэффициенты зависят так же от степени колеблемости каждого фактора. Поэтому коэффициенты регрессии не позволяют сопоставить факторы между собой по степени их влияния на исследуемый показатель. В связи с этим для сопоставления факторов между собой вычисляют другие показатели, такие как средний частный коэффициент эластичности, бета-коэффициент (коэффициент регрессии в стандартизованном масштабе) и дельта-коэффициент.
Средний частный коэффициент эластичности позволяет измерять в процентах изменение показателя при увеличении каждого фактора на одну и ту же относительную величину, на 1%.
Он показывает, на сколько процентов изменится показатель при увеличении соответствующего фактора на 1% своего собственного измерения.
Однако коэффициент эластичности не учитывает степень колеблемости факторов. Поэтому для учета различий в единицах измерения и степени колеблемости факторов используют бета-коэффициент.
Он показывает, что при изменении j-того фактора на одно свое среднеквадратическое отклонение показатель изменится на величину бета-коэффициента своего среднеквадратического отклонения.
В то же время ни коэффициент эластичности, ни бета-коэффициент не позволяют определить долю влияния каждого фактора в суммарном влиянии всех факторов, включенных в модель. Такое влияние можно определить, использую дельта-коэффициенты.
Это равенство выполняется только для корректно построенной модели.
Степенная модель.
Коэффициенты регрессии степенной модели интерпретируются как средние частные коэффициенты эластичности, т.е. они показывают, на сколько процентов изменится исследуемый показатель при изменении соответствующего фактора на 1% и неизменном значении других факторов, входящих в модель.
Прогноз с использованием многофакторной модели осуществляется путем подстановки в нее прогнозных оценок факторов, определенных для каждого момента времени периода упреждения. Прогноз для оценки факторов получают вне модели множественной регрессии. Они могут быть заданы, могут быть вычислены экспертным путем, с использованием других моделей и т.д.
Таким образом, точность прогнозных оценок показателя, вычисляемых с использованием многофакторных моделей зависит не только от точности самой модели, но и от точности прогнозных оценок факторов.
Как и любой другой прогноз прогнозные оценки по многофакторным моделям являются условными оценками.
Многофакторную модель можно использовать для составления прогноза при условии, что наблюдавшиеся в прошлом степень и направленность взаимосвязей между всеми переменными в модели сохраниться без особых изменений в прогнозируемом периоде.
