ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОУ ВПО
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ФАКУЛЬТЕТ: Финансово-кредитный
КАФЕДРА: Экономико-математических
методов и моделей

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ: «Эконометрика»
Вариант №7









г. Серпухов
2008
Задача
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции EMBED Equation.3 , млн. руб. от объема капиталовложений EMBED Equation.3 , млн. руб. (таблица 1):
Таблица 1
Исходные данные варианта
Требуется:
Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков EMBED Equation.DSMT4 ; построить график остатков.
Проверить выполнение предпосылок МНК.
Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента EMBED Equation.3
Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью EMBED Equation.3 - критерия Фишера EMBED Equation.3 , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
Осуществить прогнозирование среднего значения показателя EMBED Equation.3 при уровне значимости EMBED Equation.3 , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
Представить графически: фактические и модельные значения EMBED Equation.3 точки прогноза.
Составить уравнения нелинейной регрессии:
гиперболической;
степенной;
показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Решение:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую оценку коэффициента регрессии.
Уравнение линейной регрессии имеет вид: EMBED Equation.3 .
Для расчёта параметров уравнения линейной регрессии, воспользуемся инструментом анализа данных Регрессия. Для этого в главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/ Регрессия (рисунок 1):

Рис. 1. Диалоговое окно ввода параметров инструмента «Регрессия»
Результаты регрессионного анализа для данных представлены на рисунке 2.

Рис. 2. Результаты применения инструмента «Регрессия»
Отсюда, a=-1,035; b=2,314, тогда уравнение регрессии имеет вид:
у=-1,035+2,314х
Экономическая интерпретация коэффициента регрессии заключается в том, что если объёмы капиталовложений возрастут на 1 млн. руб., то объём выпуска продукции возрастёт на 2,314млн.руб.
2.Для вычисление остатков, остаточной суммы квадратов и оценки дисперсии EMBED Equation.3 , построим рабочую таблицу (таблица 2):
Таблица 2
Рабочая таблица
Остатки рассчитаны в таблице 2 (столбец 7) по формуле: EMBED Equation.3 .
Остаточная сумма квадратов: EMBED Equation.3 .
Дисперсия остатков EMBED Equation.3 рассчитывается по формуле: EMBED Equation.3 , тогда EMBED Equation.3 =4,9537. График остатков представлен на рисунке 3:
EMBED Excel.Chart.8 \s
Рис. 3. График остатков
3. Проверим выполнение следующих предпосылок МНК:
Для оценки адекватности модели исследуют остатки EMBED Equation.3
Исследование остатков предполагает проверку наличия у них следующих пяти предпосылок МНК:
а) Случайность характера остатка.
Для проверки случайного характера остатков строится график зависимости остатков EMBED Equation.3 от теоретических значений результативного признака (рисунок 4):
EMBED Excel.Chart.8 \s
Рис. 4. Зависимость случайных остатков EMBED Equation.3 от теоретических значений EMBED Equation.3
Если на графике получена горизонтальная полоса, то остатки EMBED Equation.3 представляют собой случайные величины и МНК оправдан. В нашем случае на графике остатков получена горизонтальная полоса, то есть остатки EMBED Equation.3 представляют собой случайные величины и МНК оправдан.
б) Нулевая (или близкая к ней) средняя величина остатка.
Для вычисления среднего значения остатка используем функцию СРЗНАЧ (рисунок 5):

Рис. 5. Диалоговое окно ввода параметров функции СРЗНАЧ
В данной задаче EMBED Equation.3 , поэтому вторая предпосылка выполняется.
в) Гомоскедастичность (постоянство) дисперсии остатков. Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Для обнаружения гетероскедастичности используют метод Голдфельда-Квандта. Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности по тесту Голдфельда-Квандта необходимо выполнить следующие шаги:
Упорядочение n наблюдений по мере возрастания переменной х (таблица 3);
Таблица 3
Исходные данные, упорядоченные по мере возрастания переменной х
Разделение совокупности на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора х), определение по каждой из групп уравнений регрессии. Разделение на две группы по фактору х примет вид (таблица 4, 5):
Таблица 4 Таблица 5


Выполнив в Excel функцию РЕГРЕССИЯ для первой и второй групп (рисунок 6, 7):

Рис. 6. Результаты применения инструмента регрессии
для группы с малыми значениями фактора х

Рис. 7. Результаты применения инструмента регрессии
для группы с большими значениями фактора х
Получим следующие уравнения регрессии:
EMBED Equation.3
Определение остаточной суммы квадратов первой и второй регрессий осуществим с помощью функции СУММКВ (рисунок 8):

Рис. 8. Диалоговое окно ввода параметров функции СУММКВ
В результате получим для первой регрессии: EMBED Equation.3 , для второй EMBED Equation.3 10,825.
Вычисление отношений EMBED Equation.3 (расчетного значения F-критерия): 16,719/10,825= 1,54.
Вычисление табличного значения F-критерия, которое производится при помощи функции FРАСПОБР. EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 =0,1. EMBED Equation.3 =5, m=2, n=10 (рисунок 9) EMBED Equation.3 :

Рис. 9. Определение табличного значения F-критерия
Значение F-расчетного меньше F-табличного, что свидетельствует о том, что гетероскедастичность не обнаружена и, следовательно, выполняются свойства гомоскедастичности остатков.
4) Независимость (отсутствие автокорреляции) остатков проверяют с помощью критерия Дарбина-Уотсона: dw= EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 . Для нахождения коэффициента корреляции построим рабочую таблицу (таблица 6):
Таблица 6
Рабочая таблица
Таким образом, dw = EMBED Equation.3 =2,064. Перед сравнением с табличным значением преобразую dw критерий по формуле: dw'=4-dw, тогда dw'=4-2,064=1,936. Табличные значения, при уровне значимости ? =0,05, соответственно равны EMBED Equation.3 . Так как 1,32<1,936<2, тогда ряд остатков не коррелирован, т.е. выполняется свойство независимости остатков.
5) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определяется при помощи R/S-критерия:
EMBED Equation.3
. EMBED Equation.3 .
Полученное значение этого критерия попадает между табулированными границами (2,67-3,57) с заданным уровнем значимости ( EMBED Equation.3 ) и n=10, таким образом, свойство нормальности остатков выполняется.
Все предпосылки МНК выполнены. Построенная модель является адекватной реальному процессу, её можно использовать для построения прогнозных оценок.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента ( EMBED Equation.3 ).
Для оценки статистической значимости параметров полученной модели используем t-критерий. Расчетное значение t-статистики определяется по формулам: EMBED Equation.3 . Расчетные значения t-критерия можно найти в протоколе Excel после применения инструмента Регрессия (рисунок 10):

Рис. 10. Результат применения инструмента Регрессия
EMBED Equation.3
Табличное значение t-критерия (0,05;8)=2,306.
Поскольку EMBED Equation.3 , то параметр а является статистически незначимым.
EMBED Equation.3 , следовательно, параметр b статистически значим.
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера ( EMBED Equation.3 ), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
а) Коэффициент детерминации EMBED Equation.3 можно определить по формуле:
EMBED Equation.3
Это означает, что 99,33% вариации объёма выпуска продукции (у) объясняется вариацией фактора х – объёмом капиталовложений.
б) Оценка значимости уравнения регрессии проводится с помощью F-критерия. Расчетное значение F-критерия в нашем случае определяется по формуле:
EMBED Equation.3
Табличное значение F-критерия при EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Поскольку расчетное значение F-критерия Фишера больше табличного, то уравнение регрессии признается статистически значимым.
в) Находим среднюю относительную ошибку аппроксимации :
EMBED Equation.3 2,14%
Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как EMBED Equation.3 не превышает 8 – 10%. EMBED Equation.3 <5%, поэтому модель точна и по ней можно прогнозировать с достаточно высокой вероятностью.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости EMBED Equation.3 , если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимально значения.
EMBED Equation.3
Отклонение от линии регрессии рассчитывается по формуле: EMBED Equation.3 , где Se=2,2257 (см. значение «Стандартная ошибка»). Произведём необходимые расчёты (таблица 7):
Таблица 7
Рабочая таблица
Коэффициент Стьюдента EMBED Equation.3 для 8 степеней свободы и на уровне значимости EMBED Equation.3 рассчитывается при помощи функции СТЬЮДРАСПОБР(0,1;8)=1,8595.
EMBED Equation.3 (43,2-40,6)2=6,76
Uпр=2,2257*1,85* EMBED Equation.3 4,33
Следовательно, интервальный прогноз будет выглядеть:
EMBED Equation.3
94,58 EMBED Equation.3
7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.
Строим график «Фактические и модельные значения У»: скопируем в лист с вычислениями прогнозируемых значений график подбора с листа «Регрессия Y». Соединим точки графика отрезками (активировать курсором точки – тип данных – отрезки).
Переименовываем график подбора в «Фактические значения У». К существующим данным добавляем новые (Исходные данные – Ряд – Добавить): для точечного прогноза, нижней и верхней границ прогноза, указывая соответствующие данные (рисунок 11):
EMBED Excel.Chart.8 \s
Рис. 11. График фактических и модельных значений у
8. Составить уравнения гиперболической (а), степенной (б), показательной (в) нелинейной регрессий. Построить графики построенных уравнений регрессии.
а) Уравнение гиперболической регрессии имеет вид: EMBED Equation.3
Приведем эту модель к линейному виду осуществив замену переменных: EMBED Equation.3 . В результате получим линейное уравнение вида EMBED Equation.3 .
Для расчетов используем данные рабочей таблицы 8:
Таблица 8
EMBED Equation.3 -3224,91;
EMBED Equation.3 .
Получим следующее уравнение гиперболической модели:
y=178,43-3224,91/х EMBED Equation.3
График гиперболической модели представлен на рисунке 11:
EMBED Excel.Chart.8 \s
Рис. 11. График гиперболической модели
б) Уравнение степенной модели имеет вид: EMBED Equation.3 . Для построения модели произведем линеаризацию переменных, осуществив логарифмирование обеих частей уравнения: lg y =lg a+b lg x. Обозначив Y = lg у, X = lg х, А = lg а, получаем модель вида: Y=A+bX.
Для расчетов параметров уравнения используем данные рабочей таблицы (таблица 8):
Таблица 8
Рабочая таблица
EMBED Equation.3
Уравнение регрессии имеет вид: Y=0,3219-1,0231*X.
Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения: EMBED Equation.3 .
График степенной модели представлен на рисунке 12:
EMBED Excel.Chart.8 \s
Рис. 12. График степенной модели
в) Уравнение показательной кривой: y = EMBED Equation.3 . Для построения модели проведу линеаризацию (логарифмирование) переменных: lg y = lg a + lg x*b.
Обозначим Y = lg y, B = lg b, A = lg a, тогда линейное уравнение регрессии имеет вид: Y = A+ B*x.
Для расчетов параметров уравнения, используем данные рабочей таблицы (таблица 9):
Таблица 9
Рабочая таблица
EMBED Equation.3
Уравнение имеет вид: Y = 1,4847 + 0,0115*x.
Выполнив потенцирование данного уравнения, получаем:
y = EMBED Equation.3 > y = EMBED Equation.3
Найдем теоретическое значение y, построим график степенной регрессии при использовании функции Мастер диаграмм (рисунок 13):
EMBED Excel.Chart.8 \s
Рис. 13. график показательной функции
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
а) гиперболическая
Рассчитаем характеристики точности модели, расчеты произведены средствами MS Excel (Приложение 1).
Индекс детерминации: EMBED Equation.3 =0,7962.
Таким образом, все вариации в объеме выпуска продукции Y на 79,62% обусловлены вариацией в объеме капиталовложений X, т.е. изменениями в факторе X, учтенном в модели.
Средняя относительная ошибка аппроксимации:
EMBED Equation.3 =11,7515%.
Таким образом, модельные значения EMBED Equation.3 отклоняются от фактических значений Y в среднем на 11,7515%, т.е. получена модель среднего качества.
б) степенная
Рассчитаем характеристики точности модели (Приложение 2).
Индекс детерминации: EMBED Equation.3 =0,9931.
Таким образом, все вариации в объеме выпуска продукции Y на 99,31% обусловлены вариацией в объеме капиталовложений X, т.е. изменениями в факторе X, учтенном в модели.
Средняя относительная ошибка аппроксимации:
EMBED Equation.3 =2,1205%
Таким образом, модельные значения EMBED Equation.3 отклоняются от фактических значений Y в среднем на 2,12 %, т.е. получена модель хорошего качества, высокой точности.
в) показательная
Рассчитаем характеристики точности модели (Приложение 3).
Индекс детерминации: EMBED Equation.3 =0,9781.
Таким образом, все вариации в объеме выпуска продукции Y на 97,81% обусловлены вариацией в объеме капиталовложений X, т.е. изменениями в факторе X, учтенном в модели.
Средняя относительная ошибка аппроксимации:
EMBED Equation.3 = 3,9659 %.
Таким образом, модельные значения EMBED Equation.3 отклоняются от фактических значений Y в среднем на 3,97%, т.е. получена модель среднего качества.
Сравнение полученных моделей
Для сравнения моделей используем полученные данные. Построим таблицу (таблица 10):
Таблица 10
Сравнив модели по этим характеристикам можем сделать вывод:
Степенная модель имеет большее значение коэффициента детерминации R2 небольшую относительную ошибку аппроксимации, следовательно, степенная модель лучше остальных оценивает взаимосвязь.



Приложение 1
Расчет параметров гиперболической модели








Приложение 2
Расчет параметров степенной модели








Приложение 3
Расчет параметров показательной модели