ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО- ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Кировский филиал
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА По эконометрике Вариант № 9 Преподаватель: Работу выполнила: Студентка 3 курса
Факультет М и М Специальность ЭТ
КИРОВ, 2009 Содержание Задача № 1…………………………………………………………………….3 Задача № 2…………………………………………………………………….16 2а………………………………………………………...…………16 2б…………………………………………………………………...18 2в……………………………………………………………………21 Список литературы………………………………………………………….. Задача № 1. По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (у, млн. руб.) от объема капиталовложений (х, млн. руб.)
12 4 18 27 26 29 1 13 26 5
21 10 26 33 34 37 9 21 32 14
Требуется: Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков. Проверить выполнение предпосылок МНК. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза. Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической; степенной; показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. Решение: 1. Найдём параметры уравнения линейной регрессии.
Линейное уравнение имеет вид: у = а + bx +, где возмущение, случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического. Найдём параметры а и b с помощью метода наименьших квадратов:
n=10 исходя из условия. Составим расчётную таблицу 1.1.:
Таблица 1.1. Вычисление параметров
Подставляем полученные данные в нашу систему: 237 = 10а + 161b a=8,12 4792 = 161а + 3601b b=0,97 - формула для расчёта теоретического значения у. Экономическая интерпретация коэффициента регрессии: Данная формула показывает, что при увеличении капиталовложений на 1 млн.руб. объём выпуска продукции увеличится на 970 тыс.руб. 2. Вычислим остатки; найдём остаточную сумму квадратов; оценим дисперсию остатков ; построим график остатков. После построения уравнения регрессии мы можем разбить значение у в каждом наблюдении на две составляющих - и ; . Остаток представляет собой отклонение фактического значения зависимой переменной от значения данной переменной, полученное расчетным путем: (). Для вычисления остатков, остаточной суммы квадратов составим расчётную таблицу 1.2. Для нахождения дисперсии на одну степень используем формулу:
Таблица 1.2. Вычисление остатков.
Остаточная сумма квадратов = 11,35 показывает, какое влияние на результат оказывают прочие факторы, следовательно, прочие факторы оказывают незначительное влияние на результат. - дисперсия на одну степень свободы. Построим график остатков (рис. 1.1). Рис. 1.1. График остатков
3. Проверим выполнение предпосылок МНК. Первое условие. Математическое ожидание случайной составляющей в любом наблюдении должно быть равно нулю. Наше уравнение регрессии включает постоянный член, следовательно, первое условие выполняется автоматически. Второе условие. В модели возмущение есть величина случайная, а объясняющая переменная - величина не случайная. Это условие так же выполнено. Третье условие. Отсутствие систематической связи между значениями случайной составляющей в любых двух наблюдениях. Т.к. наша случайная составляющая в первом наблюдении, например, равна 1,27, а во втором - -1,99, т.е. то, что она положительна в первом случае не обуславливает то, что она будет такой же в других наблюдениях. Значит, случайные составляющие не зависят друг от друга. Четвёртое условие. Дисперсия случайной составляющей должна быть постоянна для всех наблюдений. Это условие равноизменчивости возмущения. Несмотря на то, что случайные составляющие не зависимы друг от друга и меняются постоянно в разном направлении, но они не порождают большой ошибки. Таким образом, все предпосылки МНК выполнены. 4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t-критерия (t–статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:
Среднеквадратические отклонения коэффициентов известны как стандартные ошибки (отклонения):
где - среднее значение независимой переменной х; стандартная ошибка; Затем расчетные значения сравниваются с табличными tтабл. Табличное значение критерия определяется при (n-2) степенях свободы (n - число наблюдений) и соответствующем уровне значимости ( (0,1; 0,05) Если расчетное значение t-критерия с (n - 2) степенями свободы превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, коэффициент регрессии считается значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту, следует исключить из модели (при этом ее качество не ухудшится). Значение t-критерия с (10–2=8) степенями свободы и уровнем значимости ( (0,05) = 2,31. Расчетные значения для a и b равны 11,4128 и 25,809 соответственно.
Следовательно tрасч. > tтабл. Отсюда следует вывод, что a и b не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы. 5. -Вычислим коэффициент детерминации, -проверим значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , -найдём среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделаем вывод о качестве модели. Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле: ; Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений х и объемом выпуска продукции у прямая, очень сильная. Рассчитаем коэффициент детерминации: R2 = r2yx = 0,988 Вариация результата у (объема выпуска продукции) на 98,8 % объясняется вариацией фактора х (объемом капиталовложений), т.е качество модели высокое. Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:
F>FТАБЛ = 5,32 для ( = 0,05 ; к1=m=1, k2=n-m-1=8. Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 статистически значимое, т. к. F>FТАБЛ . Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации:
Среднюю ошибку найдём с помощью таблицы 1.3. Таблица 1.3. Ошибки аппроксимации.
В среднем расчетные значения y для линейной модели отличаются от фактических значений на
