Всероссийский заочный финансово – экономический институт
Факультет: Финансово – кредитный Кафедра: Экономико-маиематических методов и моделей Специальность: Финансы и кредит
Контрольная работа
По дисциплине «Эконометрика»
Выполнил:
Студент III курса Арасланова А.Н.
Проверил:
Преподаватель Хусаинова З.Ф.
Уфа
2007
ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ПАРНОЙ РЕГРЕССИИ
Вариант 4
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (У, млн.руб.) от объема капиталовложений (Х, млн.руб.)
Требуется:
Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
Вычислить остатки: найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков Se2; построить график остатков.
Проверить выполнение предпосылок МНК.
Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t – критерия Стьюдента при ? = 0,05.
Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F – критерия Фишера при ? = 0,05, и найти среднюю относительную ошибку апроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
Осуществить прогнозирование среднего значения показателя У при уровне значимости ? = 0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.
Представить график фактических и модельных показателей линейной модели.
Составить уравнение нелинейной регрессии:
Гиперболической
Степенной
Показательной
Привести графики построенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки апроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
РЕШЕНИЕ:
Составим вспомогательную таблицу 1 и 2:
Таблица 1
Таблица 2
Здесь EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 - средние значения
EMBED Equation.3 - расчетные значения
EMBED Equation.3 -погрешность (остаток, невязка).
Найдем параметры уравнения линейной регрессии EMBED Equation.3
Значения параметров a и b определим, используя данные таблицы
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 13,892
Уравнение линейной регрессии принимает вид EMBED Equation.3
С увеличением объема капиталовложений на 1млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличиться в среднем на 2400 тыс. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятия.
Зная значения EMBED Equation.3 уравнения регрессии составим дополнительную таблицу3
Таблица 3
Дисперсия остатков
EMBED Equation.3
Проверка гипотезы о М (Еi)=0:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
tтабл(?=0.05, ?=N-1=9)=2,25
t? tтабл ?? гипотеза о М (Еi)=0 принимается.
Число точек поворота р=6
EMBED Equation.3
ркр?р ?? свойства случайности ряда остатков выполнено.
Построим график остатков
EMBED Excel.Chart.8 \s
Проверить выполнение предпосылок МНК.
Метод наименьших квадратов позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного у от теоретических EMBED Equation.3 минимальна, т.е. EMBED Equation.3
В данном случае остаточная сумма квадратов составляет 781,76; откуда среднеквадратическое отклонение равно 27,96; что является достаточно малым отклонением.
Оценим значимость параметров регрессии
Анализ статистической значимости параметров модели проверяем по t-критерию Стьюдента при уровне значимости ?=0,05 (Таблица 4)
В качестве меры точности применяют несмещенную оценку дисперсии остаточной компоненты, которая представляет собой отношение суммы квадратов уровней остаточной компоненты к величине EMBED Equation.3 , где k – количество факторов включенных в модель. Квадратный корень из величины EMBED Equation.3 называется стандартной ошибкой оценки:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Таблица 4
Анализ значимости параметров регрессии
Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятность ? = 1 – ? = 0,95 параметры b, находясь в указанных границах, не принимает нулевого значения, т.е. не является статистически незначимыми и существенно отличен от нуля.
R/S – критерий
EMBED Equation.3
2,87 Є (2,67-3,57), ??свойство нормальности распределения выполняется.
5. Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент детерминации EMBED Equation.3 -означает, что вариация y на 96,8% объясняется фактором х. Доля неучтенных факторов составляет 3,2%.
Расчет F-критерия Фишера – оценивает значимость уравнения регрессии и состоит в проверке гипотезы Н0: EMBED Equation.3
где n – число единиц совокупности
F > Fтабл =5,32 для ?=0,05,
Поэтому уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое и Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.
Средняя относительная ошибка:
EMBED Equation.3
Качество построенной модели оценивается как хорошее, т.к. средняя относительная ошибка не превышает 8-10%
Расчет коэффициента эластичности:
EMBED Equation.3
Следовательно, при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения, то себестоимость единицы продукции возрастет на 0,87%
6. Осуществим прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости ?=0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.
EMBED Equation.3
Подставим Хпрогн. в нашу модель и расчитаем Y(Xпрогн)
Y(X)=13,892+2,402 х 43,2 = 117,66 млн руб.
Ошибка прогноза:
EMBED Equation.3 =2,25*1,05=2,37
Предельная ошибка прогноза, которая в 99% случаев не будет превышена ( EMBED Equation.3 )
EMBED Equation.3 7,95135
Доверительный интервал прогноза
43,2-7,95135 EMBED Equation.3 43,2+7,95135
35,24865 EMBED Equation.3 51,15135
Вывод: Выполненный прогноз оказался точным ? = 1 – ? = 0,99, т.к. диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала D? составляет 1,45 раза и не превышает порогового значения точности.
EMBED Equation.3
7. Представим график линейной модели и результатов прогноза.
EMBED PBrush
8. а) Определим параметры гиперболической модели: EMBED Equation.3
Для этого введем Х=1/х и составим таблицы 5 и 6
Таблица 5
Таблица 6
Найдем коэффициенты a и b.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Тогда уравнение гиперболической модели будет: EMBED Equation.3 = 198,762-3293,898/х
Построим график гиперболической модели:
EMBED PBrush
б) Определим параметры степенной модели: EMBED Equation.3
Составим вспомогательные таблицы 7 и 8
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Таблица 7
Таблица 8
Найдем коэффициенты a и b.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Тогда уравнение степенной модели принимает вид: EMBED Equation.3 =4,66*х0,86
Построим график степенной модели:
Таблица 9
Таблица 10
Найдем коэффициенты a и b.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Тогда уравнение степенной модели будет: EMBED Equation.3
График показательной модели.
EMBED PBrush
9. а) Оценка качества гиперболической модели:
Рассчитаем коэффициент детерминации: EMBED Equation.3 -означает, что вариация y на 91,7% объясняется фактором х. Доля неучтенных факторов составляет 8,3%.
Расчет F-критерия Фишера : EMBED Equation.3
где n – число единиц совокупности
F > Fтабл =5,32 для ?=0,05,
Поэтому уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое и Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.
Средняя относительная ошибка:
EMBED Equation.3
Качество построенной модели оценивается как плохое, т.к. средняя относительная ошибка превышает 8-10%
б)Оценка качества степенной модели:
Рассчитаем коэффициент детерминации: EMBED Equation.3 -означает, что вариация y на 96,7% объясняется фактором х. Доля неучтенных факторов составляет 3,3%.
Расчет F-критерия Фишера : EMBED Equation.3
где n – число единиц совокупности
F > Fтабл =5,32 для ?=0,05,
Поэтому уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое и Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.
Средняя относительная ошибка:
EMBED Equation.3
Качество построенной модели оценивается как хорошее, т.к. средняя относительная ошибка не превышает 8-10%
в) Оценка качества показательной модели:
Рассчитаем коэффициент детерминации: EMBED Equation.3 -означает, что вариация y на 96,7% объясняется фактором х. Доля неучтенных факторов составляет 3,3%.
Расчет F-критерия Фишера : EMBED Equation.3
где n – число единиц совокупности
F > Fтабл =5,32 для ?=0,05,
Поэтому уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое и Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.
Средняя относительная ошибка:
EMBED Equation.3
Качество построенной модели оценивается как хорошее, т.к. средняя относительная ошибка не превышает 8-10%
Построим сводную таблицу 11:
Таблица 11
Вывод: Из сводной таблицы видно, что лучшей моделью является линейная Y(X)=13,892+2,402X, т.к. именно в этой модели максимальные значения коэффициента детерминации, значение F-критерия Фишера и минимальная погрешность. Следовательно, первоначальные значения наилучшим образом описываются линейной моделью.
Литература:
Методические указания ВЗФЭИ
Елисеева И.И. Практикум по эконометрике – М.: Финансы и статистика, 2001 – 189с.
Елисеева И.И. Учебник по эконометрике – М.: Финансы и статистика, 2003 – 342с.
Нименья И.Н. Статистика. Конспект лекций - М.: Эксмо, 2007. - 175 с.
Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика/Учебник для вузов – М.:Юнити-Дана, 2007. – 311 с.
