Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Всероссийский заочный финансово-экономический институт
(филиал в г. Барнауле)
Контрольная работа по эконометрике
Допускается к защите «__» _______ 200_г._____________ (подпись)
Работа защищена ___________ «__» _______ 200_г._____________ (подпись)
(оценка)
Барнаул 2007
Задача №1.
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.).
Требуется:
Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков S?2; построить график остатков.
Проверить выполнение предпосылок МНК.
Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (? = 0,05.).
Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (? = 0,05.), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости ? = 0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.
Построить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.
Составить уравнение нелинейной регрессии:
Гиперболической;
Степенной;
Показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние
относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Решение:
1). Уравнение линейной регрессии имеет вид: y = a + b ? x;
Значения параметров а и b линейной модели, определим используя данные таблицы 1 по формулам:
b = (y•x)ср.- уср•хср.: х²ср.- хср.²
а = уср.- b•хср.
Рассчитаем параметры а и b, используя следующие данные, рассчитанные при помощи MS Excel:
Уравнение линейной регрессии имеет вид: y = 12,24+0,91•х.
С увеличением объема капиталовложений на 1млн.руб. объем выпускаемой продукции увеличиться в среднем на 910 тыс.руб. Это свидетельствует о эффективной работе предприятия.
Теперь находим Yрасч. путем подставления х в уравнение регрессии:
2). Вычисляем остатки по формуле: ?i = Yi – Yрасч.
Находим остаточную сумму квадратов и оценим дисперсию остатков:
3). Проверка выполнения предпосылок МНК:
1-е условие:
M(?i) = 1,07E-14/10 = 1,07E-15 – что приблизительно равно нулю. Это означает, что первое условие выполняется. Оценка является несмещенной.
2-е условие:
Возмущение ?i есть величина случайная, а Xi – неслучайная.
3-е условие:
Связь между значениями случайной величины в любых двух наблюдениях отсутствует.
4-е условие:
S?i постоянна для всех наблюдений и равна 1,226.
Оценка является эффективной.
4). Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. Для этого при помощи ППП MS Excel рассчитаем необходимые данные:
t?-расч. > tтабл. следовательно данный параметр уравнения является значимым.
t?-расч. > tтабл. следовательно коэффициент регрессии является значимым для уравнения регрессии.
6). Рассчитаем эти данные при помощи MS Excel:
R2 приблизительно равен 1, следовательно качество модели высокое.
Средняя относительная ошибка аппроксимации меньше 7%, значит качество модели хорошее.
Fрасч. > Fтабл. – модель считается значимой.
Следовательно, модель является хорошей, точной, качественной.
SHAPE \* MERGEFORMAT
6-7).
Осуществим прогнозирование и построим графики также при помощи MS Excel.
Хпрог.= 39*80% : 100%=31,2;
Ур.прог.= 12,24+0,91*31,2=40,6
Представим расчеты в формульном виде:
SHAPE \* MERGEFORMAT
SHAPE \* MERGEFORMAT
8-9). С помощью ППП MS Excel составим уравнения нелинейной регрессии и найдем для каждого коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации, построим графики.
Гиперболическая модель: y=54,18- 415,75/х.
SHAPE \* MERGEFORMAT
SHAPE \* MERGEFORMAT
SHAPE \* MERGEFORMAT
Показательная модель: y=17,38 • 1,028х.
SHAPE \* MERGEFORMAT
SHAPE \* MERGEFORMAT
SHAPE \* MERGEFORMAT
Степенная модель: y=(4,742 • х)0,625.
SHAPE \* MERGEFORMAT
SHAPE \* MERGEFORMAT
SHAPE \* MERGEFORMAT
Вывод:
Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, однако наибольший коэффициент детерминации имеют две модели степенная и линейная, однако у линейной модели средняя ошибка аппроксимации = 3,19, а у степенной = 0,0706, поэтому степенную модель целесообразнее взять в качестве наилучшей.
Задача №2.
Даны по две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.
2а)
2б).
2в). По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида
y1= a01 + b12 y2 + a11 x1 + ?1
y2= a02 + b21 y1 + a22 x2 + ?2
Решение:
2а).
Запишем систему одновременных уравнений:
-1y1+b12y2+b13y3+a11x1+a12x2
b21y1-1y2+b23y3+a21x1+a24x4
b32y2-1y3+a31x1+a32x2+a33x3
Выражаем из каждого уравнения у:
y1=b12y2+b13y3+a11x1+a12x2
y2=b21y1+b23y3+a21x1+a24x4
y3=b32y2+a31x1+a32x2+a33x3
Проверяем данную систему уравнений на необходимое условие идентификации:
1). Н=3; Д=2; 2+1=3, уравнение идентифицируемо
2). Н=3; Д=2; 2+1=3, уравнение идентифицируемо
3). Н=2; Д=1, 1+1=2, уравнение идентифицируемо.
Проверяем систему по достаточному условию идентификации:
Вывод:
Система одновременных уравнений является идентифицируемой, т.к. каждое уравнение этой системы идентифицируемо по необходимому и достаточному условиям идентификации.
