Задание 1.
В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года ( всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).
Требуется:
1) Построить адаптивную мультипликативную модель Холь-та-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ?1=0,3; ?2=0,6; ?3=0,3.
2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3)| Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32;
- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

EMBED Equation.3

Решение:
Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:
EMBED Equation.3
Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения по формулам:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Таблица 1
Произведем расчет:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Получим линейное уравнение вида: EMBED Equation.3
Для сопоставления фактических данных и рассчитанных по линейной модели значений составим таблицу.
Таблица 2
Сопоставление фактических и расчетных значений по линейной модели

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное EMBED Equation.3 , и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) EMBED Equation.3 . Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.(Таблица 3)
Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса (табл. 3) используя следующие формулы:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Проверка качества модели.
Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t) (разности EMBED Equation.3 между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 3.
Модель Хольта-Уинтерса
Таблица 3
Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели
Таблица 4
2. Проверка точности модели.
Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E(t)}/ Y(t) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей составляет 0,10. Средняя величина: 0.10/16=001%, значит, условие точности выполнено.
3. Проверка условия адекватности.
Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.
Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр. 2 табл. 4) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е EMBED Equation.3 сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 3 табл. 4 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр. 3 ставится 0. В первой и в последней строке гр. 3 табл. 4 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.
Общее число поворотных точек в нашем примере равно р=8.
Рассчитаем значение EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16.
EMBED Equation.3
Так как количество поворотных точек р= 8 больше q=6, то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.
Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:
1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d1=1,10 и d2=1,37):
EMBED Equation.3
Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:
EMBED Equation.3
Условие выполнено (1,37<1,61<2), следовательно, уровни ряда Е(t) являются независимыми.
2) по первому коэффициенту автокорреляции r(1):
EMBED Equation.3
Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения EMBED Equation.3 < rтабл., то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтабл. = 0,32. Имеем: EMBED Equation.3 =0,21 < rтабл. = 0,32 – значит уровни независимы.
Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:
EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 - максимальное значение уровней ряда остатков EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 - минимальное значение уровней ряда остатков EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ;
S – среднее квадратическое отклонение.
Emax – Emin = 2,69 – (-1,42) = 4,11
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению т.к. полученное значение RS (3,54) попадает в заданный интервал (3,00<3,54<4,21).
Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Yp(t) на год.
Расчет прогнозных значений экономического показателя.
Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 (см. табл. 1.4) по формуле:
EMBED Equation.3 ,
где k – период упреждения;
EMBED Equation.3 - расчетное значение экономического показателя для t-го периода;
EMBED Equation.3 - коэффициенты модели;
EMBED Equation.3 - значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;
EMBED Equation.3 - период сезонности.
Определим прогнозные значения экономического показателя Yp(t) для: t = 17, 18, 19 и 20.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
5. На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения о кредитах на год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Рис. 1. Сопоставление расчетных и фактических данных
Задание 2.
Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:
- экспоненциальную скользящую среднюю;
- момент;
- скорость изменения цен;
- индекс относительной силы;
- %R, %K и %D.
Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
Рис.№1.1
1. Экспоненциальная скользящая средняя (ЕМА)
ЕМАt = Сt К + ЕМАt-1 (1-K),
где К = EMBED Equation.3
1. Выбрать интервал сглаживания п (в нашем случае п = 5).
2. Вычислить коэффициент К(К= 2/(n + 1) = 2/6 = 0,33).
3. Вычислить МА для первых 5 дней. Для этого сложить цены закрытия за первые 5 дней. Сумму разделить на 5 и записать в графы 3 за 5-й день.
4. Перейти на одну строку вниз по графе 3. Умножить на К данные по конечной цене, которую берем из графы 2 текущей строки. (Для 11-го дня это будет 506*0,33=166,98)
5. Данные по ЕМА за предыдущий день взять из предыдущей строки графы 3 и умножить на (1 — К). (Для 6-го дня это будет 597,8*0,67=400,53.)
6. Сложить результаты, полученные на предыдущих двух шагах (для 6-го дня это будет 166,98 + 400,53 = 567,51). Полученное значение ЕМА записать в графу 4 текущей строки.
7. Повторить шаги 4, 5 и 6 до конца таблицы (см. табл.№2,3)
2. Момент (momentum — MOM). Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и цены п дней тому назад:
МОМt=Сt-Сt- п. (см. табл.№2).
3. Скорость изменения цен ROC.
ROCt=( Сt/ Сt- п)*100% (См. табл. №2,3)
Рис.№2.2

Рис.№2.3

4. Индекс относительной силы RSI. Является наиболее значимым осциллятором, расчет которого предусмотрен во всех компьютерных программах технического анализа. Значения RSI изменяются от 0 до 100. Этот индикатор может подавать сигналы либо одновременно с разворотом цен, либо с опережением, что является его важным достоинством.
Для его расчета применяют формулу:
RSI=100-(100/1+AU/AD)
где AU — сумма приростов конечных цен за п дней; AD — сумма убыли конечных цен за п дней.
Рассчитывается RSI следующим образом :
1. Выбирают интервал n=5.
2. Начиная со 2-го дня до конца таблицы, выполняют следующую процедуру. Вычитают из конечной цены текущего дня конечную цену предыдущего дня. Если разность больше нуля, то ее записывают в графу 3. Иначе абсолютное значение разности записывают в графу 4.
3. С 6-го дня и до конца таблицы заполняют графы 5 и 6. Для этого складывают значения из графы 3 за последние п дней (включая текущий) и полученную сумму записывают в графу 5 (величина AU). Аналогично находят сумму убыли конечных цен по данным графы 4 и записывают в графу 6 (величина AD).(Рис.№ 2.4, 2.5).
4. Зная AU и AD рассчитывают значение RSI и записывают в графу 7.
Рис.№2.4
Рис.№2.5


5. Стохастические линии.
%Kt= 100 (С,-L5)/(H5 -L5),
где %К, — значение индекса текущего дня ; С, — цена закрытия текущего дня t,LsnH5 — соответственно минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих Дней, включая текущий.
Рис. №2.6
Похожая формула используется для расчета %R.
%Rt=100(Hn-C,)/(Hn-Ln),
где %Rt — значение индекса текущего дня /; Ct — цена закрытия текущего дня t, Ln и Нп — соответственно минимальная и максимальная цены за п предшествующих дней, включая текущий.( Рис. №6).
%Dt= EMBED Equation.3 .

Задание 3.
Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Тл„ - время в годах, i - ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.
3.1. Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды - Тн, возврата - Гк. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых. Найти:
3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
3.2. Через Гдн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
3.3. Через Гдн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
3.4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тлет лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i % годовых. Определить наращенную сумму.
3.5. Ссуда, размером S руб. предоставлена на Тл„. Проценты сложнее, ставка - i% годовых. Проценты начисляются тп раз в году. Вычислить наращенную сумму.
3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты тп раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.
3.7. Определить какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.
3.8. Через Т предприятию будет выплачена сумма S рублей. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.
3.9. Через Т по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной процентной ставке i% годовых. Определить дисконт.
3.10.В течении Т лет на расчетном счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Рис.№3.1.
3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды:
I=Sit/K, где K=365, t=59
I=121232,87
3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:
K=360, t=59
I=122916,66
3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:
K=360, t=60
I= 125 000,00
3.2. Первоначальная сумма
Р=S/(1+ni)=2 500 000/(1+0,30*180/360)= 2 173 913,04
и дисконт
D=S-P=2 500 000- 2 173 913,04= 326 086,96
3.3. Полученная предприятием сумма
D=Snd=2 500 000*0,30(180/360)= 375 000
и дисконт
P=S-D=2 125 000
3.4. Наращенная сумма
S=P(1+i) EMBED Equation.3 =2 500 000*(1+0,30) EMBED Equation.3 =7 140 250
Наращенная сумма
S=P(1+j/m) EMBED Equation.3 =2 500 000(1+0,30/2) EMBED Equation.3 =23 394 052
Эффективная ставка процента
i EMBED Equation.3 =(1+j/m) EMBED Equation.3 -1= (1+0,30/2) EMBED Equation.3 -1=1,32
Номинальная ставка
J=m((1+i EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 -1)= 2((1+0,32) EMBED Equation.3 -1)=1,05
Современная стоимость
P=S EMBED Equation.3 =S EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = 2 500 000*1/(1+0,30) EMBED Equation.3 =1 346 910,18
Дисконт
P=S(1-d) EMBED Equation.3 =2 500 000(1-0,30) EMBED Equation.3 =600 250
D=S-P=2 500 000 - 600 250=1 899 750
Сумма на расчетном счете к концу срока
R=S EMBED Equation.3 =2 500 000 EMBED Equation.3 = 9 975 000.