МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ
ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Контрольная работа
По дисциплине: «Финансовая математика»
Вариант №7




Задание 1.
Требуется:
Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ?1=0,3; ?2=0,6; ?3=0,3.
Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
Случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
Независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32.
Нормальности распределения ряда остатков по критерию RS c критическими значениями от 3 до 4,21
Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год
Построить график, на котором должны быть отражены фактические, расчетные и прогнозные значения.
Исходные данные

В первую очередь необходимо определить значения коэффициентов а(0) и b(0).
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Находим:
1) EMBED Equation.3
2) EMBED Equation.3
3) (Y(t)-Yср)*(t-tср)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (в таблице)
Далее нужно рассчитать значения сезонного коэффициента F(-3), F(-2), F(-1) и F(0).
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3

Находим коэффициент Yp(1), при t=0, k=1, L=4
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Находим коэффициента a(1), b(1).
EMBED Equation.3
а(1) = 0,3*38/0,86+0,7*44= 44,10
b(1) =0,3(44,10-43,25)+0,7*0,75= 0,78
при t=1
EMBED Equation.3
F(1) = 0,6*38 / 44,10+ 0,4* 0,86 = 22,8 / 44,44 = 0,86
Пологая, что t=1, k=1, найдем Yp(2)
Yp(2) = [44,10+1*0,78]*1,08= 48,50
EMBED Equation.3
а(2) = 0,3*48/1,08+0,7*44,88= 44,74
EMBED Equation.3
b(1) =0,3(44,74-44,10)+0,7*0,78 = 0,74
F(2) = 0,6*48 / 44,74+ 0,4* 1,08 = 1,08
Проверка точности модели.
Перед тем, как строить прогноз построенной модели, нужно проверить на точность и адекватность.
Для проверки модели на качество, в первую очередь рассчитывают остатки.
Е(t) =Y(t)-Yp(t) = 38-38,79 = -0,79
Для того, чтобы условие в точности выполнялось, средняя относительная ошибка по модели не должно превышать 5%
EMBED Equation.3
Проверка адекватности модели
Проверку случайности уровней ряда остатков Е(t) проводят по критерию поворотных точек, каждое следующее значение ряда остатков Е(t) сравнивают с двумя соседними
Если оно больше (или меньше) обоих соседних значений, то точка считается поворотной и обозначается цифрой 1. Общее число поворотных точек Р=5
Далее находим величину q
EMBED Equation.3
q= 2*14 / 3-2*v((16*16-29)/90) = 9,0
Так как p=10>q=6, то значит условие случайности уровней ряда остатков выполнено
Вывод: так как число р=6 меньше критического значения q=6,16, то условие случайности ряда остатков не выполняется.
Проверка независимости уровней ряда (проверка на отсутствие автокорреляции)
По d-критерию Дарбина-Уотсона
EMBED Equation.3
Значения взяты с таблицы
d = 60.66/38.2 = 1.59
Если значение d>2 это означает, что имеет место отрицательная автокорреляция и значение d уточняется.
Если по d- критерию нельзя сделать вывод о независимости ряда остатков, то проводят проверку по первому коэффициенту автокорреляции.
EMBED Equation.3 = 7,34/38,2 = 0,19
Проверка уровней ряда остатков на нормальность распределения проводится по RS-критерию.
EMBED Equation.3
S= v(38,2/15) = 1,60
RS = (2.69-(-1.5))/1.6 = 2.63
Величина RS сравнивается с критическими табличными значениями RS1 и RS2.
-1.5<2.63<2.69
Вывод: ряд остатков подчиняется нормальному распределению.
Все проверки выполнены, можно приступать к построению прогноза.
Начиная строить прогноз, делаем t=1…..16, k меняется по шагова.
При расчете значений Yp(17)- Yp(20) коэффициент k увеличивается на каждом шаге. Для расчета Yp(17)- Yp(20) используем последние значения коэффициентов а(16) и b(16).
EMBED Equation.3
Yp(17)= (62,15+1*0,99)*0,81 = 51,36
Yp(18)= (62,15+2*0,99)*1 = 63,84
Yp(19)= (62,15+3*0,99)*1,17 = 76,51
Yp(20)= (62,15+4*0,99)*0,71 = 47,06
EMBED Excel.Chart.8 \s

Задание 2
Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:
1) экпоненциальную скользящую среднюю(ЕМА);
2) момент;
3) скорость изменения цен;
4) индекс относительной силы;
5) % R, %K, %D.
Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющих данных.
n=5
EMBED Equation.3
k= 0.33
1) Так как известен интервал сглаживания и цена закрытия найдем простую скользящую среднюю величину по формуле:
EMBED Equation.3
МА(5)= (610+614+625+574+563)/5 = 2986/5 = 597,2
Затем находим взвешенную скользящую среднюю величину WMAt
EMBED Equation.3
WMA(5) = (1*610+2*614+3*625+4*574+5*563)/15 = 8824/15 = 588.27
Экспоненциальная скользящая средняя
EMBED Equation.3
Для n=5, первое значение ЕМА, которую нельзя рассчитать, будет равна МА5 = 597,2, далее ЕМА считается по формуле
ЕМА6= 1/3*590+(1-1/3)*597,2 = 594,8
ЕМА7 = 1/3*598+(1-1,3)*594,8 = 595,87
2) Для определения момента купли или продажи ориентируются на взаимное расположение двух скользящих средних с различными интервалами сглаживания.
EMBED Equation.3
МОМ(6) = С6-С(6-5) = С6-С1= 590-610 = -20
МОМ(7) = С7-С2= 598-614 = -16
3)Рассчитываем скорость изменение цен.
EMBED Equation.3
ROC(6) = C6/C1*100% = 590/610*100% = 96.72%
ROC(7) = C7/C2*100% = 598/614*100% = 97.39%
4)Индекс относительной силы
EMBED Equation.3
Находим повышение и понижение цен, путем Сt-Ct-1
AU – повышение цен за 5 дней
AD – понижение цен за 5 дней (в таблице)
RSI(6) = 100-(100/(1+42/62)) = 40,38
RSI(7) = 100-(100/(1+46/62)) = 42,59
RSI(8) = 100-(100/(1+35/80)) = 30,43
И т. д., введены в таблице
5) % R, %K, %D.
Найдем maх(Н5) и min(L5) значения цен за n (5) дней
EMBED Equation.3 = 10/110*100% = 9,09%
EMBED Equation.3 = 100/110*100% = 90,91%
EMBED Equation.3
Для удобства расчета найдем Сумма C(t)-L5 за 3 дня и Сумма H5-L5 за 3 дня (с 5 по 7;с 6 по 8 и т.д.).
%D = 92/282*100% = 32.62%
Задание 3
Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице.
S = 3 500 000 (сумма средств в рублях)
Т лет = 5 (время в годах)
i=40 (ставка в процентах)
m=4 (число начислений)
Тн = 11.01.02. (дата начальная)
Тк = 19.03.02 (дата конечная)
Тдн = 90 (время в днях)
3.1 Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды – Тн, возврата- Тк, День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых.
Найти:
3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды (I);
3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (I);
3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (I).
Дано:
S = 3 500 000
Тн = 11.01.02
Тк = 19.03.02
i = 40
Решение:
3.1.1)
к=366
t= 20+28+19 = 67
I= 3 500 000 * 0,40*67/366 = 256 284,15
3.1.2)
к = 360
t = 67
I = 3 500 000 * 0,40*67/360 = 260 555, 56
3.1.3)
к=360
t = 19+30+19=68
I = 3 500 000* 0.40*68/360 = 264 444,44
Ответ: 3.1.1) 256 284,15; 3.1.2) 260 555, 56; 3.1.3) 272 222,22
3.2 Через Тдн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
Дано:
S = 3 500 000
Тдн = 90
i = 40
Решение:
S= P(1+ni)
P= S/(1+ni)
P= 3 500 000/(1+90/360*0.4) = 3 181 818,18
D= S –P = 3 500 000 - 3 181 818,18 = 318 181 .82
3.3 Через Tдн предприятие должно получить по векселю S рублей. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i % годовых (в году 360 дней). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
Дано:
n= 90/360
S = 3 500 000
i = 40%
Решение:
D= 3 500 000*0.4*90/360 = 350 000
P=S-D = 3 500 000 – 350 000 = 3 150 000
3.4 В кредитном договоре на сумму S рублей и сроком на Tлет лет, зафиксирована ставка сложных процентов i% годовых. Определить наращенную сумму.
Дано:
S = 3 500 000 руб.
Тлет = 5 лет
i = 40%
Решение:
S = 3 500 000*(1+0,4)^5 = 18 823 840,00
3.5 Ссуда размером S рублей предоставлена на Tлет. Проценты сложные, ставка – i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму(S).
Дано:
S = 3 500 000 руб.
Тлет = 5 лет
i = 40%
m=4
Решение:
S = 3 500 000* (1+0.4/4) ^5*4 = 8 252 816,92
3.6 Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году исходя из номинальной ставки i% годовых.
Дано:
i = 40%
m=4
Решение:
Iэ = [(1+0,4/4) ^4 – 1]*100% = 46,41%
Ответ: 46,41%
3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.
Дано:
i = 40%
m=4
Решение:
I = 4[(1+0,4)^-4 -1] = 4[1/3,84 -1] = 35,10%
3.8 Через Tлет предприятию будет выплачена сумма S рублей. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.
Дано:
S = 3 500 000 руб.
Тлет = 5 лет
i = 40%
Решение
S = 3 500 000/(1+0.4)^5 = 650 770.51
3.9 Через Tлет по векселю должна быть выплачена сумма S рублей. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.
Дано:
S = 3 500 000 руб.
Тлет = 5 лет
i = 40%
Решение
D = S[1-(1-i)^5] = 3 500 000(1-(1-0,4)^5) = 3 227 840
3.10 В течение Tлет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в год начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Дано:
R = 3 500 000 руб.
Тлет = 5 лет
i = 40%
m=4
Решение:
S= R*((1+0.40/4)^20-1)/((1+0.4/4) ^4-1)= 3 500 000*((1.1)^20-1)/((1.1)^4-1)= 43 193 815,61