Задание 1 В табл. 1.1 представлены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов). Таблица 1.1 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания ?1 = 0,3; ?2 = 0,6; ?3 = 0,3. Оценить точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации; Оценить адекватность построенной модели на основе исследования: случайности остаточной компоненты по критерию пиков; независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r1 = 0,32; нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год. Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные. Решение Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:
Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения по формулам:
Таблица 1.2 t Y(t) t-t (t-t) Y-Y (Y-Y)(t-t)
1 31 -3,5 12,25 -8,3 28,9
2 40 -2,5 6,25 0,8 -1,9
3 47 -1,5 2,25 7,8 -11,6
4 31 -0,5 0,25 -8,3 4,1
5 34 0,5 0,25 -5,3 -2,6
6 44 1,5 2,25 4,8 7,1
7 54 2,5 6,25 14,8 36,9
8 33 3,5 12,25 -6,3 -21,9
36 314 0 42 0 39
Рассчитаем:
Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:
Для сопоставления фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Yp(t) составим таблицу (табл. 1.3). Таблица 1.3 t 1 2 3 4 5 6 7 8
Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное , и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) . Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.
Аналогично находим оценки коэффициентов сезонности для II, III и IV кварталов:
Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса (табл. 1.4) используя следующие формулы:
Таблица 1.4 Модель Хольта-Уинтерса t Y(t) a(t) b(t) F(t) Y(t) Абс. погр., E(t) Отн. погр., в %
1 2 3 4 5 6 7 8
0 - 35,07 0,93 0,7879 -
-
1 31 36,03 0,94 0,8597 30,91 0,09 0,29
2 40 36,96 0,94 1,0825 40,03 -0,03 0,08
3 47 37,63 0,85 1,2576 48,14 -1,14 2,42
4 31 38,74 0,93 0,7953 30,32 0,68 2,20
5 34 39,64 0,92 0,8585 34,11 -0,11 0,31
6 44 40,58 0,93 1,0835 43,90 0,10 0,22
7 54 41,94 1,06 1,2755 52,21 1,79 3,32
8 33 42,55 0,92 0,7835 34,20 -1,20 3,62
9 37 43,36 0,89 0,8554 37,32 -0,32 0,87
10 48 44,26 0,89 1,0840 47,94 0,06 0,12
11 57 45,02 0,85 1,2699 57,60 -0,60 1,05
12 35 45,51 0,74 0,7748 35,94 -0,94 2,67
13 42 47,11 1,00 0,8771 39,57 2,43 5,79
14 52 48,07 0,99 1,0827 52,15 -0,15 0,29
15 62 48,98 0,97 1,2674 62,29 -0,29 0,47
16 39 50,07 1,00 0,7773 38,70 0,30 0,76
24,50
Проверка качества модели. Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t) (разности между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 1.5.
Таблица 1.5 Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели t E(t) Точка поворота E(t)2 [E(t)-E(t-1)]2 E(t)xE(t-1)
1 0,09 - 0,008 - -
2 -0,03 0 0,00 0,02 0,00
3 -1,14 1 1,29 1,22 0,04
4 0,68 1 0,46 3,30 -0,77
5 -0,11 1 0,01 0,62 -0,07
6 0,10 0 0,01 0,04 -0,01
7 1,79 1 3,22 2,88 0,17
8 -1,20 1 1,43 8,94 -2,14
9 -0,32 1 0,10 0,76 0,38
10 0,06 1 0,00 0,14 -0,02
11 -0,60 0 0,36 0,43 -0,03
12 -0,94 0 0,87 0,11 0,56
13 2,43 1 5,92 11,35 -2,28
14 -0,15 1 0,02 6,68 -0,37
15 -0,29 1 0,09 0,02 0,04
16 0,30 - 0,09 0,35 -0,09
Сумма 0,68 10,00 13,89 36,86 -4,59
Проверка точности модели. Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E(t)}/ Y(t) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см. гр. 8 табл. 1.4) составляет 24,50, что дает среднюю величину 24,50/16 = 1,53%, что не превышает 5%. Следовательно, условие точности выполнено. Проверка условия адекватности. Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения. Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр. 2 табл. 1.5) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 3 табл. 1.5 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр. 3 ставится 0. В первой и в последней строке гр. 3 табл. 1.5 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней. Общее число поворотных точек в нашем примере равно р=10. Рассчитаем значение :
Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16.
Так как количество поворотных точек р=10 больше q=6, то условие случайности уровней ряда остатков выполнено. Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим двумя методами: 1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d1=1,10 и d2=1,37):
Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:
1,10<1,35<1,37 – критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда. В этом случае проверим независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции. 2) по первому коэффициенту автокорреляции r(1):
Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения < rтабл., то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтабл. = 0,32. Имеем: =0,33 > rтабл. = 0,32 – значит уровни зависимы. Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS: , где - максимальное значение уровней ряда остатков ; - минимальное значение уровней ряда остатков ; S – среднее квадратическое отклонение. ;
Так как 3,00<3,77<4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению. Расчет прогнозных значений экономического показателя. Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты и определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения и (см. табл. 1.4) по формуле: , где k – период упреждения; - расчетное значение экономического показателя для t-го периода; - коэффициенты модели; - значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель; - период сезонности. Определим прогнозные значения экономического показателя Yp(t) для: t = 17, 18, 19 и 20.
На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения о кредитах на год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согла
