Задача 18.
Текущий курс акции равен 80.00 и может в будущем либо увеличится до 100.00 с вероятностью 0.6, либо понизиться до 60.00 с вероятностью 0.4. Цена исполнения опциона «колл» равна 80.00.
Определите ожидаемую стоимость опциона «колл». Определите коэффициент хеджирования и постройте безрисковый портфель.
Решение.
Дано: S' = 100 w' = 0.6
S'' = 60 w'' = 0.4
S0 = 80
K = 80
Тогда математическое ожидание цены акции S:
? = w' S' + w'' S'' = 0.6 * 100 + 0.4 * 60 = 60 + 24 = 84
V' = max(0, S' – K)= 20,
V'' = max (0, S'' – K) = 0.
Ожидаемая цена опциона в момент исполнения:
V = w' V' + w'' V'' = 0.6 * 20 + 0.4 * 0 = 12.
Для безрискового портфеля из ? акций и продажи 1 опциона колл имеем систему уравнений:
?S' - V' = p
?S'' - V'' = p,
где p – цена портфеля. Она одинакова для обоих исходов. Следовательно получаем:
?S' - V' = ?S''- V''
откуда: ?*100 – 20 = ?*60 – 0; ? = 0.5.
? - коэффициент хеджирования (Hedge Ratio) - изменение цены опциона при изменении цены базового актива на 1.
Итого, безрисковый портфель состоит из 0.5 акций и 1 короткого опциона колл.
Цена опциона в момент t=0 равна стоимости безрискового портфеля в момент t=0: ? S'' = ? * 60 = 30.